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江苏省2024-2025黄金期末模拟押题卷02卷
数 学
时间：120分钟 分值：150分
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（ ）
A．平均数是4.4 B．中位数是4.5
C．众数是4 D．方差是9.2
3．下列命题中真命题的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等
C．任意三点确定一个圆 D．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
4．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是 （ ）
A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm
5．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
6．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )
A．25° B．35° C．40° D．50°
7．在中，，，，点为线段上一动点，以为直径，作交于点，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
8．如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为_______．
10．某同学参加校艺术节独唱比赛，其中唱功、表情、动作三个方面得分分别为分、分、分，综合成绩中唱功占，表情占，动作占，则该名同学综合成绩为___________分．
11．有4个数的平均数是8，还有6个数的平均数是6，则这10个数的平均数是___________．
12．如图，点、、在上，若，则______．
13．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，则的半径长为___________．
14．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 _____．
15．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为________．
16．为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径为，高为，则该扇形纸片的面积为___________．
17．如图，四边形内接于以为直径的，平分，若四边形的面积是，则___________．
18．如图，扇形，且，，为弧上任意一点，过点作于点，设的内心为，连接、，当点从点运动到点A时，内心所经过的路径长为___________．
三、解答题
19．解方程：
(1)x2－2x－3＝0
(2)（x﹣3）2＝2x﹣6
20．某学校开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．
(1)九（1）班竞赛成绩的众数是 ，九（2）班竞赛成绩的中位数是 ；
(2)哪个班的成绩较为整齐，试说明理由．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若，求⊙O的半径的长．
22．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
(1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．
23．如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．
(1)直线与⊙相切吗？并说明理由；
(2)若，，求的长．
24．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
25．某单位组织职工观光旅游，旅行社的收费标准是：如果人数不超过30人，人均旅游费用为200元；如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不低于100元．该单位按旅行社的收费标准组团，结束后，共支付给旅行社8400元．求该单位这次共有多少人参加旅游？
26．如图，等边内接于，是上任一点（点与点A、不重合），连接、，过点作交的延长线于点．
(1)求和的度数；
(2)求证：是等边三角形；
(3)若，，求的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点．
(1)求证：是的切线；
(2)若点、的坐标分别为，，求的半径；
(3)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
28．【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．
(1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则___________；
(2)如图3，中，，是上一点，，垂足为．求证：点是折线段的中点；
(3)如图4，，，，是上的四个点，，，求的值江苏省2024-2025黄金期末模拟押题卷02卷
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的概念（只含一个未知数，并且含有未知数的项的次数最高为2次的整式方程是一元二次方程）逐一进行判断即可得．
【详解】解：
A、， 当时，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、，是一元二次方程，符合题意；
C、，不是整式方程，故不符合题意；
D、，整理得：，不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．A
【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．
【详解】解： A、平均数为＝4.4，故选项正确，符合题意；
B、中位数为5，故选项错误，不符合题意；
C、将这组数据重新排列为2，4，5，5，6，所以这组数据的众数为5，故选项错误，不符合题意；
D、方差为[（2﹣4.4）2+（4﹣4.4）2+2×（5﹣4.4）2+（6﹣4.4）2]＝1.84，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查方差，众数，中位数，算术平均数，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．
3．D
【分析】根据等弧、圆心角与弦的关系、确定圆的条件等知识一一判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A中命题是假命题，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故B中命题是假命题，不符合题意；
C、不共线的三点确定一个圆，故C中命题是假命题，不符合题意；
D、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，是真命题，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及等弧、圆心与弦的关系、确定圆的条件等知识，熟知它们的前提条件是解答的关键．
4．C
【分析】分两种情况，点P在圆内和点P在圆外，点P到圆的最远距离与最近距离之和或差就是直径，据此求解即可．
【详解】设这个点为点P，分为两种情况：
①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；
②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系与半径的大小关系是解题的关键．
5．C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
6．C
【分析】根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．
【详解】，∠ABC＝25°，
，
AB是⊙O的直径，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．
7．B
【分析】连接，可得，从而得到点E在以为直径的圆Q上，则当Q，E，B三点共线时，最小，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵为直径，点在上，
∴，
∴点E在以为直径的圆Q上，则当Q，E，B三点共线时，最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
即的最小值为18．
故选：B
【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的路径，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
8．A
【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，接下来设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案．
【详解】连接，，，，，．
根据题意可知，且，，，
∵，
即，
解得．
设，
则，，，得
，
解得，
∴．
在中，，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵，
即，
解得，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆内切三角形的性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，根据面积相等求出半径是解题的关键．
9．/0.25
【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得，计算即可．
【详解】关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，；熟练掌握知识点是解题的关键．
10．
【分析】根据加权平均数进行计算即可．
【详解】解：该名同学综合成绩为分，
故答案为：．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解本题的关键．
11．6.8
【分析】先求出这10个数的和，然后根据平均数的定义求解即可．
【详解】解：∵有4个数的平均数是8，还有6个数的平均数是6，
∴这10个数的和为，
∴这10个数的平均数为，
故答案为：6.8．
【点睛】本题主要考查了求平均数，正确求出这10个数的和是解题的关键．
12．
【分析】首先在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得出然后由圆的内接四边形的性质可求出，从而得出答案．
【详解】解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理与圆的内接四边形的性质．难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
13．/
【分析】连接，先根据垂径定理、线段中点的定义可得，设的半径长为，则，，再在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
是中的弦的中点，且，
，，
设的半径长为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
即的半径长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
14．12
【分析】连接OA、OD、OF，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算即可得到n的值．
【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，设这个正多边形为n边形，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
15．15°或105°
【详解】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
或
∴∠BAC=15°或105°．
故答案为15°或105°．
16．
【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面展开图是扇形，利用圆锥的侧面积，列式计算即可．
【详解】解：生日帽的底面圆半径为，高为，
∴圆锥的母线长为，
∵底面圆半径为，
∴该扇形纸片的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17．
【分析】过点作，交的延长线与点，证明，从而得到四边形的面积等于的面积，然后证明出是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出的长度．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线与点E，
∵为的直径
∴
∵平分
∴
∴
∴
又∵
∴
又∵
在与中，
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键在于运用转化思想，将四边形的面积转化为的面积．
18．//
【分析】根据E为直角三角形的内心，可求出，连接，证明，得到，得到点E路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧，构造，求出，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵E为直角三角形的内心，
∴分别平分，
∴．
如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴点E的路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧．
如图，过点O、E、B作圆G，作圆内接四边形，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴内心所经过的路径长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题，难度较大，解题关键是根据题意确定点E所经过的路径是什么，从而转化为定边对定角问题．解决定边对定角问题，一般转化为圆的问题去解决．
19．(1)x1＝3，x2＝－1
(2)x1＝3，x2＝5
【分析】（1）把常数项移到右边后，用配方法解一元二次方程即可；
（2）把右边部分移项后，用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2－2x－3＝0
移项，得：x2－2x＝3，
配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，
即（x－1）2＝4．
两边同时开方，得：x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1．
（2）解：（x﹣3）2＝2x﹣6
∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），
∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
【点睛】此题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键．
20．(1)80分，85分
(2)九（1）班成绩较为整齐，理由见解析
【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解即可；
（2）根据方差的定义和意义求解即可．
【详解】（1）解：由图知，九（1）班成绩为80、80、80、90、100，
九（2）班成绩为70、80、85、95、100，
所以九（1）班成绩的众数为80分，九（2）班成绩的中位数为85分；
故答案为：80分，85分．
（2）解：九（1）班成绩较为整齐，理由如下：
∵九（1）班成绩的平均数为=86（分），
九（2）班成绩的平均数为=86（分），
∴九（1）班成绩的方差为×[3×（80-86）2+（90-86）2+（100-86）2]=64，
九（2）班成绩的方差为×[（70-86）2+（80-86）2+（85-86）2+（95-86）2+（100-86）2]=114，
∴九（1）班成绩较为整齐．
【点睛】本题主要考查条形统计图、众数、中位数和方差，解题的关键是掌握众数、中位数和方差的定义以及方差的意义．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【详解】（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
=．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90 ，CE＝ED＝3．
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2
∵在Rt△OEC中，
解得：
∴⊙O的半径是．
【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算．
22．(1)∠E＝35°
(2)见解析
【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案；
（2）先根据“ASA”证明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再结合已知条件得出答案即可.
【详解】（1）连接AC，
∵为120°，为50°，
∴，，
∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；
（2）证明：连接AC、BD，
∵，
∴∠A＝∠D，
在△ACE和△DBE中，
，
∴△ACE≌△DBE（ASA），
∴BE＝CE，
∵AE＝DE，
∴AE-BE＝DE-CE，
即AB＝CD．
【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．
23．(1)相切，见解析
(2)
【分析】（1）先证得：，再证，得到，即可求出答案；
（2）设半径为；则：，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．
【详解】（1）证明：连接．
∵为切线，
∴，
又∵，
∴，，
且，
∴，
在与中；
∵，
∴，
∴，
∴直线与相切．
（2）设半径为；
则：，得；
在直角三角形中，，
，解得
【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24．(1) ；(2)
【分析】(1)根据建立不等式即可求解；
(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
【详解】解：(1)由题意可知，，
整理得：，
解得：，
∴的取值范围是：．
故答案为：．
(2)由题意得：，
由韦达定理可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，
又由(1)中可知，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．
25．该单位这次共有60或70人参加旅游．
【分析】设该单位这次共有x人参加旅游，由题意可知，且可列出关于x的一元二次方程，解出x，再由x的值求出此时人均旅游费用，进行判断即可．
【详解】设该单位这次共有x人参加旅游，
∵，
∴．
根据题意有：，
解得：．
当时，，符合题意，
当时，，符合题意．
∴该单位这次共有60或70人参加旅游．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
26．(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求出答案；
（2）由平行线的性质可得出，．再根据，可得出，从而可求出，即，即证明是等边三角形；
（3）过点B作，交AP的延长线于点Q，易求出，从而得出，进而可求出．在中，利用勾股定理可求出．最后再在中，利用勾股定理求出的长，即得出的长．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）如图，过点B作，交AP的延长线于点Q，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵在中，，
∴在中，．
∵为等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、含的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．解题的关键是熟练掌握相关的定理和利用数形结合的思想解题．
27．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论；
（2）连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）作，得到四边形是矩形，得到，根据垂径定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即是的切线；
（2）解：连接，设的半径为，
∵，，
∴，
在中，，
则，
解得， ，
即的半径为；
（3）解：．
证明：作于，则，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，进行的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
28．(1)3
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由切线的性质得出，由，，得出，再根据“折线段中点的定义”即可得到答案；
（2）先证明为等腰三角形，再证明为等腰三角形，继而得出，进一步即可证明结论；
（3）作于点E，根据（2）的结论和勾股定理表示出和的长度，进一步计算即可得出的值．
【详解】（1）解：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是折线段的中点，
∴，
故答案为：3；
（2）如图，延长到M使，连接，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点H是折线段的中点；
（3）如图，作于点E，
由（2）可知E为折线段中点，即，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴
．
【点睛】本题考查了圆的综合知识，掌握切线的性质、“折线段中点的定义”、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解决问题的关键
