第二十八章 锐角三角函数
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．sin 45°的值是( )
A． B． C． D．1
2．(宜昌期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cos B的值为( )
A． B． C． D．
3．(巴东县期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠B的度数为( )
A．30° B．60° C．45° D．75°
4．(江岸区校级月考)如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1 000米，∠D＝50°，使A，C，E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是( )
A．1 000cos 50°米 B．米 C．1 000tan 50°米 D．1 000sin 50°米
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，已知∠ACD的正弦值是，则的值是( )
A． B． C． D．
6．(2024·湖北模拟)如图①是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图(图②)，支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF交于点E，D，现测得DE＝20厘米，DC＝40厘米，∠AED＝58°，∠ADE＝76°.则椅子的高度(即椅子的座板DF与地面MN之间的距离)是( )
(参考数据：sin 76°≈0.97，cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.00，精确到1厘米)
A．38厘米 B．39厘米 C．10厘米 D．160分米
7．若(tan A－3)2＋|2cos B－|＝0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为( )
A．(，) B．(，1) C．(2，1) D．(2，)
9．如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1∶2，背水坡CD的坡比i＝1∶1，若AB的长度为6米，则斜坡CD的长度为( )
A．6米 B．6米 C．6米 D．3米
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连接CE，则的值为( )
A． B． C． D．2
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(咸安区一模)在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB的值是__ __．
12．一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为__ __米．
13．如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2 m，窗台的高度CF＝1 m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8 m，则CP的长度为__ __m(结果精确到0.1 m).
14．(2024·绥化)如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50 m，则这栋楼的高度为 __ __m(结果保留根号).
15．(2024·深圳)如图，在△ABC中，AB＝BC，tan B＝.D为BC上一点，且满足＝，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则＝__ __．
三、解答题(共75分)
16．(6分)计算：
(1)3tan30°＋cos245°－2sin60°； (2)tan260°－2sin45°＋cos60°.
17．(6分)在△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；
(2)已知a＝3，∠A＝30°，求∠B，b，c.
18．(6分)(枣阳期中)数学测绘社团欲测算平台DB上旗杆的拉绳AC的长．从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡CD的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角∠ACN＝53°，已知斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1∶2.5(即DN∶CN＝1∶2.5)，DB＝6米，求拉绳AC的长．(结果保留1位小数，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
19．(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝10，AC＝12.
(1)求BD的长；
(2)求sin ∠ABC的值．
20．(8分)已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：＝＝.
(1)如图①，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图②所示)，若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin ∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
21．(8分)(曾都区期末)桃园大桥是随州城区第二座景观桥，远远望去，桥身的红色立柱像四根大火炬．如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度MN.在桥面观测点A处测得某根立柱顶端M的仰角为30°，测得这根立柱与水面交汇点N的俯角为15°，向立柱方向走40米到达观测点B处，测得同一根立柱顶端M的仰角为60°.已知点A，B，C，M，N在同一平面内，桥面与水面平行，且MN垂直于桥面．
(1)求大桥立柱在桥面以上的高度MC(结果保留根号)；
(2)求大桥立柱在水面以上的高度MN(结果精确到1米).
(参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.96，tan 15°≈0.27，≈1.73)
22．(10分)(2024·荆州月考)校车安全是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某校八年级数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD长为15米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.
(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)；
(2)已知本路段对校车限速30千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
23．(11分)(2024·河北)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4 m，仰角为α；淇淇向前走了3 m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6 m，点P到BQ的距离PQ＝2.6 m，AC的延长线交PQ于点E.(注：图中所有点均在同一平面)
(1)求β的大小及tan α的值；
(2)求CP的长及sin ∠APC的值．
24．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，交⊙O于点E，以DB为直径作⊙O交BC于点F，连接BE，EF.
(1)求证：∠A＝∠BEF；
(2)若AC＝4，tan ∠BEF＝4，求EF的长．第二十八章 锐角三角函数
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．sin 45°的值是( B )
A． B． C． D．1
2．(宜昌期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cos B的值为( A )
A． B． C． D．
3．(巴东县期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠B的度数为( B )
A．30° B．60° C．45° D．75°
4．(江岸区校级月考)如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1 000米，∠D＝50°，使A，C，E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是( A )
A．1 000cos 50°米 B．米 C．1 000tan 50°米 D．1 000sin 50°米
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，已知∠ACD的正弦值是，则的值是( D )
A． B． C． D．
6．(2024·湖北模拟)如图①是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图(图②)，支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF交于点E，D，现测得DE＝20厘米，DC＝40厘米，∠AED＝58°，∠ADE＝76°.则椅子的高度(即椅子的座板DF与地面MN之间的距离)是( B )
(参考数据：sin 76°≈0.97，cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.00，精确到1厘米)
A．38厘米 B．39厘米 C．10厘米 D．160分米
7．若(tan A－3)2＋|2cos B－|＝0，则△ABC的形状是( A )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为( B )
A．(，) B．(，1) C．(2，1) D．(2，)
9．如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1∶2，背水坡CD的坡比i＝1∶1，若AB的长度为6米，则斜坡CD的长度为( B )
A．6米 B．6米 C．6米 D．3米
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连接CE，则的值为( D )
A． B． C． D．2
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(咸安区一模)在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB的值是__10__．
12．一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为__10__米．
13．如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2 m，窗台的高度CF＝1 m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8 m，则CP的长度为__4.4__m(结果精确到0.1 m).
14．(2024·绥化)如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50 m，则这栋楼的高度为 __(50＋50)__m(结果保留根号).
15．(2024·深圳)如图，在△ABC中，AB＝BC，tan B＝.D为BC上一点，且满足＝，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则＝____．
三、解答题(共75分)
16．(6分)计算：
(1)3tan30°＋cos245°－2sin60°； (2)tan260°－2sin45°＋cos60°.
解：原式＝ 解：原式＝－
17．(6分)在△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；
(2)已知a＝3，∠A＝30°，求∠B，b，c.
解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4 (2)∠B＝60°，b＝9，c＝6
18．(6分)(枣阳期中)数学测绘社团欲测算平台DB上旗杆的拉绳AC的长．从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡CD的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角∠ACN＝53°，已知斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1∶2.5(即DN∶CN＝1∶2.5)，DB＝6米，求拉绳AC的长．(结果保留1位小数，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
解：延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，∴NE＝DB＝6米．∵斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1∶2.5(即DN∶CN＝1∶2.5)，∴CN＝10米，∴CE＝CN＋NE＝16米．在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，CE＝16米，∠ACE＝53°，∴AC＝≈≈26.7(米).故拉绳AC的长约为26.7米
19．(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝10，AC＝12.
(1)求BD的长；
(2)求sin ∠ABC的值．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AB＝10，AC＝12，∴AC⊥BD，OA＝AC＝6，BD＝2OB，在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB＝＝＝8，∴BD＝2OB＝16
(2)过点A作AE⊥BC于点E，∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴BC＝AB＝10，AC⊥BD，∴S菱形ABCD＝BC·AE＝AC·BD，即10AE＝×12×16，∴AE＝，在Rt△ABE中，sin ∠ABC＝＝＝
20．(8分)已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：＝＝.
(1)如图①，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图②所示)，若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin ∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
解：(1)∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵＝＝，∴＝，∴b＝2
(2)∵＝，∴＝，∴sin B＝，∴∠B＝60°，∴tan B＝＝，∴BD＝CD，∵AC2＝CD2＋AD2，∴196＝CD2＋(10－CD)2，∴CD＝8或CD＝－3(舍去)，∴CD的长度为8米
21．(8分)(曾都区期末)桃园大桥是随州城区第二座景观桥，远远望去，桥身的红色立柱像四根大火炬．如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度MN.在桥面观测点A处测得某根立柱顶端M的仰角为30°，测得这根立柱与水面交汇点N的俯角为15°，向立柱方向走40米到达观测点B处，测得同一根立柱顶端M的仰角为60°.已知点A，B，C，M，N在同一平面内，桥面与水面平行，且MN垂直于桥面．
(1)求大桥立柱在桥面以上的高度MC(结果保留根号)；
(2)求大桥立柱在水面以上的高度MN(结果精确到1米).
(参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.96，tan 15°≈0.27，≈1.73)
解：(1)∵∠BAM＝30°，∠CBM＝60°，∴∠AMB＝30°，∴BM＝AB＝40米，在Rt△BCM中，MC＝BM·sin ∠CBM＝20米，答：大桥立柱在桥面以上的高度MC为20米
(2)在Rt△BCM中，BC＝BM＝20米，∴AC＝AB＋BC＝60(米)，在Rt△ACN中，CN＝AC·tan ∠CAN≈60×0.27≈16.2(米)，∴MN＝MC＋NC＝20＋16.2≈51(米).答：大桥立柱在水面以上的高度MN约为51米
22．(10分)(2024·荆州月考)校车安全是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某校八年级数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD长为15米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.
(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)；
(2)已知本路段对校车限速30千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
解：(1)由题意，得∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，∴AB＝BC，BC＝2BD，在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即BD2＋152＝(2BD)2，解得BD＝5，BC＝10，∴AB＝10≈17.3(米)，即AB的长为17.3米
(2)超速了，理由如下：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为17.3÷2＝8.65(米/秒)，∵30千米/小时＝米/秒<8.65(米/秒)，∴这辆校车在本路段超速了
23．(11分)(2024·河北)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4 m，仰角为α；淇淇向前走了3 m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6 m，点P到BQ的距离PQ＝2.6 m，AC的延长线交PQ于点E.(注：图中所有点均在同一平面)
(1)求β的大小及tan α的值；
(2)求CP的长及sin ∠APC的值．
解：(1)由题意可得PQ⊥AE，PQ＝2.6 m，AB＝CD＝EQ＝1.6 m，AE＝BQ＝4 m，AC＝BD＝3 m，∴CE＝4－3＝1(m)，PE＝2.6－1.6＝1(m)，∠CEP＝90°.∴CE＝PE.∴β＝∠PCE＝45°，tan α＝tan ∠PAE＝＝ (2)∵CE＝PE＝1 m，∠CEP＝90°，∴CP＝＝(m).如图，过C作 CH⊥AP于H，∵tan α＝tan ∠PAE＝＝，设CH＝x m，则AH＝4x m，∴x2＋(4x)2＝AC2＝9.∴x＝，∴CH＝m，∴在Rt△HPC中，sin ∠APC＝＝＝
24．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，交⊙O于点E，以DB为直径作⊙O交BC于点F，连接BE，EF.
(1)求证：∠A＝∠BEF；
(2)若AC＝4，tan ∠BEF＝4，求EF的长．
解：(1)连接DF，∵BD是⊙O的直径，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB＝90°，∴AC∥DF，∴∠A＝∠FDB，∵∠FDB＝∠BEF，∴∠A＝∠BEF (2)过点E作EH⊥BC，垂足为H，∴∠EHF＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝45°，∴∠CDF＝90°－∠DCB＝45°，∴CF＝DF，设CF＝DF＝x，∵∠A＝∠BEF，∴tan A＝tan ∠BEF＝4，∴BC＝AC·tan A＝4×4＝16，∴BF＝BC－CF＝16－x，∵∠ACF＝∠DFB＝90°，∴△ACB∽△DFB，∴＝，∴＝，∴x＝，∴CF＝，∵BD是⊙O的直径，∴∠BED＝90°，∴∠EBC＝90°－∠DCB＝45°，∴EC＝EB，∵EH⊥BC，∴CH＝BH＝BC＝8，∴EH＝BC＝8，∴FH＝CH－CF＝，∴EF＝＝＝，∴EF的长为
