第二十六章 反比例函数 (时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(宣恩县校级模拟)下列函数中，不是反比例函数的是( C )
A．y＝－ B．y＝ C．y＝ D．3xy＝2
2．若反比例函数y＝的图象经过点(2，3)，则该反比例函数的图象位于( B )
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
3．若函数y＝的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是( B )
A．m＞－2 B．m＜－2 C．m＞2 D．m＜2
4．(2024·武汉模拟)已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是( D )
A．图象位于第一、三象限 B．图象必经过点(－3，－2)
C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小
5．(2024·猇亭区校级二模)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数y＝－的图象上．其中x1A．y36．如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为(1，3)，S△ABC＝2，则k的值是( D )
A．3 B．3.5 C．5 D．7
7．已知经过闭合电路的电流I(单位：A)与电路的电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为( A )
I/A 5 … a … … … b … 1
R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100
A.a>b B．a≥b C．a8．一次函数y＝ax＋1与反比例函数y＝－在同一坐标系中的大致图象是( B )
9．如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在△OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝(k≠0)图象上，则k的值为( A )
A.－12 B．－15 C．－20 D．－30
10．(2024·新疆)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在y＝的图象上任取点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD＝.其中正确结论的个数是( C )
A.1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(2024·武汉模拟)已知点M(2，a)在反比例函数y＝的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在第__一__象限．(填“一”“二”“三”或“四”)
12．某高速公路全长为200 km，那么汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的关系式为__t＝__．
13．在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2－kx＋4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为__y＝__．
14．如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是__3__．
15．(2024·广元)如图，已知y＝x与y＝(x＞0)的图象交于点A(2，m)，点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y＝(x＞0)上点C处，则B点坐标为 __(0，4)__．
三、解答题(共75分)
16．(6分)已知反比例函数y＝过点A(1，5).
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)请判断点B(－1，－6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．
解：(1)由题意，得点A(1，5)在反比例函数y＝上，故可得5＝，解得m＝5，所以这个反比例函数的解析式为y＝
(2)当x＝－1时，y＝－5≠－6，故点B(－1，－6)不在这个反比例函数的图象上
17．(6分)先化简，再求值：(a－2＋)÷，其中a使反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限．
解：∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，∴a＜0，∴|a|＝－a，∴原式＝·＝－1
18．(6分)已知y＝y1＋y2，其中y1与3x成反比例，y2与－x2成正比例，且当x＝1时，y＝5；当x＝－1时，y＝－2.求当x＝3时，y的值．
解：设y＝＋k2(－x2)，∵x＝1时，y＝5，x＝－1时，y＝－2，∴
解得
∴y＝＋x2，当x＝3时，y＝
19．(8分)(2024·十堰三模)如图，B，C是反比例函数y＝(k≠0)在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x－1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3.
(1)求点C的坐标及此反比例函数的关系式；
(2)求点B的坐标．
解：(1)当y＝0时，即x－1＝0，∴x＝1，即直线y＝x－1与x轴交于点A(1，0)，∴OA＝1＝AD，又∵CD＝3，∴点C的坐标为(2，3)，而点C在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，∴k＝2×3＝6，∴反比例函数的关系式为y＝
(2)依题意，可得
解得
(舍去)，∴点B的坐标为(3，2)
20．(8分)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－的图象相交于点A(－1，m)，B(n，－1)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
解：(1)分别把A(－1，m)，B(n，－1)代入反比例函数y＝－，得
解得
所以A(－1，5)，B(5，－1).把A，B两点坐标代入一次函数y＝kx＋b中，得
解得
所以一次函数的解析式为y＝－x＋4
(2)设一次函数与x轴的交点为C，可得C(4，0)，S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝OC×|yA|＋OC×|yB|＝×4×|5|＋×4×|－1|＝12
21．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连接OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求∠EOD的度数．
解：(1)∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A(2，2)，∵点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝
(2)∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∴∠AOE＝∠AEO，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝BE，∠ECB＝∠EBC，∴∠AEO＝∠ECB＋∠EBC＝2∠ECB，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOD＝45°，∴∠EOD＝15°
22．(10分)综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘(点P)可以在横梁BC段滑动(点P不与B，C重合).已知OA＝OC＝10 cm，BC＝25 cm，砝码的质量为100 g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量×OA＝右盘物体质量×OP(不计托盘与横梁质量).
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为y(g)，OP的长为x(cm)，求y关于x的函数解析式；
(2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P由点C向点B滑动，向空瓶中加入28 g的水后，发现点P移动到PC的长为15 cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量．
解：(1)∵左盘砝码质量×OA＝右盘物体质量×OP，右侧托盘放置物体的质量为y(g)，OP长x(cm)，砝码的质量是100 g，OA＝10 cm，∴100×10＝xy，∴y＝，∴y关于x的函数解析式为y＝
(2)设空瓶的质量为a g，根据题意，得100×10＝(10＋15)×(a＋28)，∴a＝12，答：这个空矿泉水瓶的质量为12 g
23．(11分)如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于A(1，3)，B(n，－1)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
(3)过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连接AC，求△ABC的面积．
解：(1)将点A坐标代入反比例函数解析式，得m＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y2＝.将点B的坐标代入反比例函数解析式，得n＝－3，∴点B的坐标为(－3，－1).将A，B两点坐标代入一次函数解析式，得
解得
∴一次函数的解析式为y1＝x＋2
(2)由函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是－3＜x＜0或x＞1
(3)连接AO，设直线AB与x轴的交点为M，将y＝0代入y＝x＋2，得x＝－2，∴点M的坐标为(－2，0)，∴S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝×2×3＋×2×1＝4.∵正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，∴点B和点C关于原点O成中心对称，∴BO＝CO，∴S△ABC＝2S△AOB＝8
24．(12分)(2024·自贡)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(－6，1)，B(1，n)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P是直线x＝－2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P的坐标；
(3)点Q在反比例函数y＝位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出Q点的坐标．
解：(1)把A(－6，1)代入y＝，得1＝，∴m＝－6，∴反比例函数的解析式为y＝－；把B(1，n)代入y＝－，得n＝－6，∴B(1，－6)，把A(－6，1)，B(1，－6)代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的解析式为y＝－x－5
(2)设直线x＝－2交直线AB于H，如图①，在y＝－x－5上，令x＝－2，得y＝－3，∴H(－2，－3)，∵△PAB的面积为21，∴PH·|xB－xA|＝21，即PH×(1＋6)＝21，∴PH＝6，∴点P的坐标为(－2，3)或(－2，－9)
(3)过Q作QM∥x轴交直线AB于M，如图②，设Q(t，－)，在y＝－x－5上，令y＝－得x＝－5，∴M(－5，－)，∴MQ＝|－5－t|，∵△QAB的面积为21，∴MQ·|yA－yB|＝21，即×|－5－t|×7＝21，∴－5－t＝6或－5－t＝－6，解得t＝或t＝－2或t＝3，经检验，t＝，t＝3符合题意，∴点Q的坐标为(，－)或(3，－2)第二十六章 反比例函数 (时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(宣恩县校级模拟)下列函数中，不是反比例函数的是( )
A．y＝－ B．y＝ C．y＝ D．3xy＝2
2．若反比例函数y＝的图象经过点(2，3)，则该反比例函数的图象位于( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
3．若函数y＝的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是( )
A．m＞－2 B．m＜－2 C．m＞2 D．m＜2
4．(2024·武汉模拟)已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是( )
A．图象位于第一、三象限 B．图象必经过点(－3，－2)
C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小
5．(2024·猇亭区校级二模)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数y＝－的图象上．其中x1A．y36．如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为(1，3)，S△ABC＝2，则k的值是( )
A．3 B．3.5 C．5 D．7
7．已知经过闭合电路的电流I(单位：A)与电路的电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为( )
I/A 5 … a … … … b … 1
R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100
A.a>b B．a≥b C．a8．一次函数y＝ax＋1与反比例函数y＝－在同一坐标系中的大致图象是( )
9．如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在△OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝(k≠0)图象上，则k的值为( )
A.－12 B．－15 C．－20 D．－30
10．(2024·新疆)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在y＝的图象上任取点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD＝.其中正确结论的个数是( )
A.1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(2024·武汉模拟)已知点M(2，a)在反比例函数y＝的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在第__ __象限．(填“一”“二”“三”或“四”)
12．某高速公路全长为200 km，那么汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的关系式为__ __．
13．在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2－kx＋4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为__ __．
14．如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是__ __．
15．(2024·广元)如图，已知y＝x与y＝(x＞0)的图象交于点A(2，m)，点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y＝(x＞0)上点C处，则B点坐标为 __ __．
三、解答题(共75分)
16．(6分)已知反比例函数y＝过点A(1，5).
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)请判断点B(－1，－6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．
17．(6分)先化简，再求值：(a－2＋)÷，其中a使反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限．
18．(6分)已知y＝y1＋y2，其中y1与3x成反比例，y2与－x2成正比例，且当x＝1时，y＝5；当x＝－1时，y＝－2.求当x＝3时，y的值．
19．(8分)(2024·十堰三模)如图，B，C是反比例函数y＝(k≠0)在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x－1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3.
(1)求点C的坐标及此反比例函数的关系式；
(2)求点B的坐标．
20．(8分)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－的图象相交于点A(－1，m)，B(n，－1)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
21．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连接OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求∠EOD的度数．
22．(10分)综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘(点P)可以在横梁BC段滑动(点P不与B，C重合).已知OA＝OC＝10 cm，BC＝25 cm，砝码的质量为100 g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量×OA＝右盘物体质量×OP(不计托盘与横梁质量).
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为y(g)，OP的长为x(cm)，求y关于x的函数解析式；
(2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P由点C向点B滑动，向空瓶中加入28 g的水后，发现点P移动到PC的长为15 cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量．
23．(11分)如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于A(1，3)，B(n，－1)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
(3)过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连接AC，求△ABC的面积．
24．(12分)(2024·自贡)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(－6，1)，B(1，n)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P是直线x＝－2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P的坐标；
(3)点Q在反比例函数y＝位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出Q点的坐标．
