第二十七章 相似
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2024·安阳期末)下面几对图形中，相似的是( C )
2．下列四条线段为成比例线段的是( B )
A．a＝10，b＝5，c＝4，d＝7 B．a＝1，b＝，c＝，d＝
C．a＝8，b＝5，c＝4，d＝3 D．a＝9，b＝，c＝3，d＝
3．(沙市区模拟)如图，已知a∥b∥c，如果AB∶BC＝2∶3，DE＝6，则DF的长为( C )
A．9 B．12 C．15 D．18
4．(2024·黄冈开学)如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，且OA∶OA1＝1∶2，若△ABC的面积为5，则△A1B1C1的面积为( C )
A．10 B．15 C．20 D．25
5．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( A )
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR
C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
6．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm，他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为4 cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为( D )
A．60 cm B．65 cm C．70 cm D．75 cm
7．(利川模拟)如图，△AOB中，A，B两个顶点在x轴的上方，点O是原点．以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△A′OB′，且AB∶A′B′＝1∶2.若点A的横坐标是a，则点A的对应点A′的横坐标是( A )
A．－2a B．2a C．－a D．a
8．如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，交BC于点G，若BG∶CG＝1∶2，EF＝，则菱形ABCD的边长是( B )
A．3 B．4 C．5 D．
9．(威海中考)如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为( C )
A．－1 B．－1 C．＋1 D．＋1
10．(2024·巴中)如图是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝( C )
A. B．
C． D．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．若＝＝(a≠0)，则＝____．
12．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件__∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝(答案不唯一)__，使△ADE∽△ABC.
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是__(4，2)__．
14．(广东中考)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为 __15__．
15．(2024·成都)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE.若BE＝BC，CD＝2，则BD＝____．
三、解答题(共75分)
16．(6分)如图，判断下面两个三角形是否相似，并说明理由．
解：相似．理由如下：∵∠C＝180°－46°－40°＝94°，∴∠A＝∠D，∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF
17．(6分)如图，D，E分别是AC，AB上的点，连接DE，且∠ADE＝∠B，若DE＝8，AB＝18，AD＝6，求BC的长．
解：∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝.∵DE＝8，AB＝18，AD＝6，∴＝，∴BC＝24
18．(6分)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB边上，且BD2＝BE·BC.求证：∠BDE＝∠C.
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD2＝BE·BC，∴＝，∴△EBD∽△DBC，∴∠BDE＝∠C
19．(8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
(1)画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1；
(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2∶1，并直接写出点A2的坐标．
解：(1)图略
(2)图略，A2(－2，－2)
20．(8分)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.
(1)求证：△ABC∽△AEB；
(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
解：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB (2)∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝9
21．(8分)王亮同学利用课余时间对学校旗杆的高度进行测量，他是这样测量的：把长为3 m的标杆垂直放置于旗杆一侧的地面上，测得标杆底端距旗杆底端的距离为15 m，然后往后退，直到视线通过标杆顶端正好看不到旗杆顶端时为止，测得此时人与标杆的水平距离为2 m，已知王亮的身高为1.6 m，请帮他计算旗杆的高度．(王亮眼睛距地面的高度视为他的身高)
解：根据题意知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，EF＝1.6 m，CD＝3 m，FD＝2 m，BD＝15 m，过E点作EH⊥AB，交AB于点H，交CD于点G，则EG⊥CD，EH∥FB，EF＝DG＝BH，EG＝FD，CG＝CD－EF＝3－1.6＝1.4(m)，∴△ECG∽△EAH，∴＝，即＝，∴AH＝11.9 m，∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)，即旗杆的高度为13.5 m
22．(10分)(东西湖区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC＝∠BDE.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)连接OC交BE于点F，若＝，求的值．
解：(1)如图，连接OE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE＋∠BEC＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＋∠BDE＝90°，∵∠BEC＝∠BDE，∴∠CBE＝∠DBE，∴∠CBE＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠ACB＝90°，∴OE⊥AC，又∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线
(2)∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，∵OE∥BC，∴△OEF∽△CBF，∴＝＝
23．(11分)(河南中考)在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图②.
请仅就图②的情形解答下列问题．
(1)求证：∠PAO＝2∠PBO；
(2)若⊙O的半径为5，AP＝，求BP的长．
解：(1)如图②，连接OP，延长BO与⊙O交于点C，则OP＝OB＝OC，∵AP与⊙O相切于点P，∴∠APO＝90°，∴∠PAO＋∠AOP＝90°，∵MO⊥CN，∴∠AOP＋∠POC＝90°，∴∠PAO＝∠POC，∵∠POC＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO
(2)如图②，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D，则AO＝＝，由(1)可知∠POC＝∠PAO，∴Rt△POD∽Rt△OAP，∴＝＝，即＝＝，解得PD＝3，OD＝4，∴BD＝BO＋OD＝9，在Rt△PDB中，BP＝＝＝3，故BP的长为3
24．(12分)(1)解决问题：如图①，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝90°时，求证：AD·BC＝AP·BP；
(2)拓展探究：若将90°角改为锐角(如图②)或钝角，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由；
(3)迁移应用：如图③，在△ABC中，AB＝2，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE.点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD＝45°，若CE＝，直接写出线段CD的长为 __5__．
解：(1)∵∠DPC＝∠A＝90°，∴∠BPC＋∠APD＝90°，∠ADP＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADP∽△BPC，∴＝，∴AD·BC＝AP·BP
(2)成立，理由：如图④，设∠DPC＝∠A＝∠B＝α(α＜90°)，∵∠ADP＝180°－∠A－∠APD＝180°－α－∠APD，∠BPC＝180°－∠DPC－∠APD＝180°－α－∠APD，∴∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，∴AD·BC＝AP·BP.如图⑤，设∠DPC＝∠A＝∠B＝β(β＞90°)，∵∠ADP＝180°－∠A－∠APD＝180°－β－∠APD，∠BPC＝180°－∠DPC－∠APD＝180°－β－∠APD，∴∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，∴AD·BC＝AP·BP
(3)∵∠B＝45°，∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝135°－∠ADB，∵△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠FDE＝180°－∠ADE－∠ADB＝135°－∠ADB，DE＝＝AD，∴∠FDE＝∠BAD，∵∠EFD＝45°，AB＝2，∴∠EFD＝∠B，∴△FDE∽△BAD，∴＝＝，∴DF＝AB＝×2＝4，∵∠CFE＝∠CED＝180°－45°＝135°，∠C＝∠C，∴△CFE∽△CED，∴＝，∴CD·CF＝CE2，∵CE＝，CF＝CD－DF＝CD－4，∴CD(CD－4)＝()2，解得CD＝5或CD＝－1(不符合题意，舍去)，∴线段CD的长为5.故答案为：5第二十七章 相似
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2024·安阳期末)下面几对图形中，相似的是( )
2．下列四条线段为成比例线段的是( )
A．a＝10，b＝5，c＝4，d＝7 B．a＝1，b＝，c＝，d＝
C．a＝8，b＝5，c＝4，d＝3 D．a＝9，b＝，c＝3，d＝
3．(沙市区模拟)如图，已知a∥b∥c，如果AB∶BC＝2∶3，DE＝6，则DF的长为( )
A．9 B．12 C．15 D．18
4．(2024·黄冈开学)如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，且OA∶OA1＝1∶2，若△ABC的面积为5，则△A1B1C1的面积为( )
A．10 B．15 C．20 D．25
5．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( )
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR
C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
6．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm，他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为4 cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为( )
A．60 cm B．65 cm C．70 cm D．75 cm
7．(利川模拟)如图，△AOB中，A，B两个顶点在x轴的上方，点O是原点．以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△A′OB′，且AB∶A′B′＝1∶2.若点A的横坐标是a，则点A的对应点A′的横坐标是( )
A．－2a B．2a C．－a D．a
8．如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，交BC于点G，若BG∶CG＝1∶2，EF＝，则菱形ABCD的边长是( )
A．3 B．4 C．5 D．
9．(威海中考)如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为( )
A．－1 B．－1 C．＋1 D．＋1
10．(2024·巴中)如图是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝( )
A. B．
C． D．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．若＝＝(a≠0)，则＝__ __．
12．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件__ __，使△ADE∽△ABC.
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是__ __．
14．(广东中考)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为 __ __．
15．(2024·成都)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE.若BE＝BC，CD＝2，则BD＝__ __．
三、解答题(共75分)
16．(6分)如图，判断下面两个三角形是否相似，并说明理由．
17．(6分)如图，D，E分别是AC，AB上的点，连接DE，且∠ADE＝∠B，若DE＝8，AB＝18，AD＝6，求BC的长．
18．(6分)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB边上，且BD2＝BE·BC.求证：∠BDE＝∠C.
19．(8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
(1)画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1；
(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2∶1，并直接写出点A2的坐标．
20．(8分)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.
(1)求证：△ABC∽△AEB；
(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
21．(8分)王亮同学利用课余时间对学校旗杆的高度进行测量，他是这样测量的：把长为3 m的标杆垂直放置于旗杆一侧的地面上，测得标杆底端距旗杆底端的距离为15 m，然后往后退，直到视线通过标杆顶端正好看不到旗杆顶端时为止，测得此时人与标杆的水平距离为2 m，已知王亮的身高为1.6 m，请帮他计算旗杆的高度．(王亮眼睛距地面的高度视为他的身高)
22．(10分)(东西湖区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC＝∠BDE.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)连接OC交BE于点F，若＝，求的值．
23．(11分)(河南中考)在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图②.
请仅就图②的情形解答下列问题．
(1)求证：∠PAO＝2∠PBO；
(2)若⊙O的半径为5，AP＝，求BP的长．
24．(12分)(1)解决问题：如图①，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝90°时，求证：AD·BC＝AP·BP；
(2)拓展探究：若将90°角改为锐角(如图②)或钝角，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由；
(3)迁移应用：如图③，在△ABC中，AB＝2，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE.点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD＝45°，若CE＝，直接写出线段CD的长为 __ __．
