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第6章 一次方程组
6.2 二元一次方程组的解法
第5课时 二元一次方程组的实际应用
1. 《九章算术》是我国古老的数学经典著
作，书中提到这样一道题目：以绳测井.若将绳三折测之，绳
多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？题
目大意是：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，
一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长
比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深
尺，则符合题意的方程组是( )
A. B.
C. D.
√
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2.在一次学校组织的知识竞赛中，竞赛规则如下：本次竞赛
共30道题，每题答对了得3分，答错或不答倒扣2分，已知小
明最终得分为65分，则他共答对了____道题.
25
3.一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车
的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们
相向而行，则两车从相遇到完全分开只需 秒.若动车组长度
为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是
____________，动车组的速度是___________.
90千米/时
180千米/时
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4.如图，图①是一个长为，宽为 的长方形，沿图中虚线
用剪刀平均分成四块小长方形.已知图②中拼成的大正方形的
周长为28，阴影部分的周长为20，则图①中平均分成的每个
小长方形的面积是___.
6
返回
5.[2024海南期中] 某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每
天可生产镜片200片或镜架50个.每副太阳镜需要2片镜片和1
个镜架配成一套，应安排____人生产镜片,____人生产镜架，
才能使产品配套.
20
40
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6.某市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内部分河道进
行整治.现有一段长225米的河道整治任务由甲、乙两个工程
队先后接力完成.甲工程队每天整治10米，乙工程队每天整治
15米，共用时20天.求甲、乙两工程队分别整治河道多少米.
（1）小强、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小强同学：设甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道 米.
根据题意，得
②小华同学：设表示____________________， 表示______
______________；
则可列方程组为
请你补全小强、小华两位同学的解题思路.
甲工程队工作的天数
乙工程队工作的天数
（2）请从①②两位同学的解题思路中任选一种，写出完整
的解答过程.
【解】选择①
设甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道 米.
则解得
答：甲工程队整治河道150米，乙工程队整治河道75米.
或选择②
设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是 天.
则解得
所以甲整治的河道长度为 （米）；乙整治的河
道长度为 （米）.
答：甲工程队整治河道150米，乙工程队整治河道75米.
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7. 现有一批脐橙运往外地销售，型车载满一次可运3吨，
型车载满一次可运4吨，现有脐橙31吨，计划同时租用，
两种型号的车，一次运完且恰好每辆车都载满脐橙，租车方
案共有( )
B
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
【点拨】设租型车辆，租型车 辆.
根据题意得，., 均为正整数，所
以易知当时，符合题意；当时， 符合
题意；当时，符合题意. 租车方案共有3种，分
别为租型车1辆，租型车7辆；租型车5辆，租 型车4辆；
租型车9辆，租 型车1辆.故选B.
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8.[2024聊城月考] 市场淡季，为促进空调销售量，某商场进
行优惠活动，已知购买2台型空调和1台 型空调需要7 900
元；购买2台型空调和3台 型空调需要14 100元.
（1）求型空调、 型空调的单价分别为多少元.
【解】设型空调的单价为元，型空调的单价为 元，由
题意得解得
答：型空调的单价为2 400元， 型空调的单价为3 100元.
（2）某单位需要购买型空调5台， 型空调3台，现商家推
出活动，优惠一： 型空调满3台打八折；优惠二：总购物金
额满20 000元减2 000元（两种优惠不同时享受），问该单
位如何购买更划算？
【解】选择优惠一所需费用为
（元）；选择优惠二
所需费用为 （元），
（元）.
， 选择优惠一购买更划算.
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9. 四川某中学新建了一栋4层的教学大楼，
每层楼有8间教室，共有4道门可以进出这栋大楼，其中两道
正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查时对4道门进
行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门，1分钟内可以
通过300名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，1分钟
内可通过230名学生.
（1）平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
【解】设平均每分钟一道侧门和一道正门各可以通过 名学
生， 名学生，
由题意得解得
答：平均每分钟一道正门可以通过160名学生，一道侧门可
以通过70名学生.
（2）检查中发现，紧急情况时学生争分夺秒有序离开，出
门的效率提高 .在防地震演练中，学校规定全大楼的学生
应在3分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教
室最多有50名学生，则建造的这4道门是否符合规定？请你
说明理由.
【解】建造的这4道门符合规定，理由如下：
（名），
（名），
， 建造的这4道门符合规定.
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10.[2024天津期末] 用3辆型车和2辆 型车载满货物一次可
运货17吨；用2辆型车和3辆 型车载满货物一次可运货18吨.
某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆， 型车
辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.根据以上信息，
解答下列问题：
（1）1辆型车和1辆 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
【解】设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货
吨、 吨，依题意列方程组，得
解得
辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆 型车载满货物一
次可运货4吨.
（2）若型车每辆需租金200元/次， 型车每辆需租金220元/
次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
【解】结合题意和（1）得，, .
，都是正整数，或或
有3种租车方案：方案一：型车2辆， 型车7辆；
方案二：型车6辆， 型车4辆；
方案三：型车10辆， 型车1辆.
型车每辆需租金200元/次，型车每辆需租金220元/次，
方案一需租金： （元）；
方案二需租金： （元）；
方案三需租金： （元）.
, 最省钱的租车方案是方案一：
型车租2辆， 型车租7辆，最少租车费为1 940元.
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11. 根据以下素材，探索完成任务.
如何设计板材裁切方案？
素材一 图①中是一张学生椅，
主要由靠背、座垫及铁架组成.
经测量，该款学生椅的靠背尺
寸为 ，座垫尺
寸为 .图②是靠
背与座垫的尺寸示意图.
素材二 因学校需要，某工厂配合制做该款式学生椅.经清点
库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场
上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫.已知
该板材长为，宽为 （裁切时不计损耗）.
任务一 拟定裁切方案
若要不造成板材浪费，请你设计出一张板材的所有裁切方法
（可设裁切靠背张，座垫 张）.
方法一：裁切靠背16张和座垫0张.
方法二： 裁切靠背___张和座垫___张.
方法三： 裁切靠背___张和座垫___张.
9
3
2
6
【点拨】设一张该板材可裁切靠背张，座垫 张，根据题意
得， .
，为非负整数，或或
方法二：裁切靠背9张和座垫3张；
方法三：裁切靠背2张和座垫6张；
任务二 确定搭配数量
若该工厂购进50张该型号板材，
能制做成多少张学生椅？
（张），
该工厂购进50张该型号板
材，能制做成240张学生椅.
任务三 解决实际问题
现需要制作500张学生椅，该
工厂仓库现有8张座垫，需要
购买该型号板材多少张
（恰好全部用完）？并给出一
种裁切方案.
【解】设用张板材裁切靠背9张和座垫3张，用 张
板材裁切靠背2张和座垫6张，
根据题意得解得
（张）， 需要购买该型号板材103张，用
其中42张板材裁切靠背9张和座垫3张，用61张板材裁切靠背
2张和座垫6张.
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第6章 一次方程组
测素质 二元一次方程组及其解法
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每题4分，共28分）
1. [2024开封月考] 下列方程组中是二元一次方程组的是
( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 若是关于,的二元一次方程 的一组
解，则 的值是( )
A
A. B. 0 C. 1 D. 2
返回
3. 已知关于，的二元一次方程组 的解满
足，则 的值为( )
B
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. [2024南阳期末] 若关于，的方程组 的
解满足与互为相反数，则 的值是( )
A
A. B. 3 C. 1 D. 2
返回
5. [2024宜宾月考] 若关于，的方程组 的解为
整数，则满足条件的所有整数 的值的和为( )
C
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【点拨】
由，得，解得 .
将代入①，得 .
关于，的方程组 的解为整数，
当取,,1,2时 为整数，
当时，解得，则 ，符合题
意；
当时，解得，则 ，符合
题意；
当时，解得，则 ，符合题意；
当时，解得，则 ，符合题意.
满足条件的所有整数的值的和为 .
返回
6. [2024长沙月考] 若方程组与 有
相同的解，则， 的值为( )
C
A. 2， B. 2， C. 3， D. ，2
【点拨】 方程组与 有相同的解，
联立其中两个方程，得解得
将代入其他两个方程得出
解得
返回
7. 已知从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，一辆汽
车上坡时速度为，下坡时速度为 ，车从甲地
开往乙地需 ，若从乙地返回甲地时，上下坡的速度不变，
时间为 ，那么甲、乙两地的公路长( )
B
A. B. C. D.
【点拨】设从甲地到乙地的上坡路长，下坡路长 ，
根据题意得
，得 ，
.
.
甲、乙两地的公路长 .
返回
二、填空题（每题4分，共16分）
8.[2024苏州月考] 若是关于，
的二元一次方程，则 ___.
3
返回
9.[2024绍兴月考] 已知是方程组 的
解，那么 ___.
1
【点拨】将代入原方程组，得
即
由，得， .
将代入②，得，解得 .
.
返回
10.已知,满足 我们可以不解这个方程组，
用可整体求出的值，则 的值是
____.
【点拨】 ，得
可整体求出 的值，
，得，⑤ ，
得.⑥ ，得，解得 .将
代入③，得 ，解得
的值是 .
返回
11. 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，
在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出
水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为 厘米，此时木
桶中水的深度是____厘米（用含 的代数式表示）.
【点拨】设较长铁棒的长度为厘米，较短铁棒的长度为 厘米，
根据题意可列方程组解得
木桶中水的深度是 .
返回
三、解答题（56分）
12.[2024海口期末] （12分）解下列方程组：
（1）
【解】
，得，解得 .
把代入②，得.所以
（2）
【解】
方程组可化为
，得，，得 ，
解得.把代入②，得 .
所以
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13.（14分）已知关于,的方程组
（1）当 时，该方程组的解是_ ______________.
（2）与的数量关系是____________（不含字母 ）;
【点拨】方程组
，得 ，
整理得， .
（3）是否存在有理数，使得 ？若存在，请
求出 的值，若不存在，请说明理由.
【解】不存在.理由如下：
，，，解得 ，
，
代入方程组，得
解得且 ，矛盾，
不存在有理数，使得 .
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14.（14分）已知关于，的方程组 其中
， 为整数.
（1）若方程组有无穷多组解，求实数与 的值.
【解】
由①得， ，③
将③代入②得 ，
整理得出 ，④
方程组有无穷多组解，且 ，
解得， .
（2）当 时，方程组是否有整数解？如有，求出整数
解；若没有，请说明理由.
【解】没有，理由如下：
由（1）得 ，
， .
①当时， 无解.
②当时，，代入 ，得
.
为整数，
不可能为整数，
原方程组无整数解.
综上，原方程组没有整数解.
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15.（16分） 某汽车制造商开发了一款新能源
汽车，计划一年生产安装360辆.为按时完成计划，工厂决定
招聘一批新工人与熟练工一起生产.生产开始后，调研部门发
现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2
名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车.
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？
【解】设每名熟练工每月可以安装 辆新能源汽车，每名新
工人每月可以安装 辆新能源汽车.
根据题意得解得
答：每名熟练工每月可以安装6辆新能源汽车，每名新工人
每月可以安装2辆新能源汽车.
（2）如果工厂招聘 名新工人，使得招聘的新
工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂
有哪几种新工人的招聘方案？
【解】设工厂有 名熟练工.
根据题意，得 ，
即，所以 ，
又,都是正整数， ，
所以时，；时，；时， .
即工厂有3种新工人的招聘方案：
①招聘新工人9人，抽调熟练工2人；
②招聘新工人6人，抽调熟练工3人；
③招聘新工人3人，抽调熟练工4人.
（3）在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练
工人每月发放4 000元的工资，给每名新工人每月发2 400元
的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多
于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额 （元）尽可能少？
【解】由（2）新工人的招聘方案可得，要使新工人的数量
多于熟练工，则，或， .
根据题意得 .
当，时， （元）；
当，时， （元）.
，
当， 时，工厂每月支出的工资总额更少.所以工
厂应招聘6名新工人.
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第6章 一次方程组
6.2 二元一次方程组的解法
第1课时 直接用代入消元法
1. [2024新乡月考] 在解方程组 的过程中，将
②代入①可得( )
C
A. B.
C. D.
2.[2024厦门期中] 已知方程组则可用含 的代数
式来表示 为___________.
返回
3.[2024莆田期末] 方程组 的解是_ ________.
返回
4.用代入消元法解方程：
（1）
【解】
把①代入②，得，解得 .
把代入①，得.所以
（2）
【解】由②得 ，③
把③代入①，得，解得 .
把代入③，得.所以
返回
5.下面是小红同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并
完成相应任务.
解：
由①得， _______，③ 第一步
将③代入②，解得 ____. 第二步
将的值代入③，解得 ____. 第三步
所以原方程组的解为__________. 第四步
2
5
（1）请将上面的空格补充完整；
（2）第一步依据的是_________________________________
_____________________________；
（3）该方程组的解法为____________.
等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得的结果仍是等式
代入消元法
返回
6. 已知关于,的方程组 和
方程组有相同的解，则 的值是____.
15
【点拨】因为两个方程组同解，所以可组成方程组
将①代入②得 ，③ 将③代入①得
，所以这两个方程组的解是 将其代入
，得 .
返回
7. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方
由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），
已知加密规则为：明文,,,对应密文, ,
, .例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收
到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )
B
A. 7,7,1,4 B. 6,4,1,7 C. 4,6,1,7 D. 1,6,4,7
【点拨】由题意可得，， ，
，，解,得 ，直接代入可
得，，， 解密得到的明文为6，4，1，7.
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8.五月枇杷韵黄金，白玉如蜜味芳华.德清枇杷品种以红种和
白沙为最佳，白沙枇杷因味甜汁鲜更受消费者青睐，故其价
格比红种枇杷的价格每斤贵3元，买5斤白沙枇杷比买7斤红
种枇杷还贵1元.求白沙枇杷和红种枇杷的价格.
【解】设白沙枇杷的价格为元/斤，红种枇杷的价格为 元/
斤，根据题意可列二元一次方程组 把①代入
②得，，解得.把 代入①得
.所以
答：白沙枇杷的价格为10元/斤，红种枇杷的价格为7元/斤.
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第6章 一次方程组
专题7 二元一次方程组的应用类型
类型1 盈不足问题
1.[2024绍兴期末] 某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这
样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多
九客，一房九客少七客.诗中后两句的意思是：如果每一间客
房住7人，那么有9人无房可住；如果每一间客房住9人，那
么就有一间客房少7人.
（1）该店有客房多少间？房客多少人？
【解】设该店有客房间，房客 人，
依题意，得解得
答：该店有客房8间，房客65人.
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，
每间客房收费50钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客
房25间以上（含25间），房费按八折优惠.若诗中“众客”再次
一起入住，他们如何订房更合算？
【解】65人至少需要客房22间，需付费 （钱）；
若一次性订客房25间，则需付费 （钱）.
， 一次性订客房25间更合算.
答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订客房25
间更合算.
返回
类型2 销售问题
2.[2024沈阳模拟] 某商场用相同的价格分两次购进2匹和3匹
两种型号的立地式空调，两次购进情况如下表：
2匹/台 3匹/台 总价/元
第一次 20 30 260 000
第二次 10 20 160 000
（1）该商场购进2匹和3匹立地式空调的单价各为多少元？
【解】设2匹立地式空调的单价为 元，3匹立地式空调的单
价为 元.由题意得
解得
答：该商场购进2匹立地式空调的单价为4 000元，3匹立地
式空调的单价为6 000元.
（2）已知商场2匹立地式空调的标价为每台5 400元，3匹立
地式空调的标价为每台8 400元，两种立地式空调均销售一
半后，为了促销，剩余的2匹立地式空调打九折，3匹立地式
空调打八折全部销售完，问两种立地式空调售完后商场获利
多少元？
【解】由题意可得
（元）.
答：两种立地式空调售完后商场获利111 900元.
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类型3 购物问题
3.[2024信阳期末] 某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助
力乡村振兴，下表是本次购买图书的清单，部分数据看不清，
根据其他数据可求出购买《爱的教育》《边城》的数量分别
为________.
15，10
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名称 数量/本 单价/（元/本） 金额/元
《假如给我三天光明》 5 50 250
《爱的教育》 ___________ 30 ___________
《边城》 ____________ 25 ____________
总计 30 950
类型4 几何问题
4.[2024黄石期末] 如图是由同一种
长方形墙砖粘贴的部分墙面，其中
三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖
高 ，两块横放的墙砖比两块竖
525
放的墙砖低，则每块墙砖的面积是_____ .
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类型5 积分问题
5. 为落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不
少于1小时”的文件精神，提升学生身体素质，某校利用课后
服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，
共16个班级参加.
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，
负一场积1分.某班级在15场比赛中获得的总积分为41分，问
该班级胜负场数分别是多少？
【解】设该班级胜了场，负了 场，根据题意得
解得
答：该班级胜负场数分别是13场和2场.
（2）根据比赛情况，学校商店对某篮球在甲、乙两校区的销
售单价进行了如下调整：甲校区上涨 ，乙校区降价5元.已
知销售单价调整前甲校区比乙校区少10元，调整后甲校区比乙
校区少1元，求调整前甲、乙两校区该篮球的销售单价.
【解】设调整前甲校区该篮球的销售单价为 元，乙校区该
篮球的销售单价为 元，由题意得
解得
答：调整前甲校区该篮球的销售单价为40元，乙校区该篮球
的销售单价为50元.
返回
类型6 配套问题
6.[2024郑州期末] 某制衣厂的一个车间现有24名制作服装的
工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作
这种衬衫3件或裤子5条.已知制作一件衬衫可获得利润30元，
制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润
2 100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？
【解】设安排名工人制作衬衫， 名工人制作裤子，由题意
可列方程组为解得
所以需要安排18名工人制作衬衫.
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类型7 行程问题
7.甲、乙两地相距74千米，途中有上坡路、平路和下坡路.一
汽车从甲地下午1点出发，到乙地是下午3点30分，停留30分
钟后从乙地出发，下午6点48分返回甲地.已知汽车在上坡路
每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡路每小时
行驶40千米，求从甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡路、
下坡路分别是多少千米？
【解】从下午1点到下午3点30分共2.5小时，休息30分钟后，
即下午4点从乙地出发，从下午4点到下午6点48分共2.8小时.
设从甲地到乙地的行驶过程中平路是千米，上坡路是 千米，
则下坡路是 千米，
根据题意得解得
.
答：从甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16
千米，下坡路是28千米.
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类型8 增收节支问题
8.[2024天津二模] 某企业看准时机，合理谋划，争取通过增
收减支，到今年年底使企业利润翻一番，该企业的具体目标
是：保证今年总产值比去年增加 ，总支出比去年减少
，已知该企业去年的利润（利润 总产值一总支出）为
200万元，求今年的总产值、总支出分别是多少万元.
【解】设去年的总产值为万元，总支出为 万元，则今年的
总产值为万元，总支出为 万元，根据
题意得
解得 今年的总产值为
（万元），总支出为 （万元）.
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第6章 一次方程组
6.2 二元一次方程组的解法
第2课时 变形后用代入消元法
1. [2024海口月考] 用代入法解方程组 正
确的解法是( )
B
A. 先将①变形为 ，再代入②
B. 先将①变形为 ，再代入②
C. 先将②变形为 ，再代入①
D. 先将②变形为 ，再代入①
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2. [2024桂林期末] 对于二元一次方程组 把
①变形后代入②消去后所得到的方程为 ，
则①可以是( )
C
A. B.
C. D.
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3. [2024长春期中] 用代入消元法解方程组
以下各式正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4. 若与 的和是单项
式，则， 的值分别是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
C
返回
5. 下面是小明同学解方程组
的过程的框图表示，请你帮他补充完整：
其中，①为______，②为_______，③为_______.
代入
消去
解得
返回
6.用代入消元法解下列方程：
（1）
【解】由①得 ,③
将③代入②得，，解得 .
把代入①得，，解得 .
所以
（2）
【解】
整理，得
由①得 ，③
把③代入②，得，解得 .
把代入③，得.所以
返回
7. [2024郴州期末] ，那
么与 的值分别为( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】 ，
解得
返回
8. 定义一种新运算“ ”，规定
，其中，为常数，且 ，
，则 ( )
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【点拨】，且， ，
解得
.
返回
9.[2024西安新城区月考] 已知与 互为相反数，
并且，则 的值为___.
4
【点拨】与 互为相反数，
，即 解
得
.
返回
10. 已知方程组 由于甲看
错了方程①中的，得到方程组的解为 乙看错了方程
②中的，得到方程组的解为试求， 的值及原方程
的解.
【解】将代入②，得，解得 .
将代入①，得，解得 .
把，代入方程组，得
由①得 ，③
将③代入②，得，解得 .
将代入③，得 .
则原方程组的解为
返回
11.[2024南昌期末] 已知关于，的方程组 和
有相同的解.
（1）求出它们的相同解；
【解】由题意得
由②得 .③
将③代入①得，解得 .
把代入③得 方程组的解为
（2）求 的值.
【解】把分别代入和 ，得
由①得 .③
把③代入②，得，解得 .
把代入③，得 .
.
返回
12. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组
时，采用了一种“整体代入”的解法.
解：将方程②变形，得 ,即
.③ 把方程①代入③,得 ,解
得.把代入①,得 .所以方程组的解为
请你解决以下问题：
（1）仿照小军的“整体代入”法解方程组
【解】将方程②变形为 ，③
把①代入③，得，解得 ，
把代入①，得，解得 .
原方程组的解为
（2）已知,满足方程组求 的值.
【解】由①，得 ，③
把②代入③，得，解得 .
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第6章 一次方程组
6.4 实践与探索
1. [2024济南莱芜区期中] 如图，在长方形 中，放入六
个形状大小相同的小长方形，则图中的阴影部分的面积是
( )
D
A. B. C. D.
【点拨】设小长方形的长为 ，宽
为 ，根据题意得
解得 .
图中
的阴影部分的面积是 .
设小长方形的长为 ，
宽为 ，观察图形列出二元一次方
程组，解之得出， 的值，再利用
阴影部分的面积长方形 的面
积 个小长方形的面积，即可得出结论.
返回
2.[2024太原三模] 某元宵生产商受原料保质期影响，在购买
元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买单价不
变，购进原料的总金额和数量如下表所示：
第一次 第二次
糯米粉/千克 10 12
黄油/千克 2 3
总金额/元 310 405
若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的
总金额为多少元？
【解】设糯米粉每千克的价格为元，黄油每千克的价格为 元，
依题意得解得
第三次购买的总金额为
（元）.
返回
3.[2024重庆沙坪坝区月考] 一艘轮船从地顺水航行到 地用
了4小时，从地逆水航行返回 地比顺水航行多用2小时，已
知轮船在静水中的速度是25千米/时.
（1）求水流速度和， 两地之间的距离；
【解】设水流速度为千米/时，，两地相距 千米，则轮
船在顺水中的速度为 千米/时，在逆水中的速度为
千米/时，根据题意得
解得
答：水流速度为5千米/时，， 两地相距120千米.
（2）若在这两地之间的地建立新的码头，使该轮船从 地
顺水航行到码头的时间是它从地逆水航行到 码头所用时
间的一半，问， 两地相距多少千米？
【解】设，两地相距 千米，根据题意得
，解得 .
答：，两地相距 千米.
返回
（第4题）
4. [2024苏州期末] 用图①中的长方形和
正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的
竖式和横式的两种无盖纸盒（图②中两种
纸盒朝上的一面不用纸板）.现在仓库里
D
A. 2 021 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025
有张长方形纸板和 张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，
恰好使库存的纸板用完，则 的值可能是( )
（第4题）
【点拨】设做竖式的无盖纸盒
个，横式的无盖纸盒 个，根
据题意得 ，
，都是正整数，
是5的倍数，
的值可能是2 025.
返回
（第5题）
5. 李老师逛超市时看中一套碗，
她将碗叠成一列（如图），测量后发现：2只碗
叠放时总高度为 ，4只碗叠放时总高度为
.若将8只碗叠成一列正好能放入消毒柜，
则这个消毒柜的高度为( )
B
A. B. C. D.
（第5题）
【点拨】设一只碗的高度为 ，增加一只碗高
度增加，由题意得 解得
只碗叠成一列的高度为 .
将8只碗叠成一列正好能放入消毒柜， 这个消毒柜的高
度为 .
返回
6. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看
图方便，我们把它改为横排，如图.图中各行从左到右列出的
算筹数分别表示未知数， 的系数与相应的常数项.把图①所
示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
在图②所示的算筹图中有一个图形被墨水覆
盖了，如果图②所表示的方程组中 的值为3，则被墨水所覆
盖的图形为 ( )
C
A. B. C. D.
【点拨】设被墨水所覆盖的图形表示的数为 ，根据题意
得，把代入，得 由①
得，把代入②得，解得 .
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7.新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污损
导致部分信息无法识别，根据下表解决问题:
家居用品名称 单价/元 数量/个 金额/元
挂钟 30 2 60
垃圾桶 15
塑料鞋架 40
艺术饰品 2 120
电热水壶 35 1
合计 8 310
（1）____, ____.
60
35
（2）甲居民购买了垃圾桶、塑料鞋架各几个
【解】设甲居民购买了垃圾桶个，塑料鞋架 个，依题意，
得 解得
答：甲居民购买了1个垃圾桶，2个塑料鞋架.
（3）若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，
共花费150元，则有哪几种不同的购买方案
【解】设甲居民再次购买个艺术饰品， 个垃圾桶，
依题意，得,所以 .
又因为,均为正整数，所以或
所以共有2种购买方案：
方案1:购买1个艺术饰品，6个垃圾桶；方案2:购买2个艺术饰
品，2个垃圾桶.
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8. “灾难无情，人有情”,为救援灾区，某市筹
集了大量的物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往灾
区，具体运输情况如下表：
批次 货车型号 第一批 第二批
甲型货车/辆 3 4
乙型货车/辆 4 5
已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输救援
物资47吨，第二批累计运输救援物资60吨.
（1）甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨救援物资？
【解】设甲型货车每辆满载能运 吨救援物资，乙型货车每
辆满载能运 吨救援物资，依题意得
解得
答：甲型货车每辆满载能运5吨救援物资，乙型货车每辆满
载能运8吨救援物资.
（2）该市后续又筹集了150吨救援物资，计划同时使用两种
型号的货车一次性运完（每辆货车都满载），请问共有哪几
种运输方案？
【解】设应安排辆甲型货车， 辆乙型货车，依题意得
，.， 均为非零自然数，
或或
共有3种运输方案，
方案1：安排22辆甲型货车，5辆乙型货车；
方案2：安排14辆甲型货车，10辆乙型货车；
方案3：安排6辆甲型货车，15辆乙型货车.
（3）已知甲型货车每辆运输成本为500元/次，乙型货车每辆
运输成本为700元/次，运输方案中哪种成本最低？最低成本
为多少元？
【解】方案1的成本： （元）；
方案2的成本： （元）；
方案3的成本： （元）.
，
安排6辆甲型货车，15辆乙型货车，运输成本最低，最低
成本为13 500元.
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第6章 一次方程组
测素质 二元一次方程组的应用
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每题6分，共30分）
1. 《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一
百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：
100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头.问
大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有 人，则可列方程组
为( )
A. B. C. D.
A
返回
2. [2024南昌期中] 图①是长为
、宽为 的长方形，将四个这
样的长方形摆放在一个长为5、
宽为4的大长方形中，如图②所
示，则图②中阴影部分的面积是
( )
B
A. 8 B. 12 C. 15 D. 16
【点拨】由题意得解得 所以阴影部分
的面积是 .
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3. 小林在某商店两次购买商品，，购买商品， 的数量和
费用如下表：
购买商品 的 数量/个 购买商品 的 数量/个 购买总费用/元
第一次 6 5 1 140
第二次 3 7 1 110
则商品， 的标价分别是( )
C
A. 60元，90元 B. 90元，60元
C. 90元，120元 D. 120元，90元
【点拨】设商品的标价为元，商品的标价为 元，
根据题意，得解得
即商品的标价为90元，商品 的标价为120元.
返回
4. 嘉祥县是鲁西黄牛、小尾寒羊的国家育种基地县，2024年
前三季度全县畜牧业产值高达16.57亿元.据了解，某养牛场
原有50头大牛和20头小牛，1天约用饲料 ；3天后又
购进10头大牛和60头小牛，这时1天约用饲料 .下列说
法中，错误的是( )
D
A. 每头大牛1天约用饲料
B. 1头大牛和1头小牛1天约用饲料
C. 1头大牛和2头小牛1天约用饲料
D. 2头大牛和1头小牛1天约用饲料
【点拨】设每头大牛1天约用饲料 ，每头小牛1天约用饲
料 ，
根据题意得解得
每头大牛1天约用饲料，每头小牛1天约用饲料 .
每头大牛1天约用饲料，说法正确. 头大牛和1头小牛
1天约用饲料，说法正确. 头大牛和2头小
牛1天约用饲料，说法正确. 头大牛和
1头小牛1天约用饲料 ，说法错误.
返回
5. 小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路
公交车，每隔4分钟迎面驶来一辆8路公交车.假设每辆8路公
交车行驶速度相同，而且8路公交车总站每隔固定时间发一
辆车，那么发车间隔的时间是( )
D
A. 3分钟 B. 4分钟 C. 5分钟 D. 6分钟
【点拨】设8路公交车的速度为米/分，小王行走的速度为
米/分，同向行驶的相邻两车的间距为 米.
根据题意得由可得 ，
所以 ，即8路公交车总站发车间隔时间是6分钟.
返回
二、填空题（每题6分，共18分）
6.[2024长春月考] 小芳与妈妈的年龄和是50岁，5年后，妈妈
的年龄是小芳年龄的3倍，求小芳和妈妈的年龄各是多少.若
设小芳岁，妈妈 岁，则可列方程组为_ ________________.
返回
7.某班为奖励在数学竞赛中获奖的同学，花费32元购买了甲、
乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，
乙种奖品每件3元，则有___种购买方案.
2
【点拨】设购买件甲种奖品， 件乙种奖品，
依题意得， .
，均为正整数，或
共有2种购买方案.
返回
8.古代中国有诸多技艺均领先世界水平，榫卯 结构
就是其中最为华丽的一点.榫卯是在两个木构件上所采用的一
种凹凸结合的连接方式.有若干个相同的木构件，其形状如图
①所示，它们紧密拼成一列如图②.已知当3个木构件紧密拼
成一列时，总长度为 ，当9个木构件紧密拼成一列时，
总长度为 ，则图①中的木构件长度为______.
【点拨】设题图①中，去掉凸起部分的木构件长度为 ，
凸起部分的长度为，由题意得 解得
所以题图①中的木构件长度为 .
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三、解答题（共52分）
9.（14分） 当下电子产品更新换代速度加
快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既
可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每
吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5
吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中
提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄
金与白银各多少克.
【解】设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银 克，
根据题意得解得
即从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1 000克.
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10.（18分）[2024重庆期中] 为拓展办学空间，凤中教育集团
总校的新食堂正在紧锣密鼓地装修，其中由甲、乙两个装修
组同时铺设地面.
（1）甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两个装修
组每天共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺
设地面多少平方米；
【解】设甲装修组每天铺设平方米，乙装修组每天铺设 平
方米.由题意得解得
答：甲装修组每天铺设50平方米，乙装修组每天铺设30平方米.
（2）已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35 200元，
若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费
34 800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元.
【解】设甲装修组施工一天的工时费为 元，乙装修组施工
一天的工时费为元.由题意得
解得
答：甲装修组施工一天的工时费为3 000元，乙装修组施工
一天的工时费为1 400元.
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11.（20分）某平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件
售价60元，可得利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元.
（1）甲种商品每件进价为____元，每件乙种商品所得利润
为____元.
40
30
（2）若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共50件，总
进价为2 100元，求购进甲、乙商品各多少件.如果这些商品
全部出售，商场共获利多少元？
【解】设购进甲种商品件，购进乙种商品 件，根据题意有
解得
（元）.
所以购进甲种商品40件，乙种商品10件，商场共获利1 100元.
（3）在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的
优惠促销活动：
一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超 过600元 打九折
超过600元 其中600元的部分打八二折，超过600
元的部分打三折
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504
元，求小华在该商场购买乙种商品多少件.
【解】设一次性购物总金额为元，若 超过450，但不超过
600，则有，解得 ，
此时购买乙种商品的数量为 （件）；
若超过600，则有 ，解
得，此时购买乙种商品的数量为 （件）.
综上所述，小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小
华在该商场购买乙种商品7件或8件.
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第6章 一次方程组
全章热门考点整合应用
考点1 二元一次方程（组）的解
1. [2024青岛期中] 如果是方程组 的解，
则 的值为( )
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
返回
2.[2024泸州月考] 已知与都是关于， 的方
程 的解.
（1）求， 的值；
【解】与都是关于，的方程
的解，解得
（2）若也是方程的解，求 的值.
【解】当，时，原方程为 .
也是方程 的解，
，解得 .
返回
考点2 解二元一次方程组
3. 解下列方程组：
（1）[2024苏州]
【解】得，即 .
将代入①得，解得 .
所以原方程组的解为
（2）
【解】原方程组整理得
得 ，③
得，解得 .
把代入②得，解得 ，
所以原方程组的解为
（3）
【解】由得 ，④
把④代入③得，解得 .
把代入①②得解得
所以方程组的解为
返回
4.已知 是一个方程组.圆圆说：“这个方程
组的解是而我由于看错了第二个方程中 的系数，求
出的解是 ”请你根据以上信息，把方程组复
原出来.
【解】设为，●为， 为， 这个方程组的解是
看错了第二个方程中
的系数，求出的解是
解得所以原方程组为
返回
考点3 二元一次方程组的应用
5. [2024海南期中] 已知单项式与 是同类
项，那么， 的值分别是( )
C
A. 2， B. ， C. 2，1 D. ，1
【点拨】 单项式与 是同类项，
把代入，得 ，
解得 .
把代入，解得 .
返回
6. 化学方程式是用化学式来表示物质化学反应
的式子.化学方程式不仅表明了反应物、生成物和反应条件，
同时化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系，例
如就表示两份（氢气）与一份 （氧气）
点燃生成两份 （水）.依据化学反应过程中的质量守恒定
律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数
一定相同.已知 ，由此可列
出关于， 的二元一次方程为( )
D
A. B.
C. D.
返回
7.[2024吉林模拟] 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，
扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展.云南大理某扎染
坊第一次用3 700元购进甲种布料25件，乙种布料55件；第
二次以同样的价格用3 800元购进甲种布料50件，乙种布料
20件.该扎染坊购进的甲、乙两种布料的单价各是多少元？
【解】设该扎染坊购进的甲种布料的单价为 元，乙种布料
的单价为 元，
由题意得解得
答：该扎染坊购进的甲种布料的单价是60元，乙种布料的单
价是40元.
返回
8.甲、乙两人在某环形道路上跑步，假设他们在跑步过程中
各自保持一定的速度不变.如果他们同时从同一地点反向而行，
那么就会形成每隔10分钟相遇一次的规律；如果他们同时从
同一地点同向而行，那么5分钟后甲在乙的前方200米处，并
且他们的相遇规律变成了每隔100分钟相遇一次.求甲的速度
和环形道路的长度.
【解】设甲的速度为米/分，乙的速度为 米/分，环形道路
的长度为 米，
依题意得解得
答：甲的速度为220米/分，环形道路的长度为4 000米.
返回
思想1 转化思想
9.已知，，， ，中每个数只能取 ，0，2中
的一个，且满足
则 _____.
627
【点拨】设有个数取， 个数取2，
则解得
.
返回
思想2 整体思想
10.[2024郑州月考] 在数学课上，老师教给了同学们一种新的
解方程组的方法，例如：解方程组 时，
可由①得，③ 然后将③代入②，得 ，
解得，从而进一步得 这种方法被称为“整体
代入法”.
（1）用上述方法解方程组
【解】
由①，得 ，③
把③代入②，得，解得 .
将代入③，得，解得 .
方程组的解为
（2）若方程组的解是 求方程组
的解.
方程组的解是
在方程组中 解得
返回(共31张PPT)
第6章 一次方程组
6.2 二元一次方程组的解法
第4课时 变形后用加减消元法
1. 用加减消元法解方程组时消去 ，最简捷
的方法是( )
D
A. B.
C. D.
2.[2024南阳期末] 在解关于， 的二元一次方程组
时，若 可以直接消去一个未知数，
则， 之间的数量关系可以用等式表示为____________.
返回
3.已知则 ____.
30
返回
4.解下列方程组：
（1）
【解】 ，得
，解得 .
将代入①，得 ，
解得.所以
（2）
【解】将①变形，得 ，③
将②变形，得 ，④
，可得，解得 .
把代入③，可得，解得 .
所以原方程组的解是
（3）
【解】原方程组整理，得
，得，解得 ，
把代入②，得，解得 .
所以
返回
5.[2024泰安期末] 下面是数学课上小颖同学解方程组
的过程，老师在旁边标注了步骤，请认真
阅读并完成相应的任务.
解：由，得 ，③（第一步）
由，得 ，④（第二步）
，得 ，（第三步）
解得 .（第四步）
把代入①，得 .（第五步）
原方程组的解为 （第六步）
（1）小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”）
（2）小颖的解答从第____步出现了错误；
加减
二
（3）请直接写出该方程组的解.
【解】
【点拨】
由，得 ，③
由，得 ，④
，得，解得 .
把代入①，得 原方程组的解为
返回
6. [2024郑州三模] 方程组的解， 的值互
为相反数，则 的值是( )
D
A. 1 B. C. D. 2
【点拨】方程组
，得，即 .
，的值互为相反数， .
，解得 .
返回
7. [2024苏州月考] 若方程组有唯一解，则，
的值应当是( )
A
A. ，为任意实数 B. ，
C. ， D. ， 为任意实数
【点拨】
，得 ，③
，得 ，
方程组有唯一解，，即 .
， 为任意实数.
返回
8. [2024内江期中] 已知关于，的方程组
不论取什么实数，的值始终不变，则 的值为( )
D
A. B. 0 C. 1 D. 2
【点拨】 ，得
不论取什么实数， 的值
始终不变，，解得 .
返回
9. 对于有理数，，定义新运算“ ”：
，，为常数，若 ，
，则 ____.
41
10.已知，则 ___.
2
返回
11. 已知方程组与
有相同的解，则 的值为____.
28
【点拨】 方程组与 有相同的
解， 方程组 与题干两个方程组有相同解.解方
程组得 解得
.
同解交换法解方程组的实质是重组方程组，整合出
一个只含， 的方程组和一个含字母系数的方程组，求出
， 的值后再代入含字母系数的方程组求出字母系数的值.
. .
返回
12.[2024汉中期末] 关于， 的二元一次方程组
的解是正整数，则整数 的值的和为____.
14
【点拨】解二元一次方程组得
关于，的二元一次方程组 的解是正整
数，为正整数且 为正整数.
或 整数的值的和为 .
返回
13.已知关于,的方程组 甲得到正确的解为
乙看错了，得则 的值为_____.
【点拨】由甲的解得， ，解得
.由乙的解得，联立得 解
得 .
返回
14.已知关于，的方程组
（1）若方程组的解满足，求 的值；
【解】联立解得
将代入，得 .
（2）无论实数取何值，方程 总有一个
公共解，你能求出这个公共解吗？
【解】原方程可变为 .
由题意可得这个解和无关，， ，解得
. 这个公共解为
（3）如果方程组有整数解，求整数 的值.
【解】将方程组 两个方程相加得
， .
方程组有整数解且 为整数，
，， .
①，计算得 （不符合题意）
②，计算得 （不符合题意）
③，计算得 （不符合题意）
④，计算得 （不符合题意）
⑤，计算得（符合题意）， .
⑥，计算得（符合题意）， .
综上，或 .
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15. 阅读以下内容：已知， 满足
，且满足求 的值.
三位同学分别提出了自己的解题思路：
甲同学：先解关于，的方程组再求
的值；
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求 的值；
丙同学：先解方程组再求 的值.
（1）以上三位同学的解题思路中，正确的有___个，你最欣
赏__________________（填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路；
3
乙（答案不唯一）
（2）根据你所选的思路解答此题.
【解】由 并整理，得
.
将代入，得 ，
解得 .
返回(共26张PPT)
第6章 一次方程组
6.1 二元一次方程组和它的解
1. [2024无锡期中] 下列方程组中，是二元一次方程组的是
( )
B
A. B.
C. D.
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2. 下列判断中，正确的是( )
D
A. 方程 不是二元一次方程
B. 任何一个二元一次方程都只有一个解
C. 方程有无数组解，任何一组， 的值都是该方
程的解
D. 既是方程的解也是方程 的解
返回
3. 下列各组数值中，是二元一次方程组
的解的是( )
B
A. B.
C. D.
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4.[2024沈阳期末] 现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可
做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个
完整的盒子.问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可
以使盒身和盒底正好配套？设用张纸板做盒身， 张纸板做
盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是
_ _____________.
5.如果是关于， 的二元一次方程，
则 的值为____.
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6. 写出二元一次方程 的一组整数
解：_ _____________________.
7.已知是方程的解，则式子 的
值为___.
（答案不唯一）
1
【点拨】将代入，可得 ,则
.
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8. 已知方程组
（1）分别取, ,0,2,填写下表：
方程 0 2
___ ___ ____ ____
方程 0 2
_ _ ___ _ _ ___
8
2
2
4
（2）根据（1）中的数据写出方程组的解.
【解】方程组的解为
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9. 如果方程组 的解为
那么被“★”“ ”遮住的两个数分别为( )
A. 3，10 B. 4，10 C. 10，4 D. 10，3
√
【点拨】将
代入，得 ，
解得 ，即 .将代入★，得★，
所以★ .所以被“★”“ ”遮住的两个数分别为10，4.
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10. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容
大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若 ， ，试
问买甜果苦果各几个？若设买甜果个，买苦果 个，可列出符合题意的
二元一次方程组
根据已有信息，题中用“ ， ”表示的缺
失的条件应为 ( )
D
A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
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11. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”
的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本
和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）.其中笔记本每本3元，
碳素笔每支2元，共花费28元，则共有购买方案( )
B
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
【点拨】设购买笔记本本，碳素笔 支，根据题意得
，所以 .
又因为， 均为正整数，
所以或或或
所以共有4种购买方案.
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12.已知是方程组 的解，则
的值是___.
6
【点拨】将代入得
即所以 .
返回
13.“幻方”最早记载于我国春秋
时期的《大戴礼》中，现将1，
2，3，4，5，7，8，9这八个
数字填入如图①所示的“幻方”
6
中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方
形四个顶点上的数字之和相等. 若按同样的要求重新填数如
图②所示，则与 的和是___.
【点拨】设空白2个部分右上的数字为，左下的数字为 ，
由题意得 ，
，所以， .
所以 .
返回
14.[2024衡阳期中] 已知二元一次方程 .
（1）写出此方程的所有正整数解.
【解】当时，， ；
当时，， ；
当时，， ；
当时，， ；
当时，， ；
当时，， ；
当时，， ；
当时，， ；
当时，， ；
当时，， ；
当时，， ；
当时，， ；
…；
所以方程的正整数解为或
（2）若二元一次方程组存在， 互为相反数
的解，请在括号处补上一个方程.
（答案不唯一）
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15. 定义：把（其中， 是常数，
， 是未知数）这样的方程称为“优美二元一次方程”.当
时，“优美二元一次方程”中 的值称为“优美
二元一次方程”的“优美值”.例如：当 时，“优美二元一次
方程”化为，解得 ，故其“优美值”
为4.
（1）求“优美二元一次方程” 的“优美值”；
【解】令，则“优美二元一次方程” 化为
，解得，故其“优美值”为 .
（2）若“优美二元一次方程”的“优美值”是 ，
求 的值；
令，则“优美二元一次方程” 化为
，把代入，得 .
（3）是否存在，使得“优美二元一次方程” 与“优
美二元一次方程” 的“优美值”相同？若存在，
请求出 的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由.
【解】存在.令，则“优美二元一次方程”
化为，解得，故其“优美值”为 .
令，则“优美二元一次方程” 化为
，解得，故其“优美值”为 .
假设“优美值”相同，则，解得，所以 ，
即“优美值”为 .
返回(共30张PPT)
第6章 一次方程组
*6.3 三元一次方程组及其解法
1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
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2. 解方程组 最简便的消元方法是( )
B
A. 先消去 B. 先消去
C. 先消去 D. 先消去常数项
返回
3. [2024杭州月考] 设 ， ， 分别表示三种不同的物体，
如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保
持平衡，右边应放“ ”的个数为( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知方程组则 的值为___.
3
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5.用适当的方法解下列方程组：
（1）
【解】将①代入②，得 ，
整理得 ，④
将①代入③，得，整理得 ，⑤
，得，⑥ ，得 .
把代入⑤，得，解得 .
把，代入①，得 .
原方程组的解为
（2）[2024上海杨浦区期末]
【解】，得 ，④
，得，解得 .
将代入④中，得，解得 .
将代入②中，得，解得 .
方程组的解为
解三元一次方程组时，先消去哪个“元”都是可以的，
得到的结果都一样，我们应该根据方程组中各方程的特点选
择最为简便的解法，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要
盲目消元.
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6. 已知多项式中，，，
为常数， 的取值与多项式对应的值如下表：
1 2
7
则 的值为( )
D
A. 15 B. 19 C. 21 D. 23
【点拨】当时， ，①
当时， ，②
当时， ，③
当时， ，④
，得，即 ，
，得 ，
.
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7. [2024黄石月考] 一件工程，甲、乙合作2天可以完工，乙、
丙合作2天，可以完成全工程的 ；丙、甲合作2天后，剩余工
程由丙单独做1天即可完工，那么由丙单独完成全部工程需
要的天数是( )
B
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
【点拨】设工程总量为1，甲的工作效率为 ，乙的工作效率
为，丙的工作效率为 ，
由题意得，解得
（天）.
丙单独完成全部工程需要的天数为9.
返回
8. 如图所示的三阶幻方，其每条对角线、每
一横行、每一纵行的三个数字的和都相等，且等于中心数字
的3倍，则根据所给数据，可以确定这个和为( )
A
A. 12 B. 4 C. D.
【点拨】如图，设对角线上的三个数字为,, .
由题意得
解得
这个和为 .
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9.若方程组的解是则 的
值是____.
【点拨】把代入方程组得
，得，即. ，得
，即 ，则原式
.
返回
10. 解方程组
【思路分析】小明观察后发现方程①的左边是 ，而方程
②的括号里也是，他想到可以把 视为一个整体，
把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接
转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的.
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程.
【解】把①代入②，得，解得 .
把代入①，得，解得 .
原方程组的解为
（2）你还能用其他的方法来求得该方程组的解吗？
【解】由①，得 ，③
把③代入②，得 ，解得
.
把代入①，得 .
原方程组的解为
（3）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组
【解】把①代入③，得，解得 .
把代入②，得，解得 .
把代入①，得，解得 .
原方程组的解为
返回
11.某体育用品商店老板到体育商场批发篮球、足球、排球共
30个，得知该体育商场篮球、足球、排球平均每个36元，篮
球比排球每个多10元，排球比足球每个少8元.
（1）求这三种球每个各多少元.
【解】设篮球每个元，足球每个元，排球每个 元，由题
意得解得
故篮球每个40元，足球每个38元，排球每个30元.
（2）经决定，该老板批发了这三种球的任意两种共30个，共
花费了1 060元，问该老板可能买了哪两种球？各买了几个.
【解】假设买的是篮球和足球，分别为个和 个，则
解得 则不可能是这种情况；
同理若买的是足球和排球，则可能买了足球20个，排球10个；
若买的是篮球和排球，则可能买了篮球16个，排球14个.
（3）该老板打算将每一种球各提价20元后，再进行打折销
售，若排球、足球打八折，篮球打八五折，在（2）的情况
下，为获得最大利润，他批发的一定是哪两种球？各买了几
个？计算并说明理由.
【解】对两种情况分别计算，若为足球和排球，销售额为
（元）；
则利润为 （元）.
若为篮球和排球，销售额为
（元），
则利润为 （元）.
， 他批发的一定是篮球和排球，买了篮球16
个，排球14个.
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12. 《九章算术》是我
国古代著名的数学专著，其“方程”章中
给出了“遍乘直除”的算法解方程组.比
A
A. 24,4 B. 17,4 C. 24,0 D. 17,0
如对于方程组 将其
中数字排成如图所示的形式，然后执行
步骤：第一步，将第二行的数乘3，然
后不断地减第一行，直到第二行第一个
数变为0；第二步，对第三行做同样的
操作，其余步骤都类似.其本质就是在
消元，那么其中, 的值分别是 ( )
【点拨】本题的新颖之处在于运
用古代数学专著《九章算术》中
的“遍乘直除”加深对消元法的理解.
由 ，
得,④由，得 ,
⑤ 由，得 ，
.由 ，得
，⑥ 由 ，
得， .
返回(共13张PPT)
第6章 一次方程组
6.2 二元一次方程组的解法
第3课时 直接用加减消元法
1. [2024济南期末] 用加减消元法解方程组 时，
由消去未知数 ，所得到的一元一次方程是( )
A
A. B. C. D.
返回
2.用加减消元法解下列方程组：
（1）
【解】，得，解得 .
，得，解得.所以
（2）
【解】，得，解得 .
将代入①，得，解得 .
所以
返回
3. [2024深圳期末] 已知二元一次方程组 则
( )
B
A. 2 B. C. D. 8
返回
4.下面是两位同学解方程组 时，
不完整的解题过程：
甲同学：，得， .
乙同学：由①，得 ，③
将③代入②，得 ，
， .
（1）甲、乙两位同学的解题过程正确吗？若不正确，请找
出错误的地方，并指出他用的哪种消元法；
【解】甲同学的解题过程不正确.
时未给②中等号前面的式子添括号致错.
用的加减消元法；
乙同学的解题过程也不正确.
将③代入②时未给③中的式子添括号致错.
用的代入消元法.
（2）请你改正并完善其中一位同学的解题过程.
【解】（任选一个即可）甲同学：，得
，解得.将代入①，得
，解得. 原方程组的解为
乙同学：由①，得 ，③
将③代入②，得，解得 .
将代入①，得 ，
解得. 原方程组的解为
返回
5.已知：方程组其中与的值相等，求 的值.
【解】与的值相等， .
把代入②，得，解得 .
.把代入①，得 .
返回
6. 在解方程组
时，可令, ,将方程组化为
解得把代入 ,
,得解得
请参照上述方法，解方程组
【解】令， ，则方程组化为
，得，解得 .
把代入①，得.将，代入 ,
，得解得
返回(共23张PPT)
第6章 一次方程组
专题5 解方程组的常用技巧
技巧1 代入消元法
类型1 一般代入消元法
1.[2024广州三模] 解下列方程组：
（1）
【解】把①代入②，得 ，
解得 .
把代入①，得.所以
（2）
【解】由①可得 ，③
将③代入②，得，解得 .
将代入③，得.所以
返回
类型2 整体代入消元法
2.解下列方程组：
（1）
【解】由①，得 ，③将③
代入②，得，解得 .
把代入③，得.所以
（2）
【解】由①，得 ，③
把③代入②，得，解得 .
将代入③，得，解得 .
所以
返回
技巧2 加减消元法
3.[2024台州期末] 解方程组：
【解】，得 ，解得
.把代入①，得 这个二元一次方程
组的解为
返回
4.在解方程组时，发现， 的系数及常
数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来
解，不仅计算量大，而且易出现运算错误.小亮同学经过思考
采用了下面的解法，使运算变得比较简单，方法如下：
，得，所以 ，③
，得，解得 .
把代入③，得 .
所以原方程组的解是
请你模仿本题的解法解方程组
【解】，得，得 .③
，得，解得 .
把代入③，得 .
所以原方程组的解是
返回
技巧3 轮换对称法
5.解方程组：
【解】由，得 ，
化简得 ，
原方程组可化为解得
返回
技巧4 消常数项法
6.解方程组：
【解】 ，
得，即 ，③
把③代入①，得，解得.把 代
入③，得.所以方程组的解是
返回
技巧5 同解交换法
7.关于，的两个方程组和
具有相同的解，求 的值.
【解】由题意得由，得 .
把代入①，得，解得 .
则两个方程组的解为
把代入方程组得
由，得，解得 .
将代入③，得，解得 .
则 .
返回
技巧6 换元法
8.[2024武汉月考] 阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程
组 时，采用了一种“整体换元”的
解法.
解：把，看成一个整体，设 ，
，则原方程组可化为
解得 原方程组的解为
（1）若方程组的解是 试求方程组
的解；
【解】 方程组的解是
易知解得
（2）仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组
【解】设，，则原方程组可化为
解得解得
原方程组的解为
返回
9.（1）用“整体换元”的方法，解方程组：
【解】设, ，则原方程组化为
，得，即 ，③
把③代入①，得，解得 .
把代入③，得解得
（2）已知关于,的方程组的解为
求关于，的方程组 的解.
【解】设， ，原方程组化为
解得
返回(共14张PPT)
第6章 一次方程组
专题6 利用二元一次方程(组)的解
求字母的值
类型1 已知二元一次方程（组）的解，求字母的值
1.已知和都是关于， 的二元一次方程
的解.
（1） 的值为___；
（2）若是该方程的一个解，则 的值为____.
8
8.5
返回
2.[2024南宁月考] 阅读理解：
【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于, 的二元
一次方程组的系数排成一个表 ，
这种由数排成的表叫做矩阵.
例如：二元一次方程组 可以写成矩阵
的形式.
【知识应用】
（1）将二元一次方程组 写成矩阵形式为
_ ____________；
（2）若矩阵 所对应的二元一次方程组的解为
则与 的值分别为______.
2，1
返回
类型2 已知两个二元一次方程（组）同解，求字母的值
3.若关于，的方程组与 有
相同的解，则， 的值分别为______.
3，2
【点拨】由方程组与 有相同
的解，可得方程组解得
把代入方程得，解得 .再
把代入，解得.把代入 得
.把代入得.所以， .
返回
类型3 已知二元一次方程组的解互为相反数，求字母的值
4.已知关于，的二元一次方程组 的解
，互为相反数，则 的值为____.
返回
类型4 已知二元一次方程组有整数解，求字母的值
5.[2024南昌月考] 若关于， 的二元一次方程组
的解均为正整数， 也是正整数，则满足条件
的所有 值有___个.
3
返回
类型5 已知二元一次方程组无解，求字母的值
6.在二元一次方程组 中，若这个方程组没有解，
则 的值是____.
返回
类型6 已知二元一次方程组的错解，求字母的值
7.[2024保定一模] 对于题目：“若方程组 的解为
且整式，求：整式 的值.”
小明化简求值时，将系数看错了，他求的 的值为0；
小宇求的结果，与题的正确答案一样， 的值为6.
（1）小明将系数 看成的数是____；
【点拨】 方程组的解为
将代入，得，解得 .
设小明将系数看成了 ，则
， 小明
求的 的值为0，
，
解得，即小明将系数看成的数是 .
（2）整式 可化简为____________.
【点拨】设正确的为 ，
则 .
小宇求的 的值为6，
，解得 .
.
返回
类型7 已知二元一次方程组的解，求含字母的代数式的值
8.[2024北京东城区模拟] 若等式 中的
，满足方程组则 的值为___.
【点拨】 ，
解得将 代入方程组
得解得
.
返回
