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2024-2025学年度湘教版九年级上册册数学期末模拟试卷（一）
期末模拟试卷（一）
考试范围：九年级上册；考试时间：120分钟
一、单选题（共30分）
1．下列关于的函数中，属于反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．某开发公司2023年投入的科研资金为100亿元．为扩大产品的竞争力，该公司不断增加科研投资，计划2025年投入的科研资金为400亿元，设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
5．对于实数a， b定义运算“ ”为∶ 例如： 则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．如图，在平行四边形中，F是上一点，交 于点E， 的延长线交的延长线于G， ， 则下列结论错误的是 （ ）
A． B． C． D．
7．为了让学生更加了解互联网相关知识，某校准备开展“互联网”主题日活动，拟聘请专家为学生做以下五个领域的专题报告：A．数字孪生；B．人工智能；C．应用；D．工业机器人；E．区块链．为了解学生的意向，学校随机调查了40名学生，根据调查数据绘制成如图所示不完整的统计图．若该校共有1600名学生，则该校学生的意向为D．工业机器人的约有（ ）
A．400名 B．480名 C．320名 D．500名
8．如果，与的面积分別是25和16，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（ ）
A．16 B．25 C．5 D．4
9．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9
10．为加强交通安全教育，某校随机调查了九年级部分学生的上学方式（乘车、步行、骑车），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图，下列判断错误的是（ ）
A．本次调查的总人数是60人
B．调查的学生中骑车上学的有8人
C．扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是
D．若该校九年级学生有1200人，则乘车上学的约有600人
二、填空题（共24分）
11．请写出一个图像位于第二、四象限的双曲线的函数表达式 ．
12．已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ．
13．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a的值是 ．
14．如果是一元二次方程的一个解，则的值是 ．
15．如图，中，，在的延长线上，连接，，分别与交于，，若，，，则与的大小关系是 ．
16．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是16，，则 ．
17．一个袋中有黑球15个，白球若干个，小明从袋中随机摸出10个球，记下其中黑球的数目，再把他们放回，搅匀后重复上述过程共20次，发现一共摸出黑球20个，由此你能估计出袋中白球数是 个．
18．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形按这样的规律进行下去，则点到x轴的距离是 ．
三、解答题（共66分）
19．（本题6分）计算：．
20．（本题6分）解下列方程．
(1)．
(2)．
21．（本题8分）如图，已知P是一次函数的图象与x轴的交点，将点P向下平移2个单位长度后所得的点Q在反比例函数上．
(1)点P的坐标为__________．
(2)求反比例函数的表达式．
22．（本题8分）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
23．（本题8分）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有1700多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物．某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度．
24．（本题8分）如图，直线交反比例函数的图象于点和点．
(1)填空：______，______．
(2)连接，，求的面积；
(3)根据图象，直接写出当时的取值范围．
25．（本题10分）养殖户李师傅2月份往鱼塘没放了尾鱼苗．据统计，鱼的存活率约为．年前，李师傅打算将这批鱼全部卖掉，他随机捕捞了条鱼，将每条鱼称重后得到的质量作为一个样本，随后把鱼又放回鱼塘．统计结果如下图所示．
(1)这个数据的中位数是_____________．
(2)求这个数据的平均数．
(3)若鱼的售价为元/，利用样本平均数，估计李师傅售完鱼塘里鱼的总收入．
26．（本题12分）如图1，在中，点是中点，连接并延长与延长线相交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，若，在不添加辅助线的情况下，请直接写出与线段相等的线段．
试卷第1页，共3页
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2024-2025学年度湘教版九年级上册册数学期末模拟试卷（一）
期末模拟试卷（一）
参考答案：
1．D
2．D
3．D
4．D
5．A
6．D
7．B
8．D
9．B
10．C
11．（答案不唯一）．
12．
13．1
14．/
15．
16．
17．135
18．/0.375
19．
【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，再进行混合运算即可．
【详解】解：
20．(1)；
(2)；
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接开平方法和因式分解法是解题的关键．
（1）用直接开平方法解方程；
（2）先把方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程．
【详解】（1）解：
或
解得；
（2）解：
因式分解，得
或
解得；
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数、点坐标的平移变换规律、利用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）根据一次函数的解析式，求出当时，的值即可得点的坐标；
（2）先根据点坐标的平移变换规律得出点的坐标，再利用待定系数法即可得．
【详解】（1）解：对于一次函数，
当时，，解得，
则点的坐标为，
故答案为：；
（2）∵将点P向下平移2个单位长度后所得的点Q在反比例函数上
∴点的坐标为，
将点代入得：，
则该反比例函数的表达式为．
22．(1)月平均增长率是
(2)售价应降低20元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设月平均增长率是，利用3月份的销售量月份的销售量月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元．
【详解】（1）设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是．
（2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低20元．
23．47米
【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题．先证明，利用相似比得到，再证明，利用相似比得到，利用等量代换得到，进而得到，解得的长，据此求解即可求出的长．
【详解】解：由题知，，，
，
．
由题知，，，
，
．
，
．
米，米，米，
，
米．
，
，
米，
答：真身宝塔的高度为47米．
24．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）把点坐标代入直线中，即求出m的值，即可得出A点坐标，将A点坐标打代入反比例表达式，求出k即可；
（2）令直线，求出C点坐标，再将一次函数和反比例函数联立构造方程组求出B点坐标，直接利用，即可求出结果；
（3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，再结合点A、点B的坐标和图象即可得出结果．
【详解】（1）将点坐标代入直线，得：
故
将代入，得
，
故答案为：6 6
（2）
令直线中，得
故
两个函数联立成方程组，得：
解得或
故
；
（3）根据图像可知：当或时，
【点睛】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)元
【分析】本题考查了加权平均数、中位数及用样本平均数估计总体平均数的知识，解题的关键是正确的用公式求得加权平均数．
（1）根据中位数的定义计算即可得答案；
（2）根据加权平均数的定义计算即可得答案；
（3）用单价乘（2）中所得平均数，再乘存活的数量，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵这条鱼质量的中位数是第，个数据的平均数，且第，个数据分别为，，
∴这个数据的中位数．
故答案为：
（2）
∴这个数据的平均数为．
（3）（元）．
答：估计李师傅售完鱼塘里的鱼的总收入为元．
26．(1)见解析
(2)、、、
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，易证，得到，由点是中点，得到，即可得出结论；
（2）由（1）知，根据，即可得到为的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，由根据平行四边形的性质得到，，推出，即可求解．
【详解】（1）证明：在中， ，，
，
，
点是中点，
，
，即，
点F是中点，
；
（2）解：由（1）知，即点F是中点，
，
，
是直角三角形，
为的中线，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
与线段相等的线段有、、、．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，证明三角形相似是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
