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2024-2025学年度湘教版八年级上册数学 期末测试（一）
八年级上册数学
考试范围：（八年级上册），；考试时间：120分钟
一、单选题（共30分）
1．分式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．化简，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．是8位小数 D．是7位小数
5．如图，在中，，D为中点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．中，①若，则是等边三角形；②一个底角为的等腰三角形是等边三角形；③顶角为的等腰三角形是等边三角形；④有两个角都是的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
8．下列叙述正确的是（ ）
A．25的平方根是5 B．5是25的平方根
C．一个数的算术平方根一定是正数 D．的平方根是
9．如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
10．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（ ）
A．和之间 B．7和8之间
C．和之间 D．8和9之间
二、填空题（共24分）
11．命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是 ，它是 命题(填“真”或“假”)．
12．当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ．
13．太空中微波理论上可以在0.000006秒内接收到相距约的信息，数据0.000006用科学记数法表示应为 ．
14．计算：的值是 ．
15．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ．
16．式子有意义的条件是 ．
17．计算： ．
18．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完，如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟抽完水，那么至少需要抽水机 台．
三、解答题（共66分）
19．（本题6分）计算．
20．（本题6分）计算：
(1)； (2)．
21．（本题8分）解方程：
(1) (2)
22．（本题8分）（1）解不等式组；
（2）化简：．
23．（本题8分）某地对一段长达2400米的河堤进行加固，施工队在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高，用26天完成了全部加固任务．
(1)施工队原来每天加固河堤多少米？
(2)若承包商原来每天支付给施工队的工资为2000元，提高工作效率后每天支付给施工队的工资增加了，那么完成整个工程后承包商共支付给施工队的工资为多少元？
24．（本题10分）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点．
(1)过点作交于点，求证：．
(2)若，求的度数．
25．（本题10分）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元．
(1)求A模型和B模型的单价；
(2)根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
26．（本题10分）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为_____________．
（2）探究问题：①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：如图4，直线经过Rt的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果）
试卷第1页，共3页
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2024-2025学年度湘教版八年级上册数学 期末测试（一）
八年级上册数学
考试范围：（八年级上册），；考试时间：120分钟
参考答案：
1．B
2．A
3．D
4．C
5．C
6．D
7．A
8．B
9．A
10．A
11． 等腰三角形是等边三角形 假
12．0（答案不唯一）
13．
14．
15．
16．且
17．/
18．
19．
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简绝对值，计算0指数幂，负指数幂，括号里面的，最后再计算加减法．
【详解】解：
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，根据二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
（1）根据二次根式的加减法法则计算即可；
（2）先算完全平方，再算乘除法，化简后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．(1)无解
(2)
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般方法，准确计算，注意最后要对方程的解进行检验．
（1）方程两边同乘先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）方程两边同乘先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1），
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
是原方程的增根，
原方程无解；
（2），
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是原方程的解．
22．（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、分式的混合运算．
（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）根据分式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：，
由①得，，
由②得，，
故不等式组的解集为：．
（2）解：
．
23．(1)原来每天加固河堤80米
(2)完成整个工程后承包商共支付给施工队的工资为元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解．
（1）设原来每天加固河堤米，则采用新的加固模式后每天加固米，然后根据用26天完成了全部加固任务，列方程求解即可；
（2）先算出提高工作效率后每天加固的长度，然后进行求解即可．
【详解】（1）解：设原来每天加固河堤米，则采用新的加固模式后每天加固米．
根据题意得：，
解这个方程得：，
经检验可知，是原分式方程的根，并符合题意；
答：原来每天加固河堤80米；
（2）解：根据题意得(米)，
所以，承包商支付给工人的工资为：(元)．
故完成整个工程后承包商共支付给施工队的工资为元．
24．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）由平分得，由得，则，所以；
（2）由，是边上的中点，得，，则，所以．
【详解】（1）证明：平分，
，即，
，
，
，
．
（2）解：，是边上的中点，
，，
，
，
的度数是．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题的关键是熟练掌握并能灵活运用以上知识点．
25．(1)1个A模型的价格为78元，1个B模型的价格为61元．
(2)购买A模型13个，B模型7个，费用最少，该方案所需的费用为元．
【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A模型m个，则购买B模型个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【详解】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：1个A模型的价格为78元，1个B模型的价格为61元．
（2）设购买A模型m个，则购买B模型个，
依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，∴m可以为，∴共有3种购买方案，
方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）；
方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）；
方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）．
∵，
∴方案1购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元．
26．（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
（1）利用平角的定义即可求解；
（2）①先证明出，得出，，即可得出结果；
②证明出，得出，，即可得出结论；
（3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2）①，理由如下：
直线，直线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：；
②成立．证明如下：
如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）①当在上，在上时，即，
，，
以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
，
，
；
②当在上，在上时，即，
，，
，
，
；
③当到达，在上时，即，
，，
，
，
．
综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
