第六章 特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定（含答案）

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第六章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第2课时 矩形的判定
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1.要使□ABCD成为矩形，则可添加一个条件是 ( )
A. AC=BD B. AC⊥BD C. AD=BC D. AB=AD
2.如图，在平行四边形ABCD中,M,N 是 BD 上两点,BM=DN, 连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形 AMCN是矩形，这个条件是 ( )
A. MB=MO C. BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
第2题图 第3题图
3.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点 O,且 OA = OD,∠OAD =55°,则∠OBA 的度数为 ( )
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点 D 是斜边AB 上的动点(不与点A,B重合),DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别是点 E,F,点 Q 是 EF 的中点,则线段DQ长的最小值为( )
A. 2.4 C. 3 D. 4.8
第4题图 第5题图
5.如图,在矩形ABCD中,AB=5cm,M为边AD的中点,P为BC上一点,PE⊥MC 于点 E,PF⊥MB 于点F,当 BC 长为___________ cm 时,四边形PEMF 为矩形.
6.如图,线段 AB 的端点 B在直线MN 上，过线段 AB上的一点O 作MN 的平行线,分别交∠ABM 和∠ABN 的平分线于点 C，D，连接AC，AD.添加一个适当的条件：当_________时，四边形ACBD为矩形.
第6题图 第7题图
7.如图,在四边形ABCD中,AC,BD 相交于点 O,且 OA=OB=OC=OD,动点 E 从点 B 开始,沿四边形的边BA-AD运动至点D 停止,CE与BD 相交于点 N，点F 是线段CE 的中点.连接OF，下列结论中：
①四边形ABCD是矩形
②当CD=4OF时,点 E 是AB 的中点
③当AB=3,BC=4时,线段OF 长度的最大值为2
④当点 E 在边 AB 上,且∠COF=60°时,△OFN是等边三角形，
其中正确的有____________(填序号).
8.矩形 ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,点 F 在矩形ABCD 边上, 连接OF.若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF=_____________.
9.矩形 ABCD 中,M为对角线BD 的中点,点 N 在边 AD 上,且 AN=AB=1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为_____________.
10.如图,在□ABCD 中,BD=AB,∠ABD和∠BDC 的平分线分别与边AD，BC相交于点E，F.判断四边形 BFDE 的形状，并证明你的结论.
11.如图,四边形ABCD中,P是四边形ABCD外一点，且
(1)求证:
(2)求证:四边形 ABCD 是矩形.
12.已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点∥∥且
(1)求证:四边形ABCD 是矩形;
(2)若 求四边形OBEC的面积.
13.如图,菱形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点,点 F,G在AB 上, ∥
(1)求证:四边形OEFG 是矩形;
(2)若 ,求OE 和 BG 的长.
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14.如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=6cm.点 P 从点 D 出发向点A 运动，运动到点 A 即停止；同时，点 Q 从点 B 出发向点C 运动，运动到点 C即停止,点 P,Q的速度都是1 cm/s.连接PQ,AQ,CP.设点 P,Q运动的时间为t s.
(1)当 t为何值时,四边形 ABQP是矩形,请说明理由；
(2)当 t为何值时,四边形 AQCP是菱形,请说明理由；
(3)直接写出(2)中菱形 AQCP 的周长和面积，周长是_______ cm，面积是_________
参考答案
1. A 2. B 3. A
4. A 解析:
如图，连接CD，
∴四边形 EDFC是矩形,
∵点Q是EF 的中点, ∴当CD 最小时,DQ也最小,
由垂线段最短，得当 时,CD最小,此时，
5. 10 6. O是AB 的中点(答案不唯一) 7. ①③ 或 9. 2 或
10.解:四边形 BFDE 是矩形.证明如下:
∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB=DC.
∵BD=AB,∴AB=BD=DC.
又∵BE平分∠ABD,DF 平分∠BDC,∴BE⊥AD,DF⊥BC.∴∠BED=∠BFD=90°.
∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,∴∠EBF+∠BED=180°,
∴∠EBF=90°,∴∠BED=∠BFD=∠EBF=90°.∴四边形 BFDE 是矩形.
11.证明:(1)在△ABP 和△DCP中, ∴△ABP≌△DCP(SAS).
∴∠ABP=∠DCP.
∵PB=PC,∴∠PBC=∠PCB.∴∠ABP+∠PBC=∠DCP+∠PCB,即∠ABC=∠DCB;
(2)∵△ABP≌△DCP,∴AB=CD.
∵AD=BC,AB=CD,∴四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC.∴∠ABC+∠DCB=180°.
∵∠ABC=∠DCB,∴2∠ABC=180°,即∠ABC=90°.∴四边形 ABCD 是矩形.
12.解:(1)证明:∵∠BOC+2∠OBC=180°, ∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD,∴AC=BD,
∴平行四边形 ABCD 是矩形；
(2)由(1),得OA=OB=OC,四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°,
∵∠AOB=60°,∴△OAB 是等边三角形,∴OA=AB=2,∴AC=2OA=4,
∵BE∥AC,CE∥DB,∴四边形OBEC 是平行四边形，
∴ S平行四边形OBEC
13.解:(1)证明:∵四边形 ABCD是菱形,∴OB=OD,
∵E是AD的中点,∴OE 是△ABD的中位线,∴OE∥FG,
∵OG∥EF,∴四边形OEFG 是平行四边形，
∵EF⊥AB,∴∠EFG=90°,∴平行四边形OEFG 是矩形；
(2)∵四边形ABCD 是菱形,∴BD⊥AC,AB=AD=10,∴∠AOD=90°,
∵E是AD的中点:
由(1)知,四边形OEFG 是矩形,∴FG=OE=5.
∵AE=5,EF=4,∴AF=√AE =EF =3,∴BG=AB=AF-FG=10-3-5=2.
14.解:(1)由题意,得 BQ=DP=t,则AP=CQ=6-t,
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°,AD∥BC,
∴当 BQ=AP时,四边形ABQP 为矩形,∴t=6-t,解得t=3,
故当 t=3时,四边形 ABQP 为矩形;
(2)由(1),得四边形 AQCP为平行四边形,∴当AQ=CQ时,四边形 AQCP 为菱形,
即 时,四边形 AQCP 为菱形，解得
故当 时,四边形 AQCP 为菱形;
(3)当 时，
∴菱形 AQCP 的周长为 菱形 AQCP的面积为
故答案为：
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