第六章 特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质（含答案）
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| 名称 | 第六章 特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-04 20:12:19 | ||
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文档简介
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第六章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
轻松过关
1.矩形和正方形都具有的性质是 ( )
A.对角线互相平分且相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线互相垂直平分且相等 D.对角线平分一组对角
2.如图,在正方形ABCD的外侧作等边 连接 AE,AC,则的大小为 ( )
第2题图 第3题图
3.如图,四边形ABCD是正方形,点 E 在AD 上,连接BE,过点 A 作BE 的垂线交CD 于点F，点 G为垂足，下列选项中的结论，不正确的是 ( )
B.∠DFA=∠AEB C. AG=GF
4.如图，正方形ABCD边长为2,点 E 是 BC 边的中点, 的平分线交CD 于点 F，交 BC 延长线于点G，则CG的长是 ( )
A. 2
5.如图,在正方形 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点，且 ∥连接 AF,DE. 若 则 的度数为 ( )
第5题图 第6题图
6.如图,在正方形ABCD中， 点 E 在CD边上,且 点 P 是对角线AC 上的一个动点，则 PD的最小值是 ( )
C. 9
7.如图,在正方形ABCD的外侧，作等边三角形 ADE，则 ___________°.
第7题图 第8题图
8.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E 是OC 的中点,连接 BE,过点 A 作于点M,交 BD 于点 F.若 4,则AF的长为____________.
9.在平面直角坐标系中,正方形 ABCD D如图所示，点A 的坐标是点 D 的坐标是则点C的坐标是____________.
第9题图 第10题图
10.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG 中，点D 在CG 上, 若点 H 是AF
的中点，那么CH 的长是____________.
11.如图,在平行四边形ABCD 中，点 E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF 为正方形.
(1)求证:
(2)已知平行四边形 ABCD的面积为20，求CF的长.
12.如图,在正方形 ABCD中,点 E 在边AD上,点 F 在边 CD 上,且 线段BE与AF 相交于点G,GH是 的中线.判断线段 BF与GH 之间的数量关系，并说明理由.
13.如图,在正方形 ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点 B，D 不重合), E、F 分别为垂足.连接 EF,AG,并延长AG交EF 于点H.
(1)求证:
(2)判断AH 与 EF 是否垂直，并说明理由.
快乐拓展
14.如图,在正方形 ABCD 中,点 E，F分别在边BC,CD 上, 连接AE,EF,AF,下列结论： ②AE平分∠BEF ③△CEF 的周长为2 ④若AH⊥EF于点 H,则 其中正确结论是_____________(填序号).
15.有公共顶点 A 的正方形ABCD 与正方形AEGF 按如图1所示放置，点 E，F 分别在边AB 和AD 上,连接BF,DE,M是BF 的中点,连接AM交DE 于点 N.
【观察猜想】
(1)线段 DE 与 AM 之间的数量关系是__________，位置关系是___________；
【探究证明】
(2)将图1中的正方形 AEGF 绕点A 顺时针旋转 点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段 DE 与AM 之间的关系是否仍然成立 并说明理由.
参考答案
1. A 2. A 3. C 4. B 5. C 6. A 7.30 9. (2,5)
11.解:(1)证明:∵四边形 BEDF为正方形,∴DF=EB,
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DC=AB,∴DC-DF=AB-EB,
∴CF=AE,即AE=CF;
(2)∵平行四边形 ABCD 的面积为 20,AB=5,四边形 BEDF为正方形,
∴5DE=20,DE=EB,∴DE=EB=4,∴AE=AB-EB=5-4=1,
由(1),得AE=CF,∴CF=1.
12.解:BF=2GH,
理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=∠D=90°,AB=DA,
∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF(SAS),∴∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF+∠BAG=∠BAD=90°,∴∠ABE+∠BAG=90°,∴∠BGF=∠ABE+∠BAG=90°.
在 Rt△BFG中,GH 是斜边 BF 的中线,∴BF=2GH.
13.解:(1)证明:在正方形 ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,
∴∠ADE=∠GEC=90°,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH;
(2)AH⊥EF,理由如下:
连接GC交EF 于点O,如图:
∵BD 为正方形ABCD 的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°,
又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCG.
在正方形 ABCD中,∠ECF=90°,又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形 FCEG为矩形,
∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC,
由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,
∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.
14. ①②③④
15.解:(1)∵四边形 ABCD和四边形AEGF 都是正方形，
∴AD=AB,AF=AE,∠DAE=∠BAF=90°,∴△DAE≌△BAF(SAS),∴DE=BF,∠ADE=∠ABF,
∵∠ABF+∠AFB=90°,∴∠ADE+∠AFB=90°,
在 Rt△BAF中,M是BF 的中点, ∴DE=2AM.
∵AM=FM,∴∠AFB=∠MAF,
又∵∠ADE+∠AFB=90°,∴∠ADE+∠MAF=90°,
∴∠AND=180°-(∠ADE+∠MAF)=90°,即 AN⊥DN,即 DE⊥AM;
故答案为:DE=2AM,DE⊥AM;
(2)仍然成立，
证明如下:延长 AM 至点 H,使得 AM=MH,连接FH,
∵M是BF的中点,∴BM=FM,
又∵∠AMB=∠HMF,∴△AMB≌△HMF(SAS),∴AB=HF,∠ABM=∠HFM,
∴AB∥HF,∴∠HFG=∠AGF,
∵四边形 ABCD 和四边形 AEGF 是正方形，
∴∠DAB=∠AFG=90°,AE=AF,AD=AB=FH,∠EAG=∠AGF,
∴∠EAD=∠EAG+∠DAB=∠AFG+∠AGF=∠AFG+∠HFG=∠AFH,
∴△EAD≌△AFH(SAS),∴DE=AH,
又∵AM=MH,∴DE=AM+MH=2AM,
∵△EAD≌△AFH,∴∠ADE=∠FHA,
∵△AMB≌△HMF,∴∠FHA=∠BAM,∴∠ADE=∠BAM,
又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°,∴∠ADE+∠DAM=90°,
∴∠AND=180°-(∠ADE+∠DAM)=90°,即AN⊥DN,∴DE⊥AM.
故线段 DE与AM 之间的数量关系是DE=2AM,位置关系是 DE⊥AM.
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第六章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
轻松过关
1.矩形和正方形都具有的性质是 ( )
A.对角线互相平分且相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线互相垂直平分且相等 D.对角线平分一组对角
2.如图,在正方形ABCD的外侧作等边 连接 AE,AC,则的大小为 ( )
第2题图 第3题图
3.如图,四边形ABCD是正方形,点 E 在AD 上,连接BE,过点 A 作BE 的垂线交CD 于点F，点 G为垂足，下列选项中的结论，不正确的是 ( )
B.∠DFA=∠AEB C. AG=GF
4.如图，正方形ABCD边长为2,点 E 是 BC 边的中点, 的平分线交CD 于点 F，交 BC 延长线于点G，则CG的长是 ( )
A. 2
5.如图,在正方形 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点，且 ∥连接 AF,DE. 若 则 的度数为 ( )
第5题图 第6题图
6.如图,在正方形ABCD中， 点 E 在CD边上,且 点 P 是对角线AC 上的一个动点，则 PD的最小值是 ( )
C. 9
7.如图,在正方形ABCD的外侧，作等边三角形 ADE，则 ___________°.
第7题图 第8题图
8.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E 是OC 的中点,连接 BE,过点 A 作于点M,交 BD 于点 F.若 4,则AF的长为____________.
9.在平面直角坐标系中,正方形 ABCD D如图所示，点A 的坐标是点 D 的坐标是则点C的坐标是____________.
第9题图 第10题图
10.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG 中，点D 在CG 上, 若点 H 是AF
的中点，那么CH 的长是____________.
11.如图,在平行四边形ABCD 中，点 E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF 为正方形.
(1)求证:
(2)已知平行四边形 ABCD的面积为20，求CF的长.
12.如图,在正方形 ABCD中,点 E 在边AD上,点 F 在边 CD 上,且 线段BE与AF 相交于点G,GH是 的中线.判断线段 BF与GH 之间的数量关系，并说明理由.
13.如图,在正方形 ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点 B，D 不重合), E、F 分别为垂足.连接 EF,AG,并延长AG交EF 于点H.
(1)求证:
(2)判断AH 与 EF 是否垂直，并说明理由.
快乐拓展
14.如图,在正方形 ABCD 中,点 E，F分别在边BC,CD 上, 连接AE,EF,AF,下列结论： ②AE平分∠BEF ③△CEF 的周长为2 ④若AH⊥EF于点 H,则 其中正确结论是_____________(填序号).
15.有公共顶点 A 的正方形ABCD 与正方形AEGF 按如图1所示放置，点 E，F 分别在边AB 和AD 上,连接BF,DE,M是BF 的中点,连接AM交DE 于点 N.
【观察猜想】
(1)线段 DE 与 AM 之间的数量关系是__________，位置关系是___________；
【探究证明】
(2)将图1中的正方形 AEGF 绕点A 顺时针旋转 点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段 DE 与AM 之间的关系是否仍然成立 并说明理由.
参考答案
1. A 2. A 3. C 4. B 5. C 6. A 7.30 9. (2,5)
11.解:(1)证明:∵四边形 BEDF为正方形,∴DF=EB,
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DC=AB,∴DC-DF=AB-EB,
∴CF=AE,即AE=CF;
(2)∵平行四边形 ABCD 的面积为 20,AB=5,四边形 BEDF为正方形,
∴5DE=20,DE=EB,∴DE=EB=4,∴AE=AB-EB=5-4=1,
由(1),得AE=CF,∴CF=1.
12.解:BF=2GH,
理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=∠D=90°,AB=DA,
∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF(SAS),∴∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF+∠BAG=∠BAD=90°,∴∠ABE+∠BAG=90°,∴∠BGF=∠ABE+∠BAG=90°.
在 Rt△BFG中,GH 是斜边 BF 的中线,∴BF=2GH.
13.解:(1)证明:在正方形 ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,
∴∠ADE=∠GEC=90°,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH;
(2)AH⊥EF,理由如下:
连接GC交EF 于点O,如图:
∵BD 为正方形ABCD 的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°,
又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCG.
在正方形 ABCD中,∠ECF=90°,又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形 FCEG为矩形,
∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC,
由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,
∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.
14. ①②③④
15.解:(1)∵四边形 ABCD和四边形AEGF 都是正方形，
∴AD=AB,AF=AE,∠DAE=∠BAF=90°,∴△DAE≌△BAF(SAS),∴DE=BF,∠ADE=∠ABF,
∵∠ABF+∠AFB=90°,∴∠ADE+∠AFB=90°,
在 Rt△BAF中,M是BF 的中点, ∴DE=2AM.
∵AM=FM,∴∠AFB=∠MAF,
又∵∠ADE+∠AFB=90°,∴∠ADE+∠MAF=90°,
∴∠AND=180°-(∠ADE+∠MAF)=90°,即 AN⊥DN,即 DE⊥AM;
故答案为:DE=2AM,DE⊥AM;
(2)仍然成立，
证明如下:延长 AM 至点 H,使得 AM=MH,连接FH,
∵M是BF的中点,∴BM=FM,
又∵∠AMB=∠HMF,∴△AMB≌△HMF(SAS),∴AB=HF,∠ABM=∠HFM,
∴AB∥HF,∴∠HFG=∠AGF,
∵四边形 ABCD 和四边形 AEGF 是正方形，
∴∠DAB=∠AFG=90°,AE=AF,AD=AB=FH,∠EAG=∠AGF,
∴∠EAD=∠EAG+∠DAB=∠AFG+∠AGF=∠AFG+∠HFG=∠AFH,
∴△EAD≌△AFH(SAS),∴DE=AH,
又∵AM=MH,∴DE=AM+MH=2AM,
∵△EAD≌△AFH,∴∠ADE=∠FHA,
∵△AMB≌△HMF,∴∠FHA=∠BAM,∴∠ADE=∠BAM,
又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°,∴∠ADE+∠DAM=90°,
∴∠AND=180°-(∠ADE+∠DAM)=90°,即AN⊥DN,∴DE⊥AM.
故线段 DE与AM 之间的数量关系是DE=2AM,位置关系是 DE⊥AM.
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