2024-2025学年山东省大联考高一上学期模拟选课走班调考数学试题（含答案）

2024-2025学年山东省大联考高一上学期模拟选课走班调考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线与直线平行，则( )
A. B. C. D.
2.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是( )
A. B. C. D.
3.直线与圆交于，两点，则( )
A. B. C. D.
4.过点且与抛物线只有个公共点的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
5.如图，二面角的大小为，点，分别在半平面，内，于
点，于点若，，则( )
A. B. C. D.
6.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
7.已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，为坐标原点，为上一点，且位于第二象限，直线，分别与轴交于点，若为线段的中点，为线段的中点．则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
8.如图，正方形的棱长为，，分别是，的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间内三点，，，则( )
A. B.
C. D. 的面积为
10.已知是双曲线的上焦点，是上的两点，则下列结论正确的是( )
A. 若是的中点，则
B. 的最小值为
C. 点到的两条渐近线的距离的乘积为
D. 若的中点坐标为，则直线的斜率为
11.笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在年提出．如图，叶形线经过点，点在上，则下列结论正确的是( )
A. 直线与有个公共点 B. 若点在第二象限，则
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.与圆，都相切的直线有 条．
13.已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为__ ___．
14.在正六棱柱中，，，分别为，的中点，平面与直线交于点，则 ；点到平面的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，点在轴上，且是直角三角形，．
求点的坐标；
求的面积；
求斜边上的中线所在直线的方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为线段上一点，，且该四棱锥的体积为．
求的长度；
求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知双曲线的左顶点为，右焦点为，抛物线的焦点与重合，是与的一个公共点．
求与的标准方程；
过点的直线与交于，两点，若是的中点，求直线的斜率．
18.本小题分
已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形．
求椭圆的标准方程；
若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：．
19.本小题分
空间直角坐标系中，任意直线由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定，其标准式方程可表示为若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，整理成一般式方程为特殊地，平面的一般式方程为，其法向量为若两个平面相交，则交线的一般式方程可以表示为
若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的体积；
已知点，直线若平面，，求的一般式方程；
已知三棱柱的顶点，平面的方程为，直线的方程为，平面的方程为求直线与直线所成角的余弦值．
参考答案
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15.解：
设因为，所以，
显然，则．
因为，，
所以，解得，则．
，，
的面积为．
记的中点为，则．
直线的斜率为，
直线的方程为，即，
所以斜边上的中线所在直线的方程为．

16.解：
设，则，该四棱锥的体积为，
解得，即，．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，，，，
设，则，．
若，则，解得，即为的中点．
连接，在中，；
由得，，．
设平面的法向量为，
则即取，得．
设平面的法向量为，
则即取，得．
设二面角的大小为，
则，所以，
所以二面角的正弦值为．

17.解：
因为，所以，
解得，所以的标准方程为．
因为抛物线的焦点与重合，所以，．
又，解得
所以的标准方程为．
由知设直线的方程为，，．
因为是的中点，所以
联立，得，
则，，．
由解得，，
所以，解得，即，
经验证，此时满足，所以直线的斜率为．

18.解：
因为是椭圆的一个顶点，所以．
当点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，其为等边三角形，满足，又因为，所以，．
故椭圆的标准方程为．
证明：设直线的方程为，，．
由得，
，，
所以，，
即点，
所以直线的方程为．
令，得．
又，所以直线的方程为．
令，得．
延长交于，延长交于．
由，得，则．
同理由，得，则．
因为，，显然，
所以．

19.解：
由条件知，是一个长为，宽为，高为的长方体，
则体积．
直线过点，方向向量为，．
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
所以平面的点法式方程为，
一般式方程为．
联立解得即．
又，所以．
由平面的方程知，其法向量为因为平面，
所以，即，解得，
所以平面的方程为．
直线上的点满足化简得，
所以直线的一个方向向量为，
取直线的一个方向向量为．
则，即直线与直线所成角的余弦值为．

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