2024-2025学年云南省昆明十中教育集团高一上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年云南省昆明十中教育集团高一上学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是( )
A. B. 或
C. D. 或
5.若函数的值域是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.函数的图像所经过的象限是( )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
7.已知函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“”的一个必要不充分条件可以是( )
A. B. C. D.
10.，，，则( )
A. B. C. D.
11.已知实数，满足，下列判断正确的是( )
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ．
13.函数常数且图象恒过定点，则的坐标为 ．
14.我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的图像的对称中心为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
写出函数的定义域及奇偶性；
请判断函数在上的单调性，并用定义证明；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数，函数，，用表示，中的较大者，记为．

用解析法表示函数，并画出函数的图像；
根据图像写出函数的单调区间，值域；
解不等式．
17.本小题分
随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品已知生产该产品的年固定成本为万元，年最大产能为台每生产台，需另投入成本万元，且╔╔G(x)= \ begin{cases}2x^{2}+80x,0
写出年利润万元关于年产量台的函数解析式利润销售收入成本
当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大最大利润是多少
18.本小题分
已知定义在上的函数是奇函数，
求，
若，有成立，求的范围．
19.本小题分
定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”其中
判断是否为“型函数”？并说明理由；
是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
若函数是“型函数”，求实数的取值范围．
参考答案
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15.【小问】
定义域为，因为，所以为奇函数．
【小问】
单调递增，证明：任取，
，因为，所以，，，所以，即，所以函数在上单调递增．
【小问】
因为 ，变形为，即，
由知，在上单调递增，所以，所以．

16.【小问】
函数在上单调递增，函数在上单调递减，
又，所以时，，时，，
所以
作图如下：
【小问】
由图象可知函数在区间单调递减；在单调递增，值域为；
【小问】
令，则，所以，解得，所以，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上：不等式的解集为．

17.解：当时，
当时，，
所以
若，，
当时，万元．
若，，
当且仅当时，即时，万元．
则该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元．
18.【小问】
由可以得到：，由得到：，
此时，，
所以，；
【小问】
由于，所以单调递减，
所以变形为：，
因为是奇函数，所以，
所以，即，
令，则只需要时，即可，
当时，，得到：；
当时，，得到：，
所以．

19.解：函数，
当时，，当时，，
当时，，不存在，使，
所以不是“型函数”；
首先函数的定义域为，则，得，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，在区间上单调递增，
所以只需对任意恒成立即可，
所以，
即的取值范围为．
函数是“型函数”，
当时，在上单调递增，
而，要使存在且唯一，则有，解得：，
所以，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以
而，要使存在且唯一，则有，
设，即，解得，
解得：
所以实数的取值范围为．

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