2024-2025学年湖南省岳阳市临湘市高二上学期12月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省岳阳市临湘市高二上学期12月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.直线过点、，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，那么等于( )
A. B. C. D.
4.已知圆的圆心在轴上且经过，两点，则圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小，则点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
6.已知，，若圆上存在点满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为( )
A. B. C. D.
8.已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线与圆的公共点的个数可能为( )
A. B. C. D.
10.记等差数列的前项和为，数列的前项和为已知当且仅当时，取得最大值，则( )
A. 若，则当且仅当时，取得最大值
B. 若，则当且仅当时，取得最大值
C. 若，则当或时，取得最大值
D. 若，，则当或时，取得最大值
11.已知是抛物线：的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则( )
A. 若的纵坐标为，则
B. 若直线过点，则的最小值为
C. 若，则直线恒过定点
D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为
12.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则( )
A. 当时，的周长为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点，使得
D. 当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.数列满足，若，则 ．
14.已知圆，试写出一个半径为，且与轴和圆都相切的圆的标准方程： ．
15.如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底面上的动点，是中点，，则的最小值是 ．
16.已知圆：和点，，若点在圆上，且，则实数的最小值是 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列是首项为，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项．
求的通项公式；
若数列满足，求的前项和．
18.本小题分
已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于．
求的方程；
设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为，求直线的斜率．
19.本小题分
已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为．
求的方程；
过的直线与交于，两点，且，求直线的方程．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比．
若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明：是与平行的直线
已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有，两个交点在的左侧，过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点．
求的取值范围
若直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值．
参考答案
1.
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13. 或
14.
15.
16.
17.解：设数列的公比为，则，
因为是和的等差中项，所以，
即，
解得或舍去或舍去，
所以
由知，
，
，
，
故的前项和．

18.解：
由题意可知，准线的方程为，
由点到直线的距离与其到轴的距离都等于可知，，
因为点在上，所以，
整理得，，解得，
故的方程为．
由可知，，则，
由题意可知，直线的斜率不为，设其方程为，，，
由，消去整理得，
则，可得，，
所以，
又因为的面积为，则，
即，解得，
故直线的斜率为．

19.解：设动圆的半径为，
由题意，，
，
又，
故的轨迹为椭圆去掉左端点，
，
，
，
故C的轨迹方程为：；
由题意知直线的斜率存在且不为，
设为联立，
得，设，，
则，，
由，得，
结合上式解得，
所以直线的方程为．
20.解：证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且，不同时为，，
则曲线的方程是，且，即，
因为，，，都是常数，且，不同时为，，，所以曲线是一条直线，且与直线平行；
解：伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，
所以曲线的方程是，即，
与轴的两个交点，的坐标分别是，，因为直线过点，斜率为，
所以直线的方程为，代入，消去并整理得，
设，，则，，
，，
因为与在轴的右侧有两个交点，所以，且，
解得或，所以的取值范围是；
证明：由知或，所以，
，
，
所以，为定值．
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