2024-2025学年陕西省西安市长安一中高二（上）第二次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市长安一中高二（上）第二次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为：：，第小组的频数为，则报考飞行员的学生人数是( )
A. B. C. D.
3.已知非零向量、满足，则与的夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
4.函数的最小值是( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点若的中点坐标为，则的方程为( )
A. B. C. D.
6.将函数其中的图像向右平移个单位长度，所得图像关于直线对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的取值为( )
A. B. C. D.
10.意大利数学家列昂纳多斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.在数学史上，把平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为卡西尼卵形线在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，化简得曲线的方程为：，则下列结论正确的是( )
A. 曲线关于轴对称 B. 面积的最大值为
C. 的最小值为 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的各项均为正数，若，则等于______．
13.若关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，则的值是______．
14.已知抛物线：的焦点为，点，过点的直线与此抛物线交于、两点，若，且，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设．
求函数的单调区间；
在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．
16.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，，分别为棱，的中点，为线段的中点．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知数列和满足若为等比数列，且，．
Ⅰ求和；
Ⅱ设，记数列的前项和为．
求；
求正整数，使得对任意均有．
19.本小题分
已知椭圆的左焦点为，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，当轴时，．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求面积的取值范围．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：由题意可知，
，
由，，
得，，
由，，
得，，
所以的单调递增区间是，
单调递减区间是；
由，
可得，
由题意知为锐角，
所以，
由余弦定理，
可得，
即，当且仅当时等号成立．
因此，
所以面积的最大值为．
16.解：在等差数列中，，．
，即，
得，，
则
，
即时，，
当时，，
当时，数列的前项和，
当时，数列的前项和．
17.解：证明：连接交于，连接，由题意，四边形是平行四边形，所以，
因为为的中点，，∽，且相似比为，，
又，分别为棱，的中点，，，又平面，平面，
平面，
连接，，，，，，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
，，
因为二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为．
18.解：Ⅰ，
当，时， ，
由知：，
令，则有，
，
．
为等比数列，且，
设的公比为，则，
由题意知，
，．
又由得：
，
，
Ⅱ
．
；
因为，，，，
当时，
，
而，
得，
所以，当时，，
综上，对任意，恒有，故．
19.解：由题意可知：，可得．
又左焦点，当轴时，
将代入椭圆得．
由解得
所以椭圆的方程为分
由题意可知，直线斜率必存在且不为，设直线的方程为．
设，，由得．
，，，
关于轴的对称点为，，直线的方程为．
令，得，
分
的面积，
令，则，，
，，
面积的取值范围分
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