2023-2024学年广东省部分名校高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省部分名校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为双曲线的一条渐近线，则( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，若，则( )
A. B. C. D.
3.圆：和圆：的位置关系为( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
4.在数列中，若，则下列数不是中的项的是( )
A. B. C. D.
5.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D. 或
6.如图，抛物面天线是指由抛物面抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面反射器和位于焦点上的照射器馈源，通常采用喇叭天线组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点图是图的轴截面，，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，，且，若满足，则到的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线右支于，两点，且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列直线与直线：平行，且与它的距离为的是( )
A. B. C. D.
10.已知直线：，双曲线：，则( )
A. 当时，与只有一个交点 B. 当时，与只有一个交点
C. 当时，与的左支有两个交点 D. 当时，与的左支有两个交点
11.已知数列为等比数列，设的前项和为，的前项积为，若，，则( )
A. B. 为等比数列
C. D. 当时，取得最小值
12.数学探究课上，小王从世界名画记忆的永恒中获得灵感，创作出了如图所示的垂直时光已知垂直时光是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角其中对应钟上数字，对应钟上数字设的中点为，，已知长度为的时针指向了钟上数字，长度为的分针指向了钟上数字，现在小王准备安装长度为的秒针安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细，则下列说法正确的是( )
A. 若秒针指向了钟上数字，如图，则
B. 若秒针指向了钟上数字，如图，则平面
C. 若秒针指向了钟上数字，如图，则与所成角的余弦值为
D. 若秒针指向了钟上数字，如图，则四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量与共线，则 ______．
14.写出与圆相切，且在轴和轴上的截距相等的一条直线的方程：______．
15.在原点处发射一束激光，经过直线：反射后撞击处的一个中子已知的坐标为，光束射到的位置为点，则的坐标为______．
16.如图所示的数阵由数字和构成，将上一行的数字变成个，数字变成个，得到下一行的数据，形成数阵，设是第行数字的个数，是第行数字的个数，则 ______， ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知为等差数列，是等比数列，且，，．
求和的通项公式；
若，求的值．
18.本小题分
已知圆经过点，，且圆心在直线上．
求线段的垂直平分线的方程及圆的标准方程；
若直线：与圆相交于，两点，圆与轴相切于点，求的面积．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点为，是上的点，且．
求的方程；
已知直线交于，两点，且的中点为，求的方程．
20.本小题分
如图，长方体的底面为正方形，，为上一点．
证明：；
若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列．
求的通项公式；
记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
22.本小题分
动点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，点的轨迹为．
求的方程，并说明是什么曲线；
若过的直线与交于，两点，点是上一点，的最大值为，最小值为，且成等比数列，求的方程．
参考答案
1.
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13.
14.或
15.
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17.解：设数列的公差为，数列的公比为，
因为，，所以，即，
所以，
所以，则，
所以．
．
18.解：设线段的垂直平分线的斜率为，则线段的中点为，
所以，则，所以线段的垂直平分线的方程为．
由，解得，得圆心，所以，
所以圆的标准方程为．
圆心到直线的距离，
则．
因为圆与轴相切于点，所以，
又到直线的距离为，
所以的面积为．
19.解：因为是抛物线上的点，且，
所以，
解得，
则抛物线的方程为；
易知直线的斜率存在，
不妨设直线的斜率为，，，
因为，两点都在抛物线上，
所以，
两式相减得，
即，
因为的中点为，
所以，
所以直线的方程为，
即．
20.证明：由题可知，平面，
，连接，四边形为正方形，
，又，
平面，又平面，
；
解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，
则，
易知是平面的一个法向量，
因为平面，所以，解得，
所以平面的一个法向量为，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
21.解：因为，故，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
即有，化为，
则，两式相减得，即，
所以，则，
因此的通项公式为，．
由题可知，
则，所以，
，
两式相减得，
所以．
22.解：设点，则，
化简得，即．
故曲线是焦点在轴上的椭圆．
由题可知，，所以，
当垂直于轴时，，
此时不成等比数列，故的斜率存在．
设，，的方程为，
则，
所以．
联立整理得，
则，
因为成等比数列，所以，
即，即，
所以，解得，
所以的方程为．
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