2024-2025学年湖南省长沙市地质中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市地质中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某班学生进行了三次数学测试，第一次有名学生得满分，第二次有名学生得满分，第三次有名学生得满分，已知前两次均为满分的学生有名，三次测试中至少有一次得满分的学生有名．若后两次均为满分的学生至少有名，则的值为( )
A. B. C. D.
2.定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于点成中心对称，若，满足不等式则当时，的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
6.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知全集，集合，，则( )
A. B.
C. ， D.
8.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若定义在上的函数同时满足：；对，成立；对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是( )
A. ，是“正方和谐函数”
B. 若为“正方和谐函数”，则
C. 若为“正方和谐函数”，则在上是增函数
D. 若为“正方和谐函数”，则对，成立
10.下列叙述正确的是( )
A. 的解是
B. “”是“”的充要条件
C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
D. 函数的最小值是
11.已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，下列说法正确的是( )
A. 是函数的一个周期
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是偶函数
D.
12.已知全集，集合，，则( )
A. B.
C. D. 的真子集个数是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.已知正数，满足，则的最大值为______，当且仅当______．
14.已知是定义在上的周期为的奇函数，且，则 ．
15.，，且恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设，已知函数，．
Ⅰ若是奇函数，求的值；
Ⅱ当时，证明：；
Ⅲ设，，若实数满足，证明：．
17.本小题分
已知，，，且．
求的最小值；
证明：．
18.本小题分
对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．
若一个平面图形在旋转变换或反射变换的作用下仍然与原图形重合，就称具有对称性，并记为的一个对称变换例如，正三角形在绕中心作的旋转的作用下仍然与重合如图图所示，所以是的一个对称变换，考虑到变换前后的三个顶点间的对应关系，记；又如，在关于对称轴所在直线的反射的作用下仍然与重合如图图所示，所以也是的一个对称变换，类似地，记记正三角形的所有对称变换构成集合．
一个非空集合对于给定的代数运算来说作成一个群，假如同时满足：
Ⅰ，，；
Ⅱ，，，；
Ⅲ，，；
Ⅳ，，．
对于一个群，称Ⅲ中的为群的单位元，称Ⅳ中的为在群中的逆元．
一个群的一个非空子集叫做的一个子群，假如对于的代数运算来说作成一个群．
直接写出集合用符号语言表示中的元素；
同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如对于集合中的元素，定义一种新运算，规则如下：，．
证明集合对于给定的代数运算来说作成一个群；
已知是群的一个子群，，分别是，的单位元，，，分别是在群，群中的逆元猜想，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
写出群的所有子群．
19.本小题分
已知函数，且．
求的值；
判断函数在上是增函数还是减函数，并证明．
20.本小题分
已知函数在区间上是增函数．
求实数的取值范围；
设，试比较与的大小．
21.本小题分
已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料千克，配料的价格为元千克，每次购买配料需支付运费元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：天以内含天，无论重量多少，均按元天支付；超出天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天元千克支付．
当天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用是多少元？
设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用元关于的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？
参考答案
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13. 时取等号
14.
15.
16.解：由题意，对任意，都有，
即，即，
可得．
证明：因为，，
，
所以．
证明：设，则，
当时，；
当时，，
所以，
，
因为，
所以，
即，
当时，，，
所以；
当时，由知，
，等号不能同时成立．
综上可知，．
17.解：，，，
则，当且仅当时，等号成立，
．
则，化简整理可得，，
故；
证明：要证，即证，
．
则，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
故．
18.解析：由题设可知，正三角形的对称变换如下：
绕中心作的旋转变换；绕中心作的旋转变换；
绕中心作的旋转变换；关于对称轴所在直线的反射变换；
关于对称轴所在直线的反射变换；关于对称轴所在直线的反射变换．
综上，形式不唯一
Ⅰ．，，；
Ⅱ，，，
，
所以
；
Ⅲ，
，
而，所以；
Ⅳ，
；
综上可知，集合对于给定的新运算来说能作成一个群．
，，证明如下：
先证明：由于是的子群，取，则，，
根据群的定义，有，，所以，
所以，即，
即，所以．
再证明：由于，，，
所以，所以，
所以，所以．
的所有子群如下：
，
，，
，
．
19.解：根据题意，函数，且．
则有，
解可得：；
根据题意，函数为增函数，证明如下：
设、是上的任意两个实数，且，
则
，
当时，，，
从而，即，
函数在上为增函数．
20.解：当时，在上单调递减，不满足题意；
所以，
因为函数在区间上是增函数，
所以函数的开口向上，且对称轴，
即，解得
所以实数的取值范围为．
由题知，，
所以，
因为，
所以，
即．
21.解：【理解】当天所用配料需要保管费
当天购买一次时，该厂用于配料的保管费用元．
当时，，
当时，．
，
设该厂天购买一次配料平均每天支付的费用为元．
则，
当时，，当且仅当时，有最小值元；
当时，，
当且仅当时，取等号，
，
当时，有最小值元．
该厂天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少，最少费用为元．
【理解】当天所用配料不需要保管费
当天购买一次时，该厂用于配料的保管费用元．
当时，，
当时，，
，
设该厂天购买一次配料平均每天支付的费用为元．，
当时，，当且仅当时有最小值元
当时，，，令得，
递减 极小值 递增
因为，当时，，
当时，，
当且仅当时，取最小值．
，
当时，有最小值元．
该厂天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少，最少费用为元．
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