2023-2024学年上海市静安区高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市静安区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共2小题，每小题4分，共8分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中株树木的底部周长单位：根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这株树木中，底部周长小于的株数是( )
A. B. C. D.
2.已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和圆上的点则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
3.在的二项展开式中，项的系数为______．
4.圆在点处的切线方程为______．
5.曲线在点处的切线方程为______．
6.已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___，离心率 ___．
7.圆上有个点，过每个点画一个圆内接三角形，则一共可以画出______个圆内接三角形；请编写一个排列数的问题，其答案为，这个问题可以是______．
8.自由落体运动中，物体下落的距离单位：米与时间单位：秒近似满足函数关系，则 ______，其实际意义为______．
9.同时投掷枚硬币，若事件的概率，则事件为______写出一个事件即可；若事件的概率，则事件为______写出一个事件即可．
三、解答题：本题共5小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.本小题分
记求函数的导数，讨论函数的单调性和极值．
11.本小题分
甲、乙两位气步枪运动员在射击队内的选拔赛成绩茎叶图如图：
求甲、乙两名选手射击的平均环数；
请用具有统计意义的数量来刻画甲、乙两位运动员的射击成绩的稳定性，并帮助射击队选拔一名运动员外出参加比赛．
12.本小题分
请写出由抛物线的定义推导抛物线的标准方程的过程；
设直线与抛物线交于、两点，且，求的值．
13.本小题分
口袋里装有个大小相同的小球，其中两个标有数字，两个标有数字．
Ⅰ第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为当为何值时，其发生的概率最大？说明理由；
Ⅱ第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为求大于的概率．
14.本小题分
如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：水平地平线，；位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；水平线以上是半径为的半圆．
请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来；
某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态横截面与地面垂直，且有一边保持水平为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. 由、、、四个数字组成没有重复数字的三位数，则三位数的个数有多少个？
8. 第三秒末瞬时速度为
9.两枚硬币同时正面向上答案不唯一 两枚硬币中至少有一枚正面向上答案不唯一
10.解：的定义域为，
，
由，得或；
由，得，
所以的递增区间是、，递减区间是．
所以在处取得极大值，在处取得极小值．
11.解：甲选手射击的平均环数为，
乙选手射击的平均环数为；
甲选手射击的方差为，
乙选手射击的方差为，
因为甲、乙两名选手射击的平均环数，而甲选手射击的方差小于乙选手射击的方差，
所以甲运动员的射击成绩更稳定，射击队应选拔甲外出参加比赛．
12.解：抛物线定义：平面上到定点和到定直线不在上距离相等的点的轨迹，
如图，以抛物线的顶点为原点，以向量的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，
设焦点到准线的距离，则焦点的坐标是，准线的方程为，
设为抛物线上任意一点，点到直线的距离为，
则，，
由抛物线定义知，于是有，
化简得；
设点、，
联立方程，消去得方程，，
所以，，
所以，
解得：或舍，当时，满足，
故．
13.解：Ⅰ 设、分别表示第一次和第二次摸的求的标号，表示之和，如下表格：





由表格可知所有基本事件共个．
设事件表示数字和为，包括个，．
设事件表示数字和为，包括个，．
设事件表示数字和为，包括个，，
数字和为时概率最大．
Ⅱ设“两取到小球上的数字之和为且大于”为事件，则 所有基本事件共有个，其对立事件表示“两取到小球上的数字之和”只包括一个基本事件．
．
14.解：如图，以矩形的对称中心为原点建立平面直角坐标系，
则半圆方程为．
设椭圆的标准方程为：，
则由已知，
有，，
所以得出，椭圆部分的方程为：，
水平线的方程为：，
提前告诉搬运公司：正方形截面的边长的最大值为米，
三角形截面的边长的最大值为，
若为正方形截面，设正方形边长为，
如图所示放置时正方形截面的边长的最大，
则点在圆上，
即，
解得，
所以正方形截面的边长的最大值为米；
若为等边三角形截面，如图放置：
因为直线倾斜角为所以直线的斜率为且直线过定点，
故直线的方程为，
联立，
整理得：，
解得和舍，
所以三角形截面的边长的最大值为．
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