2023-2024学年福建省福州市金山中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省福州市金山中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且，则( )
A. B. C. D.
2.直线：，：，则是的条件．
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.已知数列的前项和，求等于( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线焦点的坐标为，为抛物线上的任意一点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.在等比数列中，，是函数的极值点，则( )
A. 或 B. C. D.
6.已知，是双曲线的左、右焦点，点是过坐标原点且倾斜角为的直线与双曲线的一个交点，且则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆若圆上存在点，使得过点可作两条互相垂直的直线与椭圆相切，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的公差为，前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
10.已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是( )
A. 若点在圆上，则直线与圆相切 B. 若点在圆外，则直线与圆相离
C. 若点在直线上，则直线与圆相切 D. 若点在圆内，则直线与圆相离
11.椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则下列说法错误的是( )
A. 椭圆的离心率为
B. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为
C. 椭圆上不存在点，使得
D. 为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为
12.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当或时，有且仅有一个零点
B. 当或时，有且仅有一个极值点
C. 若为单调递减函数，则
D. 若与轴相切，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过点与直线垂直的直线的方程是______．
14.已知直线与抛物线相切，则 ______．
15.点是曲线上任意一点，且点到直线的距离的最小值是，则实数的值是 ．
16.如图，在平面直角坐标系中一系列格点，其中，，，，且，记，如记为，记为，以此类推设数列的前项和为，则 ______； ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：，圆：．
求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
若直线的倾斜角为，求直线被圆截得的弦长．
18.本小题分
设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．
求的公比；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
设函数，此曲线在处的切线斜率为．
求的值．
试证明．
20.本小题分
已知数列的各项均为正数，前项和为，且，
Ⅰ求证数列是等差数列；
Ⅱ设，，求．
21.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且过点．
求椭圆的标准方程；
过定点的直线与椭圆相交于、两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，求证：．
22.本小题分
已知函数，．
求函数的极值；
若是关于的方程的根，且方程在上有实根，求的取值范围．
参考答案
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17.解：证明：：，
联立，
解得，
故直线恒过定点．
由题意直线的斜率，得，
：
圆：，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截得的弦长为．
18.解：设是公比不为的等比数列，
为，的等差中项，可得，
即，
即为
解得舍去；
若，则，
则数列的前项和为
两式相减可得
，
化简可得．
19.解：，
由曲线在点处的切线斜率为，得，即，解得，
故所求值为．
令，
则，
，
当时，，递增，当时，，递减，
所以当时取得极大值，也为最大值，，
所以，即，从而得证．
20.Ⅰ证明：，
，
得：，
整理得：，
数列的各项均为正数，，
．
时，．
数列是首项为公差为的等差数列．
Ⅱ解：由Ⅰ可得，
．
．
21.解：因为椭圆离心率为，且过点，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
证明：若的斜率不存在，则，，
此时，
若的斜率存在，设，，
设的方程为，
，得，
由韦达定理得，，
则，，
所以，
，
所以．
22.解：，
当时，，单调递增，无极值，
当时，令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，无极大值；
是方程的根，
，解得，，
设，则，
设，则，
，，且方程在上有实根，
设，，则在，上不单调，
在上存在零点，在上存在零点，
在上至少有两个相异实根，
当时，，单调递增，不合题意，
当时，令，解得，
当时，，单调递减．
当时，，单调递增，
，
设，则，
令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递淢，
，，
，
，即，解得，
的取值范围为，
综上，，无极大值，的取值范围为．
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