2023-2024学年江西省九江一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省九江一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有一批种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批种子中随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为( )
A. B. C. D.
2.已知直线：，若直线与垂直则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线：的焦距为，则的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
4.过点且倾斜角为的直线交圆于，两点，则弦的长为( )
A. B. C. D.
5.年是中国人民解放军空军成立周年，为增强大学生的国防意识，捍卫国家领空安全，培养爱国主义精神，某高校特举办相关主题讲座，分为个部分进行讲解在讲座结束后，该校组织学生座谈会，将学生分为个小组，每个小组选取讲座中的某一部分发表感想，则恰好有个小组针对同一部分发表感想的不同情况有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知直线与抛物线：相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为的内心，若成立，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设随机变量服从正态分布，且落在区间内的概率和落在区间内的概率相等若，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
10.关于的展开式，下列结论正确的是( )
A. 奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为
C. 只有第项的二项式系数最大 D. 含项的系数为
11.如图，在棱长为的正方体中，为边的中点，点在底面内运动包括边界，则下列说法正确的有( )
A. 存在点，使得
B. 过三点、、的正方体的截面面积为
C. 四面体的内切球的表面积为
D. 点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆：与圆：外切，则______．
13.已知一组数据的样本点如表：
由上述样本点得到回归方程，则 ______．
14.设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为若，，与相交于点，且，则的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是．
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村学校 ______ ______
城市学校 ______ ______
总计
补全上面的列联表，并判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关；相关计算精确到
从经常应用智慧课堂的学校中，采用分层抽样的方法抽取个学校进行分析，然后再从这个学校中随机抽取个学校到所在的地域进行核实，记其中农村学校的个数为，求的分布列和数学期望．
附：．
16.本小题分
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且经过点．
求抛物线方程；
若直线与抛物线交于，两点，且满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．
17.本小题分
如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，是的中点，是的中点．
证明：平面；
若，，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
素质教育是指一种以提高受教育者诸方面素质为目标的教育模式它重视人的思想道德素质、能力培养、个性发展、身体健康和心理健康教育由此，某校的一位班主任在其班的课后服务课中展开羽毛球比赛，采用五局三胜制，经过一段时间紧张激烈的角逐，最终甲、乙两人进行总决赛，在总决赛的比赛中，甲每局获胜的概率为，且各局比赛之间没有影响．
求甲获胜的概率；
比赛结束时，甲比赛的局数为，求的分布列及其期望．
19.本小题分
已知椭圆：的短轴长为，离心率为．
求椭圆的方程；
过点的动直线与椭圆相交于不同的，两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．
参考答案
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16.解：由题可知，抛物线的开口向右，可设抛物线方程为 ，，
因为经过点，
所以，解得，
故抛物线的标准方程为；
证明：如图，设直线的方程为：，
联立方程 ，消去，可得，
由题意有，即，
设，，
则，，
由，
可得，
解得，经验证满足条件，
所以直线的方程为，
故直线恒过定点．
17.解：证明：取的中点，连接，，
因为，分别为各边的中点，
所以且，
且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以面，面，
所以面．
设，则，，
因为，，
因为面，
以中点为原点，过点和平行的直线为轴，
如图建立空间直角坐标系：
，，，
所以，，
设是面的一个法向量，
则有，
解得，
是平面的法向量，
，，
由图可知面与面夹角为锐角，
所以面与面夹角的余弦值为．
18.解：甲获胜有三种情况，第一种甲以：获胜，其概率为，
第二种甲以：获胜，其概率为，
第三种甲以：获胜，其概率为，
所以甲获胜的概率为．
由题知，的所有可能的取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
19.解：因为短轴长为，离心率为，
所以，
又，
联立，解得，．
则椭圆的方程为
证明：不妨设，，，，
易知直线的斜率显然存在，
不妨设的方程为．
因为，，，四点共线，不妨设，
此时，，，，
因为，
所以，
即，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
联立，可得，
即，
又，
所以，
即．
故点总在一条定直线上．

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