2023-2024学年重庆第二外国语学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年重庆第二外国语学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，则角的值为( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在中，角、、的对边分别为、、，若的面积为，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，满足，且，则( )
A. B. C. D.
7.在复平面内，复数对应向量为坐标原点，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则复数所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点则异面直线，所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的( )
A. B.
C. D.
10.下列命题正确的是( )
A. 复数的虚部为
B. 设为复数，，则
C. 若复数为纯虚数，则，
D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
11.在正方体中，，，分别为，，的中点，则( )
A. 直线与直线异面
B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积是正方体体积的
D. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数为虚数单位，则 ______．
13.已知长方体全部棱长的和为，表面积为，则该长方体的外接球的表面积为______．
14.在中，在边上，且平分，若，则的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角、、的对边分别为、、，已知．
Ⅰ求角；
Ⅱ若，的周长为，求的面积．
16.本小题分
如图，在四边形中，，，，，，，四边形绕着直线旋转一周．
求所形成的封闭几何体的表面积；
求所形成的封闭几何体的体积．
17.本小题分
已知向量，，
Ⅰ若，求实数的值；
Ⅱ若，求向量与的夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，是平行四边形所在平面外一点，是的中点．
求证：平面；
若是上异于、的点．连结交于，连结交于，求证：．
19.本小题分
已知的内角，，的对边为，，，且．
求；
若的面积为；
已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
求内角的角平分线长的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.解：Ⅰ由，得，
去分母，整理得，可得，结合，可得；
Ⅱ由Ⅰ的结论，得，即，
因为的周长，所以，可得，解得，
因此，的面积．
16.解：如图：
过点作于点，
，，，
，
则四边形绕着直线旋转一周所形成的封闭几何体为一个底面半径为，高为的圆柱及一个底面半径为，高为的圆锥的组合体．
所形成的封闭几何体的表面积；
所形成的封闭几何体的体积．
17.解：Ⅰ已知向量，，
则，
又，
则，
即；
Ⅱ由题意可得，
又，
则，
即，
则，
则，
则向量与的夹角的余弦值为．
18.证明：连结，交于，
连结，则是的中点，
又是的中点，，
平面，平面，
平面．
由知平面，
又平面平面，
根据线面平行的性质定理得：．
19.解：由正弦定理得，即，
由余弦定理有，又，
所以；
由知，又的面积为，
则，解得，
也，
则
，
当且仅当时，等号取得到，
所以；
由题，，
所以，
因为，所以，
所以，
又，，
故，
由基本不等式，当且仅当时，等号取得到，
故，
故，所以．
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