2024-2025学年海南省儋州市某中学高二（下）期末数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年海南省儋州市某中学高二（下）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题中为真命题的是( )
A. ：， B. ：，
C. ：， D. ：，
3.平面向量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
4.某老师对比甲、乙两名学生最近次数学月考成绩，甲：，，，，，乙：，，，，，则下列结论正确的是( )
A. 甲成绩的平均数较小 B. 乙成绩的中位数较大
C. 乙成绩的极差较大 D. 乙比甲的成绩稳定
5.长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
6.关于函数的图像与直线为常数的交点情况，下列说法正确的是( )
A. 当或，有个交点
B. 当或，有个交点
C. 当，有个交点
D. 当有两个交点时，设两个交点的横坐标为，，则
7.一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为，，容积为厚度忽略不计，则该油槽的侧棱与底面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.若，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数，下列选项中正确的有( )
A. 在上单调递减 B. 的图象关于原点对称
C. 的最小正周期为 D. 的最大值为
10.设为抛物线：的焦点，直线：与的准线，交于点已知与相切，切点为，直线与的一个交点为，则( )
A. 点在上 B.
C. 以为直径的圆与相离 D. 直线与相切
11.已知函数，则( )
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为等差数列的前项和若，，则 ______．
13.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 ______．
14.年深秋，鼻病毒、肺炎支原体、呼吸道合胞病毒、腺病毒肆虐天津各个高中目前病毒减员情况已经得到缓解，为了挽回数学课程，市教委决定派遣具有丰富教学经验的四支不同的教师队伍、、、，前往四所高中、、、进行教学指导，每支教师队伍到一所高中，那么总共有______请用数字作答种的不同的派遣方法如果已知教师队伍被派遣到高中，那么此时教师队伍被派遣到高中的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，设角、及所对边的边长分别为、及已知．
求角的大小；
当，时，求边长．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在底面是矩形的四棱锥中，，点在底面上的射影为点与在直线的两侧，且．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有、两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响若元素指标达标的概率为，元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．
一个食品经过检测，求两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；
任意依次抽取该种食品个，设表示其中合格品的个数，求分布列及．
19.本小题分
在等比数列中，已知，．
若，求数列的前项和；
若以数列中的相邻两项，构造双曲线系：求证：双曲线系中所有双曲线的渐近线、离心率都相同．
参考答案
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15.解：由正弦定理得，
由于，
则，
展开得，即，
因为，
化简得，
则，
又，
所以；
由正弦定理，得，即有，
因为，
所以是锐角，即，
所以，
由正弦定理可得，
所以．
16.解：因为，，
所以，
因此，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
因为，
所以
又因为既存在极大值，又存在极小值，则，
所以，
由题意得，，解得且，
所以实数的取值范围为且．
17.解：证明：连接，
因为平面，，平面，
所以，，
又，所以，
又，故，所以，为等腰直角三角形，
而，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
由知，，，两两垂直，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由，得，可得点坐标为，
同理得，
所以，
设为平面的法向量，
则，即，即，
令，则，得平面的一个法向量，
设为平面的法向量，
则，即，即，
令，则，得平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：令为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则是，都不达标的事件，
因此，
所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为；
依题意，，两类元素含量指标都达标的概率为，
的所有可能取值为，，，，，显然，
则，，，
，，
所以的概率分布为：
则．
19.解：在等比数列中，由，，
得公比，
，
，
则
；
证明：双曲线系：的实半轴长为，
虚半轴长为，
则其渐近线方程为，
，
离心率．
双曲线系中所有双曲线的渐近线、离心率都相同．
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