2023-2024学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，且过点，则它在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
2.的展开式中，二项式系数最大的是( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
3.从抛物线上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，设抛物线的焦点为，若是正三角形，则( )
A. B. C. D.
4.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程即平面上任意一点的坐标满足的关系式为：”用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.用，，，，，写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有个．
A. B. C. D.
6.三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知双曲线：的左焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，并与双曲线交于点，且有，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.若椭圆和的方程分别为和且，则称和为相似椭圆，已知椭圆：，：，过上任意一点作直线交于，
两点，且，则的面积最大时，的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的渐近线方程为
C. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 D. 双曲线上的点到焦点距离的最小值为
10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 若，则以为直径的圆与直线相切
C. 若直线过定点，则以为直径的圆过坐标原点
D. 若，则线段的中点到轴的距离的最小值为
11.已知正方体棱长为，以为坐标原点，，，的方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，下列结论正确的是( )
A. 点到平面的距离为
B. 在上的投影向量是
C. 点关于平面的对称点坐标为
D. 点在内部，，则点的轨迹长为
12.已知，，则下列结论正确的是( )
A. 若，，，则
B. 是整数
C. ，是不大于的最大整数
D. ，，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆：与圆：外切，则实数 ______．
14.如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球，在平面上形成的投影为
椭圆及其内部，则椭圆的离心率为______．
15.将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到、、三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加活动，则不同的分配方法有______种用数字作答
16.已知三棱锥顶点均在一个半径为的球面上，，，到底面的距离为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆的圆心坐标为，与直线交于，两点，且．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ求过点的圆的切线方程．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，动点到点的距离比点到直线的距离大．
Ⅰ求点的轨迹的方程；
Ⅱ直线与轨迹交于，两点，若线段的中垂线为，求线段的长．
19.本小题分
三棱台中，，，，平面平面，，，，，与交于．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求异面直线与的距离．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为，且过点．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ已知点，，若存在过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，．
证明：直线过定点；
求直线的斜率的取值范围．
21.本小题分
在平面四边形中，，，，平面外动点满足：，点在平面内的射影在直线上，平面．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求与平面所成角的正弦值的最大值．
22.本小题分
已知双曲线：，点，经过点的直线交双曲线于不同的两点、，过点、分别作双曲线的切线，两切线交于点二次曲线在曲线上某点处的切线方程为
Ⅰ求证：点恒在一条定直线上；
Ⅱ若两直线与交于点，，，求的值；
Ⅲ若点、都在双曲线的右支上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，记，，的面积分别为，，，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.解：由题意圆心为，直线，
所以圆心到直线的距离，
又因为，设圆的半径为，
根据勾股定理，
所以，
解得，
所以原的标准方程为；
易知点不在圆上，
当所求切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
由圆心到切线的距离等于半径得，
解得，
所以所求切线的方程为；
当所求切线的斜率不存在时，
切线方程为；
综上，所求切线的方程为或．
18.解：Ⅰ设点，根据题意有，
当时，，不符合题意，
当时，化简得，
所以点的轨迹的方程为；
Ⅱ设，，的中点，
由与直线可知，直线的斜率，
由点，在抛物线可知，，
所以，
即，
即，所以，
所以直线的方程为，即，
联立方程，即，
易知，，，
所以．
19.Ⅰ证明：因为，
所以由三棱台的性质知，，且，
所以∽，
所以，即，
因为，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
Ⅱ解：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
故AB，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
由Ⅰ知，平面，
因为平面，
所以异面直线与的距离等价于直线到平面的距离，即点到平面的距离，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以，
所以点到平面的距离为，
故异面直线与的距离为．
20.解：Ⅰ由题意可得，解得，，
所以椭圆的标准方程为：；
Ⅱ证明：由题可知，直线的斜率存在，
设：，，，
与椭圆联立得：，
，由韦达定理得：，
由题意知，以为直径的圆过点，
，
即，
整理得：，，，，
所以直线过定点；
解：，，
当且仅当时取等号，
即直线斜率范围．
21.解：Ⅰ证明：因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为，所以，
过点作于点，
因为点在平面内的射影在直线上，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面；
Ⅱ过点作平面，
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，
设，由，得，
由题知，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，得，
又因为，
所以，
设，，
因为，所以，则，当且仅当时，有最大值，
所以与平面所成角的正弦值的最大值为．
22.解：Ⅰ证明：设，，，
由题意得：切线的方程为：，将点代入得：，
同理可得：，
易知点，都在直线上，
所以直线的方程为：，
因为直线过点，所以，
所以点恒在定直线：上；
Ⅱ设，因为，
所以，整理得，
因为点在双曲线上，所以，
整理得，
同理可得，
所以，是关于的方程的两个实根，
所以；
Ⅲ设：，与联立得：，
所以，，
因为直线的方程为，
所以，
所以，
同理，，
所以，
故存在，使得．
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