2024-2025学年贵州省县中新学校计划项目高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省县中新学校计划项目高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过点，，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知数据，，，的极差为，方差为，则数据，，，的极差和方差分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.在正方体中，直线与面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，，的零点分别为，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知点，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.若直线与圆有交点，则( )
A. B. C. D.
8.已知实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中的真命题是( )
A. 若直线不在平面内，则
B. 若直线上有无数个点不在平面内，则
C. 平行于同一平面的两直线可以相交
D. 若，则直线与平面内任何一条直线都没有公共点
10.甲、乙两人各投篮次，已知甲命中的概率为，乙命中的概率为，且他们是否命中相互独立，则( )
A. 恰好有人命中的概率为 B. 恰好有人命中的概率为
C. 至多有人命中的概率为 D. 至少有人命中的概率为
11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：，在此定义下，下列结论正确的是( )
A. 已知点，，满足
B. 已知点，满足的点轨迹围成的图形面积为
C. 已知点，，不存在动点满足方程：
D. 已知点在圆：上，点在直线：上，则、的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是虚数单位，则复数的虚部是______．
13.若向量，则称为在基底下的坐标已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______．
14.已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，，．
求函数的定义域；
实数，且，求的值．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知向量，，其中，．
求角；
若是锐角三角形，求的周长的取值范围．
17.本小题分
设圆的半径为，圆心是直线与直线的交点．
Ⅰ若圆过原点，求圆的方程；
Ⅱ已知点，若圆上存在点，使，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为上的动点，为棱的中点．
设平面平面，若为的中点，求证：；
设，问线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：其中，且该方程不表示
问题：已知圆：求：
求共点直线系方程的“共点”的坐标；
设点为第问中的“共点”，点为圆上一动点，求的取值范围；
若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程．
参考答案
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15.解：由题意，，
若函数有意义，需满足，解得，
则函数的定义域为．
由知，，
又，则，
则，
所以
．
16.解：由，可得
即，又，则，
所以．
由正弦定理：，
所以，．
由，可得，
又是锐角三角形，故，解得；
所以
．
因为，所以，所以
所以，所以的周长：．
17.解：Ⅰ根据题意，圆心是直线与直线的交点，
则，解可得，即圆心的坐标为，
若圆经过原点，则其半径，
故圆的方程为，
Ⅱ设点，，
由，即，
化简得：，则点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，可记为圆，
又点在圆上，则圆与圆的关系为相交或相切，
又由，
则有，解可得：，
即的取值范围为．
18.解：证明：设的中点为，连接，，，
由题意，，，
在直三棱柱中，，，
所以，且，可得四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，平面，
所以，得证；
在直三棱柱中，平面，，
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，
则，，
又，
可得，
可得，
若平面，可得，
可得，解得，
所以线段上存在点，使得平面，此时．
19.解：令，解得，，
所以“共点”的坐标为；
圆：，
可得圆心，半径，
由，所以，
所以点在圆外，
所以，
即；
由，得点和到直线的距离相等，
所以直线过的中点或与直线平行或重合，
又非零实数对唯一存在，所以就是直线，
所以，
因为，所以点在圆内，
因为，所以当最小时，此时直线的方程为：．
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