2024-2025学年云南省文山州广南十中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省文山州广南十中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.过点且与直线垂直的直线方程是( )
A. B.
C. D.
4.点在直线：上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且队是否完成任务相互独立，则恰有队完成任务的概率为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足，且其图象关于直线对称，若在内有且只有一个根，则在区间内根的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，直线：，则下列结论正确的是( )
A. 在轴上的截距为 B. 恒过定点
C. 若，则或 D. 若，则
10.已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法错误的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
11.已知：，：，则下列说法正确的有( )
A. 若在内，则
B. 当时，与共有两条公切线
C. 当时，与的公共弦所在直线方程为
D. ，使得与公共弦的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.若过点作圆的切线，则切线方程为______．
14.在圆：内，过点的直线被该圆所截得弦的长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知两直线：和：的交点为．
直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；
圆过点且与相切于点，求圆的一般方程．
16.本小题分
某企业员工共人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第一组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．
区间
人数
表是年龄的频数分布表，求正整数，的值；
根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；
现在要从年龄较小的第，，组中用分层抽样的方法抽取人，从这人中随机抽取人参加社区宣传交流活动，求至少有人年龄在第组的概率．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调性；
在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
已知直线：，圆：．
若直线与圆相离，求的取值范围．
若直线与圆交于，两点，是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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13.或
14.
15.解：直线与直线平行，故设直线为，
联立方程组，解得．
直线：和：的交点．
又直线过点，则，解得，
即直线的方程为．
设所求圆的标准方程为，
：的斜率为，故直线的斜率为，
由题意可得，
解得，
故所求圆的方程为．
化为一般式：．
16.解：Ⅰ由题设可知，，，
Ⅱ根据频率分布直方图可得，平均年龄为 ，
估计中位数为：，
因为第，，组共有人，
利用分层抽样在名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：
第组的人数为
第组的人数为
第组的人数为
设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，，，，
则从六位同学中抽两位同学有：，，，，，，，，，，，，，，，共种可能．
其中人年龄都不在第组的有：，共种可能，
所以至少有人年龄在第组的概率为．
17.解：，
由，得，；
由，得，．
故在上单调递增，在上单调递减，．
，则，
，，即，
由正弦定理得，即，解得，或，
当时，，舍去，所以，故，
．
18.解：证明：在直角梯形内过作，交于，连结，则四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面，
平面平面，
平面；
以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，
得，
设平面的法向量为，，
由，
得，
，
二面角是钝角，
二面角的正弦值为．
19.解：圆：，即：．
因为直线与圆相离，所以，
化简得，解得或，
故的取值范围为：．
若存在直线垂直平分弦，则直线必过圆心，
直线的斜率，
因为直线垂直平分弦，所以直线的斜率为．
结合可得，当直线的斜率为时，直线与圆相离，与题设矛盾．
故不存在过点的直线垂直平分弦．
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