湖北省武汉市华中师大一附中2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

湖北省武汉市华中师大一附中 2024-2025 学年高二上学期期中数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在长方体 1 1 1 1中，( + 1 ) 运算的结果为( )
A.
B.
C. 1
D. 1
2 1
2.已知圆 ：( 2)2 + ( 4)2 = 4，若圆 关于直线 ： + = 2( > 0, > 0)对称，则 + 的最小值

为( )
A. 8 B. 1 C. 16 D. 4√ 2
2 2
3.已知椭圆 + = 1与直线 交于 ， 两点，若点 ( 1,1)为线段 的中点，则直线 的方程是( )
9 4
A. 9 + 4 13 = 0 B. 9 4 + 13 = 0
C. 4 9 + 13 = 0 D. 4 9 + 3 = 0
4.如图所示，在正三棱柱 1 1 1中， 1 = = 2，则异面直线 1 与 1所
成角的余弦值为( )
1
A.
2
√ 2
B.
2
1
C.
4
√ 2
D.
4
2 2
2
5.已知圆 1： + + 1 = 0与圆
2 2
2： + 2 3 = 0，若圆 1与圆 4 2恰有三条公切线，则
实数 的值为( )
A. ±2√ 2 B. ±4√ 2 C. ±4√ 6 D. 0
2 2
6.已知椭圆 ： + = 1， 为椭圆 上的一点，则点 到直线 ： + 4 = 0距离最小值为( )
5 4
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1 √ 2
A. 0 B. C. D. √ 2
2 2
2 2
7.已知 1， 2， 分别是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点和上顶点，连接 1并延长交椭圆 于
点 ，若△ 2 为等腰三角形，则椭圆 的离心率为( )
1 1 √ 2 √ 3
A. B. C. D.
2 3 2 3
8.设 为实数，若直线 1： + + 1 = 0，
2
2： + + 1 = 0， 3：( + 5) + 3 3 = 0两两相交，
且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的 1， 2， 3有( )
A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆 ： 2 + 2 = 4，直线 ： = + ，下列说法正确的是( )
A. 当 < 2√ 2或 > 2√ 2时，圆 上没有点到直线 的距离等于1
B. 当 = ±1时，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于1
C. 当 = ±√ 2时，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于1
D. 当 = ±1时，圆 上恰有四个点到直线 的距离等于1
1
10.将圆 2 + 2 = 16上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，得到椭圆 ，若该椭圆的两个焦点分
2
别为 1， 2，长轴两端点分别为 ， ，则( )
2 2
A. 椭圆的标准方程为 + = 1
16 8
B. 若点 是椭圆 上任意一点(与 ， 不重合)， 在 1 的延长线上， 是∠ 2的角平分线，过 2作 2
垂直 于点 ，则线段 长为定值4

C. 椭圆上恰有四个点 ，使得∠ 1 2 = 2
D. 若点 是椭圆 上任意一点(与 ， 不重合)，则△ 1 2内切圆半径的最大值为4√ 3 6
11.如图，正方体透明容器 1 1 1 1的棱长为8， ， ， ， 分别为 1， ， 1， 1 1的中点，
点 是棱 1 1上任意一点，则下列说法正确的是( )
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A. 1 ⊥
1
B. 向量 在向量 上的投影向量为
3
C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容
器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为48√ 3
D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.对于任意实数 ， ， ，√ ( 1)2 + ( 2)2 + ( 3)2 + √ ( 3)2 + ( 2)2 + ( 1)2的最小值为
______．
13.已知正方形 中心的坐标为(2,3)，若直线 的方程为3 + 4 + 2 = 0，则与 边垂直的两条边所
在的直线方程为______．
2 2 1
14.已知点 是椭圆 ： + = 1上一动点，过点 作⊙ ：( + 1)2 + 2 = 的切线 、 ，切点分别为 、
4 3 4
，当| | | |最小时，线段 的长度为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ 的顶点 (2,1)，边 的中线 所在直线方程为 + 1 = 0，边 的高 所在直线方程为
2 + 2 = 0．
(1)求点 的坐标；
(2)若入射光线经过点 (2,1)，被直线 反射，反射光线过点 (4,2)，求反射光线所在的直线方程．
16.(本小题15分)
已知圆 ： 2 + 2 6 4 + 12 = 0和 ( 1,0)， (1,1)， (2,4)．
(1)求过点 (2,4)且与圆 相切的直线方程；
31
(2)试求直线 上是否存在点 ，使得 = ？若存在，求点 的个数，若不存在，请说明理由．
4
17.(本小题15分)
√ 5
如图，直三棱柱 1 1 1的体积为1，△ 1 的面积为 ． 2
(1)求点 到平面 1 的距离；
(2)设 为 1 的中点， 1 = 2 ，平面 1 ⊥平面 1 1，求二面角 的正弦值．
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18.(本小题17分)
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的
数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是 ，在圆内异于圆心处取一定点，记为 ；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 ，此时圆周上与点 重合的点记为 ；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与 的交点为 ；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点 ．
现取半径为8的圆形纸片，设点 到圆心 的距离为4√ 3，按上述方法折纸.以线段 的中点为原点， 的方
向为 轴的正方向建立平面直角坐标系 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)若点 为曲线 上的一点，过点 作曲线 的切线 = + 交圆 ： 2 + 2 = 16于不同的两点 ， ．
4
( )试探求点 到点 (0, )的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；

( )求△ 面积的最大值．
19.(本小题17分)
2 2 √ 3 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且点(1, )在椭圆上． 2 2
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 轴上的一定点 (1,0)作两条直线 1， 2，其中 1与椭圆 交于 、 两点， 2与椭圆 交于 、 两点，( ,
在 轴上方， ， 在 轴下方)，如图所示．
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(ⅰ)已知 (2,0)，直线 斜率为 1，直线 斜率为 2，且 1 2 = 1，求证：直线 过定点；
(ⅱ)若直线 1， 相互垂直，试求 2 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2√ 2
13.【答案】4 3 + 21 = 0和4 3 19 = 0
√ 3
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)已知△ 的顶点 (2,1)，
边 的中线 所在直线方程为 + 1 = 0，
边 的高 所在直线方程为 2 + 2 = 0，
可设点 (2 2, )，
+1
因为 (2,1)，则 的中点( , )在直线 + 1 = 0上，
2
+1
可得 + 1 = 0，解得 = 1，
2
所以点 的坐标为 ( 4, 1)；
(2)设 (2,1)关于直线 + 1 = 0的对称点为 ′( , )，
1
= 1 = 0
则{ 2 ，解得{ ，即 ′(0,3)，
+2 +1
+ 1 = 0 = 3
2 2
2 4
所以反射光线所在的直线方程为 = ，可得 + 4 12 = 0．
3 2 0 4
16.【答案】解(1)由 2 + 2 6 4 + 12 = 0，可得( 3)2 + ( 2)2 = 1，
如图1，因过点 (2,4)且斜率不存在的直线 = 2恰与圆 相切，故有一条切线方程为 = 2；
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设另一条切线方程为： 4 = ( 2)，即 2 + 4 = 0，
| +2|
3
由圆心 (3,2)到直线 2 + 4 = 0的距离 = = 1，解得 = ，
√ 2 +1 4
故另一条切线方程为：3 + 4 22 = 0；
综上，过点 (2,4)且与圆 相切的直线方程为 = 2或3 + 4 22 = 0；
(2)如图2，因 ( 1,0)， (1,1)， (2,4)，
4
故 = ，则直线 的方程为：4 3 + 4 = 0， 3
4 +4 31
设在直线 上存在点 ( , )，满足 = ，
3 4
4 +4 4 +1 31
则有( 1 , ) (1 , ) = ，即100 2 + 80 299 = 0，
3 3 4
因 = 802 4 × 100 × ( 299) > 0，方程有两个不等根，
即在直线 上存在两个点 ，满足
31
= ，
4
故符合题意的点 有两个．
17.【答案】解：(1)因为直三棱柱 1 1 1的体积为1，
1
则三棱锥 1 的体积为 ， 3
设点 到平面 1 的距离为 ，
1
则 1 = = ， 1 3 △ 1
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即1 1 √ 5= × ，
3 3 2
解得 2√ 5 = ，
5
所以点 到平面 2√ 51 的距离为 ．
5
(2)过 作 ⊥ 1 ，垂足为 ，
又平面 1 ⊥平面 1 1，平面 1 ∩平面 1 1 = 1 ，
且 平面 1 1，所以 ⊥平面 1 ，
在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，
由 平面 1 ， 平面 ，可得 ⊥ ， 1 ⊥ ，
又因为 ， 1 平面 1 1且相交，所以 ⊥平面 1 1，
所以 ， ， 1两两垂直，
设 1 = 2 = 2 ，则 1 = √ 5 ，
1 1
由△ 1 的面积可得 1 = ， 2 2 1
即1 1 2√ 5× 2 × = × × √ 5 ，解得 = 1，
2 2 5
即 1 = 2 = 2， 1 = √ 5，
又因为△ 1 的面积为
1 1 √ 5
1 = × √ 5 × = ， 2 2 2
解得 = 1，
以 为原点，建立空间直角坐标系，如图，
1 1
则 (0,1,0), 1(0,1,2), (0,0,0), (1,0,0), ( , , 1)， 2 2
则
1 1
= ( , , 1)， = (0,1,0), = (1,0,0)，
2 2
设平面 的一个法向量 = ( , , )，
1 1
⊥ = + + = 0则{ ，则{ 2 2 ，
⊥ = = 0
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令 = 2，则 = 0， = 1，可得 = (2,0, 1)，
设平面 的一个法向量 = ( , , )，
1 1
则{ ⊥
= + + = 0，则{ 2 2 ，
= = 0
令 = 2，则 = 0， = 1，
可得 = (0,2, 1)，
1 1
则cos , = = = ，
| | | | √ 5×√ 5 5
1
设二面角 为 ∈ (0, )，则| | = ，
5
可得 2√ 6 = √ 1 cos2 = ，
5
所以二面角
2√ 6
的正弦值为 ．
5
18.【答案】解：(1)由题意可知： (2√ 3, 0), ( 2√ 3, 0)，
则| | + | | = | | + | | = | | = 8 > 4√ 3 = | |，
可知动点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，且 = 4, = 2√ 3, 2 = 2 2 = 4，
2 2
∴曲线 的方程为 + = 1．
16 12
= +
(2)(ⅰ)联立方程{ 2 2 ，消去 整理得(4 2 + 3) 2 + 8 + 4 2 48 = 0，
+ = 1
16 12
由题意可得 = 64 2 2 4(4 2 + 3)(4 2 48) = 0，即 2 = 16 2 + 12，
16
则原方程为 2 2 + 32 + 256 2 = 0，解得 = ，

16 2 2
将 = 代入直线 = + ，可得 16
2 16 12
= + = = ，
16 12 4
可知 ( , )，且 (0, )，

2 2 2
则 16 16 +1 +1| | = √ ( )2 + ( )2 = 16√ = 16√ = 8√
+1
，不为定值；
2 2 216 +12 4 +3
( )由题意可知：圆 ： 2 + 2 = 16的圆心为 (0,0)，半径 = 4，
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| |
∵点 到直线 + = 0的距离 = 2 ， √ +1
2
2 16 +12 4
可得 2 = ， 2 = 2 = 16 2
+1 +1 +1
4
∵ 2 ≥ 0，则 2 + 1 ≥ 1 4 ≤ 2 < 0，
+1
4
可得 2 = 16 2 ∈ [12,16),
+1
1 1
则 2 2 2 2△ = | | = × 2√ = √ ( 8) + 64， 2 2
可知当 2 = 12，即 = 0时，△ 面积取得最大值为4√ 3．
√ 3
19.【答案】解：(1) ∵点(1, )在椭圆 上，
2
1 3
∴ 2 + 2 = 1，① 4
√ 3
∵椭圆 的离心率为 ，
2
√ 3
∴ = ，②
2
又 2 = 2 + 2，③
联立①②③，
2
解得{ = 4，
2 = 1
2
则椭圆 的方程为 + 2 = 1；
4
(2)(ⅰ)证明：设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1， 2 > 0， 1 ≠ 2且均不为2，
= +
联立{ 2 ，消去 并整理得(1 + 4 2) 2 + 8 + 4 2 4 = 0，
+ 2 = 1
4
此时 = 64 2 2 16( 2 1)(1 + 4 2) > 0，
解得1 + 4 2 > 2，
8 4( 2 1)
由韦达定理得 1 + 2 = 2， 1 2 = 2 ，
1+4 1+4
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21 2 ( 1+ )( 2+ ) 1 2+ ( 1+ 2)+
2
∵ 1 2 = = = = 1， 1 2 2 2 ( 1 2)( 2 2) 1 2 2( 1+ 2)+4
8 4( 2 1)
∵ 1 + 2 = 2， 1 2 = 2 ，
1+4 1+4
整理得4 2 + 16 + 16 2 = 2 4 2，
10 2
解得 = 或 = ，
3 3
10 10
当 = 时， ： = ( )，
3 3
10
此时直线 过定点( , 0)；
3
2 2
当 = 时， ： = ( )，
3 3
2
此时直线 过定点( , 0)，
3
2
∵点( , 0)在椭圆内，与 ， 在同侧矛盾；
3
10
综上，直线 过定点( , 0)；
3
(ⅰ) ∵ = + ， = + ，直线 1， 2相互垂直，
即 ⊥ , ⊥ ，
∴ = ( + ) ( + ) = + + +
= + ，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)， ( 4, 4)，
∵ = (1 1, 1), = (1 3, 3), = ( 2 1, 2), = ( 4 1, 4)，
∴ = 1 3 ( 1 + 3) + 1 3 + 2 4 ( 2 + 4) + 2 4 + 2，
设 ： = + 1，

可得 ： = + 1，且 ≠ 0，

= + 1
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(4 +
2) 2 + 2 3 = 0，
+ = 1
4
此时 > 0，
2 3
由韦达定理得 1 + 3 = ， 4+ 2 1 3
= ，
4+ 2
2 3 2
同理得 2 + 4 = 2 ， 2 4 = 2 ， 4 +1 4 +1
4(1 2) 8
∴ 1 3 =
2 1 3 + ( 1 + 3) + 1 = 2 ， 1 + 3 = ( 4+ 1
+ 3) + 2 = ， 4+ 2
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1 1 3 2 4( 2 1) 1 8 2
2 4 = 2 2 4 ( 2 + 4) + 1 = 2 + 1 = 4 +1 4 2+1 4 2
， + = ( +
+1 2 4 2 4
) + 2 = ，
4 2+1
4(1 2) 8 3 4( 2 1) 8 2 3 2 4 2+7 7 2+4
∴ = 2 2 2 + 2 2 2 + 2 = 2 4+ 4+ 4+ 4 +1 4 +1 4 +1 4+ 2 4 2+1
2
23 4+64 2+23 ( 2+1)
= 2 4 2 = 15 × 2 ， 4 +17 +4 4( 2+1) +9( 2+1) 9
2 1令 = + 1 > 1， ∈ (0,1)，

2
( 2+1) 2 1 4 1
易知 2 = = ∈ [ , )，
4( 2+1) +9( 2+1) 9 4 2+9 9 1 1 2 259( ) 25 4
2 4
2 2( +1) 15 12
则 15 × 2 ∈ ( , ].
4( 2+1) +9( 2+1) 9 4 5
15 12
故 的取值范围为( , ].
4 5
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