人教版五年级下册数学等差数列初步（课件）(共18张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版五年级下册数学等差数列初步（课件）(共18张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-04 21:09:13 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
第三讲 等差数列初步
例题 1：①观察下面的数列，在括号里填上适当的数。
（1）3，6，9，12，15，（ ），21，（ ）。
（2）1，5，9，13，（ ），21，（ ），29。
（3）55，49，43，37，（ ），25，（ ）。
通过观察，我们发现第 1 小题中每相邻两个数的差是（ ）；
第 2 小题中每相邻两个数的差是（ ）；
第 3 小题中每相邻两个数的差是（ ）。
+3
+3
+3
+3
+3
+3
+3
18
24
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
17
25
-6
-6
-6
-6
-6
-6
31
19
3
4
6
【易学点拨】一列数中，每相邻两个数的差都是一个固定的数时，我们就把这样的一列数叫做等差数列；那个固定的差叫做公差，一般用字母d表示；其中第一个数叫做首项，一般用字母a1表示；最后一个数叫做末项，一般用字母an表示；这一列数的个数叫做项数，一般用字母n表示。
例题1： ②算一算，填一填。
（1）等差数列：3，5，7，9，……的第 15 项是（ ）。
（2）等差数列：2，5，8，11，……的第 35 项是（ ）。
（3）等差数列：5，12，19，26，……的第 50 项是（ ）。
（1）公差： d=2
首项：a1=3
a2=3+(2-1)×2
a3=3+(3-1)×2
……
a15= 3+(15-1)×2
= 3+14×2
= 31
31
a2=2+(2-1)×3
a3=2+(3-1)×2
……
a35=2+(35-1)×3
=2+34×3
=104
104
（3）公差： d=7
首项：a1=5
a50=5+(50-1)×7
an=a1+(n-1)×d
348
【易学点拨】先找出等差数列的首项和公差，再根据规律：第n项要在首项上加上(n-1) 个公差，得出等差数列的通项公式：
an = a1+(n-1)×d
（2）公差： d=3
首项：a1=2
=5+49×7
=348
练习 1：
（1）国庆节到了，同学们去中心广场摆花盆。第一排摆了 51 盆，以后每一排都比前一排多摆 4 盆，一共摆了 11 排，最后一排要摆（ ）盆。
（2）小强到公园游玩，在一片小树林里数小树。第一排有 5 棵树，第二排有 8 棵树，第三排有 11 棵树，……照这样的规律，第 10 排有（ ）棵树。
公差： d=4
首项：a1=51
项数： n=11
an= a1+(n-1)×d
a51： 51+(11-1)×4
= 91
91
公差： d=
首项：a1=5
项数： n=10
an= a1+(n-1)×d
a10： 5+(10-1)×3
= 32
32
8-5=3
1、一列数中，每相邻两个数的差都是一个固定的数时，我们就把这样的一列数叫做等差数列；
公差：d
首项：a1
末项：an
项数：n。
2、先找出等差数列的首项和公差，再根据规律：第n项要在首项上加上(n-1) 个公差，得出
等差数列的通项公式：
an= a1 + ( n - 1)×d
末项= 首项+(项数-1)×公差
小结
例题 2：逆向思考
（1）等差数列：7，10，13，16，……，其中 58 是第（ ）项。
（2）等差数列：15，17，19，21，……，其中 99 是第（ ）项。
【易学点拨】
根据等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)×d，找出首项、公差和末项，替换掉字母，再用逐步还原求出项数。根据还原的过程，我们得出项数公式：
n = ( an - a1 ) ÷ d +1
项数 =（末项-首项)÷公差+1
n=(an-a1)÷d+1
(58-7)÷3+1
公差：d=
首项：a1=7
末项：an=58
10-7=3
= 51÷3+1
18
n=(an-a1)÷d+1
(99-15)÷2+1
公差：d=
首项：a1=15
末项：an=99
17-15=2
= 84÷2+1
43
= 18
= 43
练习 2：
（1）同学们做操时站成了一个等差数列，其中第一排有学生 45 人，最后一排有学生 72人，每相邻两排相差 3 人，那么这个队伍一共有（ ）排。
（2）一堆积木，最下面一层有 80 个，最上面一层有 12 个，每相邻两层相差 4 个，这堆积木堆了（ ）层。你学会了吗？
n=(an-a1)÷d+1
(72-45)÷3+1
公差： d=3
首项：a1=45
末项：an=72
= 27÷3+1
10
n=(an-a1)÷d+1
(80-12)÷4+1
公差： d=4
首项：a1=12
末项：an=80
= 68÷4+1
18
= 10
= 18
1、一列数中，每相邻两个数的差都是一个固定的数时，我们就把这样的一列数叫做等差数列； 公差：d；首项：a1；末项：an；项数：n
2、先找出等差数列的首项和公差，再根据规律：第n项要在首项上加上(n-1) 个公差，得出等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)×d
3、根据等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)×d，找出首项、公差和末项，替换掉字母，再用逐步还原求出项数。根据还原的过程，我们得出项数公式：
n = ( an - a1 ) ÷ d +1
项数 =（末项-首项)÷公差+1
小结
例题 3：计算 10+13+16+……+49
【易学点拨】
1. 先根据项数公式计算出项数。
2. 再用求和公式计算出和。
S1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
S2：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
S1+S2：（1+10）×10=110
S1：（1+10）×10÷2=55
和：（首项+末项）×项数÷2
项数：(49-10)÷3+1
公差：d=13-10=3
首项：a1=10
末项：an=49
= 39÷3+1
和： (10+49)×14÷2
= 59×14÷2
= 413
项数 ： (末项-首项)÷公差+1
和 ：(首项+末项)×项数÷2
= 14
练习 3：试一试
① 计算 50+55+60+……+245
② 计算 384+378+372+……+102
和 ：(首项+末项)×项数÷2
项数：(末项-首项)÷公差+1
项数：(245-50)÷5+1
公差：d=55-50=5
首项：a1=50
末项：an=245
= 195÷5+1
和：（50+245）×40÷2
= 295×（40÷2）
= 295×20
= 5900
和：（384+102）×48÷2
= 486×（48÷2）
= 486×24
= 11664
项数：(384-102)÷6+1
= 282÷6+1
公差：d=384-378=6
首项：a1=384
末项：an=102
= 47+1
= 39+1
= 40
= 48
1、一列数中，每相邻两个数的差都是一个固定的数时，我们就把这样的一列数叫做等差数列；
公差：d；首项：a1；末项：an；项数：n
2、先找出等差数列的首项和公差，再根据规律：第n项要在首项上加上(n-1) 个公差，得出
等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)×d
3、根据等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)×d，找出首项、公差和末项，替换掉字母，再用逐步还原求出项数。根据还原的过程，我们得出项数公式：
n = ( an - a1 ) ÷ d +1
项数 =（末项-首项)÷公差+1
4、先根据项数公式计算出项数 n=(an-a1)÷d+1
再用求和公式计算出和 S=(a1+an)×n÷2
小结
项数 ： (末项-首项)÷公差+1
和 ：(首项+末项)×项数÷2
例题 4：一个等差数列的第 4 项是 18，第 18 项是 88，这个等差数列的第一项是多少？第 40 项是多少？前 40 项的和是多少？
a4 = 18
a18= 88
相差项：18-4=14
相差：88-18=70
公差：70÷14=5
第1项：18-(4-1)×5
= 18-15
= 3
第40项： 3+（40-1）×5
= 3+39×5
= 3+195
= 198
3，8，13，18，23，28，33……
前40项的和：（3+198）×40÷2
= 201×（40÷2）
= 201×20
= 4020
答：这个等差数列的第一项是3，第40项是198，前40项的和是4020。
练习 4：（1）一个等差数列的第 7 项是 40，第 20 项是 92，第一项是多少？第 45 项是多少？前 45 项的和是多少？
a7 = 40
a20= 92
相差项：20-7=13
相差：92-40=52
公差：52÷13=4
第1项：40-(7-1)×4
= 40-24
= 16
第45项： 16+（45-1）×4
= 16+ 44×4
= 16+176
= 192
16，20，24，28，32，36，40，44，48……
前45项的和：（16+192）×45÷2
= 208×45÷2
= 9360÷2
= 4680
答：这个等差数列的第一项是16，第45项是192，前45项的和是4680。
练习 4：（2）一个等差数列的第 9 项是 48，第 20 项是 103，第一项是多少？第 30 项是多少？前 30 项的和是多少？
a9 = 48
a20= 103
相差项：20-9=11
相差：103-48=55
公差：55÷11=5
第1项：48-8×5
= 48-40
= 8
第30项： 8+（30-1）×5
= 8+ 29×5
= 8+145
= 153
8，13，18，23，28，33，38，43，48……
前30项的和： （8+153）×30÷2
= 161×(30÷2)
= 161×15
= 2415
答：这个等差数列的第一项是8，第45项是153，前45项的和是2415。
1、等差数列概念；公差：d 首项：a1 末项：an 项数：n
2、等差数列的通项公式： an= a1 + ( n - 1)×d
3、项数公式： n = ( an - a1 ) ÷ d +1
4、求和公式： S=(a1+an)×n÷2
5、已知中间两项，求首项和末项，求和。
小结
1、观察规律填空。
（1）等差数列：19，22，25，28，……的第 45 项是（ ）。
（2）等差数列：30，34，38，42，……，102 共有（ ）项。
an = a1+(n-1)×d
19+(45-1)×（22-19）
=151
151
n=(an-a1)÷d+1
(102-30)÷（34-30)+1
= 19
19
=19+44×3
= 72÷4+1
2、计算 45+49+53+57+……+97
3、一个等差数列的第 8 项是 43，第 17 项是 97，这个等差数列的第一项是多少？第 25 项是多少？前 25 项的和是多少？
项数：(97-45)÷(49-45)+1
= 52÷4+1
= 14
和：（45+97）×14÷2
= 142×14÷2
= 1998÷2
= 994
a8=43 a17=97
相差项：17-8=9
相差：97-43=54
公差d：54÷9=6
第1项：43-7×6=1
第25项： 1+（25-1）×6
= 1+24×6
= 1+144
= 145
前25项的和：（1+145）×45÷2
= 146×45÷2
= 3285
答：这个等差数列的第一项是1，第25项是145，前25项的和是3285。
THANKS
第三讲 等差数列初步
例题 1：①观察下面的数列，在括号里填上适当的数。
（1）3，6，9，12，15，（ ），21，（ ）。
（2）1，5，9，13，（ ），21，（ ），29。
（3）55，49，43，37，（ ），25，（ ）。
通过观察，我们发现第 1 小题中每相邻两个数的差是（ ）；
第 2 小题中每相邻两个数的差是（ ）；
第 3 小题中每相邻两个数的差是（ ）。
+3
+3
+3
+3
+3
+3
+3
18
24
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
17
25
-6
-6
-6
-6
-6
-6
31
19
3
4
6
【易学点拨】一列数中，每相邻两个数的差都是一个固定的数时，我们就把这样的一列数叫做等差数列；那个固定的差叫做公差，一般用字母d表示；其中第一个数叫做首项，一般用字母a1表示；最后一个数叫做末项，一般用字母an表示；这一列数的个数叫做项数，一般用字母n表示。
例题1： ②算一算，填一填。
（1）等差数列：3，5，7，9，……的第 15 项是（ ）。
（2）等差数列：2，5，8，11，……的第 35 项是（ ）。
（3）等差数列：5，12，19，26，……的第 50 项是（ ）。
（1）公差： d=2
首项：a1=3
a2=3+(2-1)×2
a3=3+(3-1)×2
……
a15= 3+(15-1)×2
= 3+14×2
= 31
31
a2=2+(2-1)×3
a3=2+(3-1)×2
……
a35=2+(35-1)×3
=2+34×3
=104
104
（3）公差： d=7
首项：a1=5
a50=5+(50-1)×7
an=a1+(n-1)×d
348
【易学点拨】先找出等差数列的首项和公差，再根据规律：第n项要在首项上加上(n-1) 个公差，得出等差数列的通项公式：
an = a1+(n-1)×d
（2）公差： d=3
首项：a1=2
=5+49×7
=348
练习 1：
（1）国庆节到了，同学们去中心广场摆花盆。第一排摆了 51 盆，以后每一排都比前一排多摆 4 盆，一共摆了 11 排，最后一排要摆（ ）盆。
（2）小强到公园游玩，在一片小树林里数小树。第一排有 5 棵树，第二排有 8 棵树，第三排有 11 棵树，……照这样的规律，第 10 排有（ ）棵树。
公差： d=4
首项：a1=51
项数： n=11
an= a1+(n-1)×d
a51： 51+(11-1)×4
= 91
91
公差： d=
首项：a1=5
项数： n=10
an= a1+(n-1)×d
a10： 5+(10-1)×3
= 32
32
8-5=3
1、一列数中，每相邻两个数的差都是一个固定的数时，我们就把这样的一列数叫做等差数列；
公差：d
首项：a1
末项：an
项数：n。
2、先找出等差数列的首项和公差，再根据规律：第n项要在首项上加上(n-1) 个公差，得出
等差数列的通项公式：
an= a1 + ( n - 1)×d
末项= 首项+(项数-1)×公差
小结
例题 2：逆向思考
（1）等差数列：7，10，13，16，……，其中 58 是第（ ）项。
（2）等差数列：15，17，19，21，……，其中 99 是第（ ）项。
【易学点拨】
根据等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)×d，找出首项、公差和末项，替换掉字母，再用逐步还原求出项数。根据还原的过程，我们得出项数公式：
n = ( an - a1 ) ÷ d +1
项数 =（末项-首项)÷公差+1
n=(an-a1)÷d+1
(58-7)÷3+1
公差：d=
首项：a1=7
末项：an=58
10-7=3
= 51÷3+1
18
n=(an-a1)÷d+1
(99-15)÷2+1
公差：d=
首项：a1=15
末项：an=99
17-15=2
= 84÷2+1
43
= 18
= 43
练习 2：
（1）同学们做操时站成了一个等差数列，其中第一排有学生 45 人，最后一排有学生 72人，每相邻两排相差 3 人，那么这个队伍一共有（ ）排。
（2）一堆积木，最下面一层有 80 个，最上面一层有 12 个，每相邻两层相差 4 个，这堆积木堆了（ ）层。你学会了吗？
n=(an-a1)÷d+1
(72-45)÷3+1
公差： d=3
首项：a1=45
末项：an=72
= 27÷3+1
10
n=(an-a1)÷d+1
(80-12)÷4+1
公差： d=4
首项：a1=12
末项：an=80
= 68÷4+1
18
= 10
= 18
1、一列数中，每相邻两个数的差都是一个固定的数时，我们就把这样的一列数叫做等差数列； 公差：d；首项：a1；末项：an；项数：n
2、先找出等差数列的首项和公差，再根据规律：第n项要在首项上加上(n-1) 个公差，得出等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)×d
3、根据等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)×d，找出首项、公差和末项，替换掉字母，再用逐步还原求出项数。根据还原的过程，我们得出项数公式：
n = ( an - a1 ) ÷ d +1
项数 =（末项-首项)÷公差+1
小结
例题 3：计算 10+13+16+……+49
【易学点拨】
1. 先根据项数公式计算出项数。
2. 再用求和公式计算出和。
S1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
S2：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
S1+S2：（1+10）×10=110
S1：（1+10）×10÷2=55
和：（首项+末项）×项数÷2
项数：(49-10)÷3+1
公差：d=13-10=3
首项：a1=10
末项：an=49
= 39÷3+1
和： (10+49)×14÷2
= 59×14÷2
= 413
项数 ： (末项-首项)÷公差+1
和 ：(首项+末项)×项数÷2
= 14
练习 3：试一试
① 计算 50+55+60+……+245
② 计算 384+378+372+……+102
和 ：(首项+末项)×项数÷2
项数：(末项-首项)÷公差+1
项数：(245-50)÷5+1
公差：d=55-50=5
首项：a1=50
末项：an=245
= 195÷5+1
和：（50+245）×40÷2
= 295×（40÷2）
= 295×20
= 5900
和：（384+102）×48÷2
= 486×（48÷2）
= 486×24
= 11664
项数：(384-102)÷6+1
= 282÷6+1
公差：d=384-378=6
首项：a1=384
末项：an=102
= 47+1
= 39+1
= 40
= 48
1、一列数中，每相邻两个数的差都是一个固定的数时，我们就把这样的一列数叫做等差数列；
公差：d；首项：a1；末项：an；项数：n
2、先找出等差数列的首项和公差，再根据规律：第n项要在首项上加上(n-1) 个公差，得出
等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)×d
3、根据等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)×d，找出首项、公差和末项，替换掉字母，再用逐步还原求出项数。根据还原的过程，我们得出项数公式：
n = ( an - a1 ) ÷ d +1
项数 =（末项-首项)÷公差+1
4、先根据项数公式计算出项数 n=(an-a1)÷d+1
再用求和公式计算出和 S=(a1+an)×n÷2
小结
项数 ： (末项-首项)÷公差+1
和 ：(首项+末项)×项数÷2
例题 4：一个等差数列的第 4 项是 18，第 18 项是 88，这个等差数列的第一项是多少？第 40 项是多少？前 40 项的和是多少？
a4 = 18
a18= 88
相差项：18-4=14
相差：88-18=70
公差：70÷14=5
第1项：18-(4-1)×5
= 18-15
= 3
第40项： 3+（40-1）×5
= 3+39×5
= 3+195
= 198
3，8，13，18，23，28，33……
前40项的和：（3+198）×40÷2
= 201×（40÷2）
= 201×20
= 4020
答：这个等差数列的第一项是3，第40项是198，前40项的和是4020。
练习 4：（1）一个等差数列的第 7 项是 40，第 20 项是 92，第一项是多少？第 45 项是多少？前 45 项的和是多少？
a7 = 40
a20= 92
相差项：20-7=13
相差：92-40=52
公差：52÷13=4
第1项：40-(7-1)×4
= 40-24
= 16
第45项： 16+（45-1）×4
= 16+ 44×4
= 16+176
= 192
16，20，24，28，32，36，40，44，48……
前45项的和：（16+192）×45÷2
= 208×45÷2
= 9360÷2
= 4680
答：这个等差数列的第一项是16，第45项是192，前45项的和是4680。
练习 4：（2）一个等差数列的第 9 项是 48，第 20 项是 103，第一项是多少？第 30 项是多少？前 30 项的和是多少？
a9 = 48
a20= 103
相差项：20-9=11
相差：103-48=55
公差：55÷11=5
第1项：48-8×5
= 48-40
= 8
第30项： 8+（30-1）×5
= 8+ 29×5
= 8+145
= 153
8，13，18，23，28，33，38，43，48……
前30项的和： （8+153）×30÷2
= 161×(30÷2)
= 161×15
= 2415
答：这个等差数列的第一项是8，第45项是153，前45项的和是2415。
1、等差数列概念；公差：d 首项：a1 末项：an 项数：n
2、等差数列的通项公式： an= a1 + ( n - 1)×d
3、项数公式： n = ( an - a1 ) ÷ d +1
4、求和公式： S=(a1+an)×n÷2
5、已知中间两项，求首项和末项，求和。
小结
1、观察规律填空。
（1）等差数列：19，22，25，28，……的第 45 项是（ ）。
（2）等差数列：30，34，38，42，……，102 共有（ ）项。
an = a1+(n-1)×d
19+(45-1)×（22-19）
=151
151
n=(an-a1)÷d+1
(102-30)÷（34-30)+1
= 19
19
=19+44×3
= 72÷4+1
2、计算 45+49+53+57+……+97
3、一个等差数列的第 8 项是 43，第 17 项是 97，这个等差数列的第一项是多少？第 25 项是多少？前 25 项的和是多少？
项数：(97-45)÷(49-45)+1
= 52÷4+1
= 14
和：（45+97）×14÷2
= 142×14÷2
= 1998÷2
= 994
a8=43 a17=97
相差项：17-8=9
相差：97-43=54
公差d：54÷9=6
第1项：43-7×6=1
第25项： 1+（25-1）×6
= 1+24×6
= 1+144
= 145
前25项的和：（1+145）×45÷2
= 146×45÷2
= 3285
答：这个等差数列的第一项是1，第25项是145，前25项的和是3285。
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