2024-2025学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在长方体中，运算的结果为( )
A.
B.
C.
D.
2.已知圆：，若圆关于直线：对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆与直线交于，两点，若点为线段的中点，则直线的方程是( )
A. B.
C. D.
4.如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知圆：与圆：，若圆与圆恰有三条公切线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆：，为椭圆上的一点，则点到直线：距离最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知，，分别是椭圆：的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设为实数，若直线：，：，：两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有( )
A. 组 B. 组 C. 组 D. 组
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，直线：，下列说法正确的是( )
A. 当或时，圆上没有点到直线的距离等于
B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于
C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于
D. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于
10.将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆，若该椭圆的两个焦点分别为，，长轴两端点分别为，，则( )
A. 椭圆的标准方程为
B. 若点是椭圆上任意一点与，不重合，在的延长线上，是的角平分线，过作垂直于点，则线段长为定值
C. 椭圆上恰有四个点，使得
D. 若点是椭圆上任意一点与，不重合，则内切圆半径的最大值为
11.如图，正方体透明容器的棱长为，，，，分别为，，，的中点，点是棱上任意一点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 向量在向量上的投影向量为
C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为
D. 向容器中装入直径为的小球，最多可装入个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对于任意实数，，，的最小值为______．
13.已知正方形中心的坐标为，若直线的方程为，则与边垂直的两条边所在的直线方程为______．
14.已知点是椭圆：上一动点，过点作：的切线、，切点分别为、，当最小时，线段的长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边的高所在直线方程为．
求点的坐标；
若入射光线经过点，被直线反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．
16.本小题分
已知圆：和，，．
求过点且与圆相切的直线方程；
试求直线上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，请说明理由．
17.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求点到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
18.本小题分
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为；
步骤：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点．
现取半径为的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
若点为曲线上的一点，过点作曲线的切线交圆：于不同的两点，．
试探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
求面积的最大值．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上．
求椭圆的方程；
过轴上的一定点作两条直线，，其中与椭圆交于、两点，与椭圆交于、两点，在轴上方，，在轴下方，如图所示．
(ⅰ)已知，直线斜率为，直线斜率为，且，求证：直线过定点；
(ⅱ)若直线，相互垂直，试求的取值范围．
参考答案
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13.和
14.
15.解：已知的顶点，
边的中线所在直线方程为，
边的高所在直线方程为，
可设点，
因为，则的中点在直线上，
可得，解得，
所以点的坐标为；
设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以反射光线所在的直线方程为，可得．
16.解由，可得，
如图，因过点且斜率不存在的直线恰与圆相切，故有一条切线方程为；
设另一条切线方程为：，即，
由圆心到直线的距离，解得，
故另一条切线方程为：；
综上，过点且与圆相切的直线方程为或；
如图，因，，，
故，则直线的方程为：，
设在直线上存在点，满足，
则有，即，
因，方程有两个不等根，
即在直线上存在两个点，满足，
故符合题意的点有两个．
17.解：因为直三棱柱的体积为，
则三棱锥的体积为，
设点到平面的距离为，
则，
即，
解得，
所以点到平面的距离为．
过作，垂足为，
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面，可得，，
又因为，平面且相交，所以平面，
所以，，两两垂直，
设，则，
由的面积可得，
即，解得，
即，，
又因为的面积为，
解得，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，
则，，
设平面的一个法向量，
则，则，
令，则，，可得，
设平面的一个法向量，
则，则，
令，则，，
可得，
则，
设二面角为，则，
可得，
所以二面角的正弦值为．
18.解：由题意可知：，
则，
可知动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，
曲线的方程为．
联立方程，消去整理得，
由题意可得，即，
则原方程为，解得，
将代入直线，可得，
可知，且，
则，不为定值；
由题意可知：圆：的圆心为，半径，
点到直线的距离，
可得，
，则，
可得
则，
可知当，即时，面积取得最大值为．
19.解：点在椭圆上，
，
椭圆的离心率为，
，
又，
联立，
解得，
则椭圆的方程为；
证明：设直线的方程为，，，，，且均不为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
，
，，
整理得，
解得或，
当时，，
此时直线过定点；
当时，，
此时直线过定点，
点在椭圆内，与，在同侧矛盾；
综上，直线过定点；
，，直线，相互垂直，
即，
，
设，，，，
，
，
设：，
可得，且，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
同理得，，
，，
，，
，
令，，
易知，
则
故的取值范围为
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