2024-2025学年江西省宜春市丰城中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省宜春市丰城中学高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.过点且垂直于直线的直线方程为( )
A. B. C. D.
3.双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
4.无论为何值，直线过定点( )
A. B. C. D.
5.已知，是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于，两点，若，，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.如图所示，点，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知抛物线方程为：，焦点为圆的方程为，设为抛物线上的点，为圆上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知直线：与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：，则( )
A. 的焦点在轴上 B. 的短半轴长为
C. 的右焦点坐标为 D. 的离心率为
10.若圆与圆的交点为，，则( )
A. 线段的垂直平分线的方程为
B. 线段所在直线方程为
C. 线段的长为
D. 在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆
11.已知抛物线：过点，焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，，分别交于，两点，则( )
A.
B. 最小值为
C. 准线的方程为
D. 以为直径的圆恒过定点，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是______．
13.已知为坐标原点，抛物线：上一点到焦点的距离为，设点为抛物线准线上的动点若为正三角形，则抛物线方程为______．
14.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，：，且，
求的值；
直线过点与，交于、，，求直线的方程．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
若直线被圆截得弦长为，求实数的值．
17.本小题分
已知椭圆：的一个顶点为，离心率为直线与椭圆交于不同的两点，．
求椭圆的方程；
当时，求的面积．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为
Ⅰ求抛物线的标准方程；
Ⅱ抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值．
19.本小题分
已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数，其中，，且，记点的轨迹为曲线．
求的方程，并说明轨迹的形状；
设点，若曲线上两动点，均在轴上方，，且与相交于点．
当，时，求证：的值及的周长均为定值；
当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求用，表示；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.．
14.
15.解：因为，所以，且，
解得；
由得：，：，
所以两直线之间的距离为，
而，
所以直线与，均垂直，
由于，所以，
所以直线方程为，
即．
16.解：因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，即圆心，，
所以圆的方程为；
因为直线被圆截得弦长为，
则圆心到直线的距，由点到直线的距离公式可得，
解得．
17.本小题满分分
解：由题意得解得，．
所以椭圆的方程为．
由得．
设点，的坐标分别为，，则，．
所以．
又因为点到直线的距离，
所以的面积为．
18.解：Ⅰ抛物线：的焦点为，
，
解得：，
故抛物线的标准方程为：；
Ⅱ点的横坐标为，
故A点的坐标为，设，，
由已知设：，即：，
代入抛物线的方程得：，即，
则：，故：，
设：，即：
同理可得：，
直线的斜率，
所以：直线的斜率为定值．
19.解：设点，由题意可知，
即，
经化简，得的方程为，
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．
设点，，，其中，且，，
证明：由可知的方程为，
因为，所以，
因此，，，三点共线，且，
设直线的方程为，联立的方程，得，
则，
由可知，
所以
定值，
由椭圆定义，得，
，，
解得，
同理可得，
所以
．
因为，所以的周长为定值．
当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
根据的证明，同理可得，，三点共线，且，
设直线的方程为，联立的方程，
得，
，
因为，
所以
，
将代入上式，化简得，
由双曲线的定义，得，
根据，解得，
同理根据，解得，
所以
，
由内切圆性质可知，，
当时，常数．
因此，存在常数使得恒成立，且．
第1页，共1页