内蒙古巴彦淖尔市2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

内蒙古巴彦淖尔市 2023-2024 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = (1,0, ), = (2, , 1)，且 // ，则 =( )
1 1
A. 2 B. 2 C. D.
2 2
1
2.在数列{ }中，若 1 = 3, +1 = ，则 15 =( ) 1
1 2
A. B. 3 C. D. 1
2 3
3.在空间直角坐标系中，已知向量 = (1,1, 1)是平面 的一个法向量，且 = (0,3,4)，则直线 与平
面 所成角的正弦值是( )
√ 5 √ 3 √ 5 √ 3
A. B. C. D.
15 15 20 20
4.在等差数列{ }中， 2 = 1， 5 = 12，则{ }的前6项和为( )
A. 30 B. 31 C. 32 D. 33
5.法国数学家加斯帕 蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切
2 2
线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 ： 2 + 2 = 1( >
2 2 7 > 0)的蒙日圆为 + = 2，则 的离心率为( )
3
√ 3 1 1 √ 3
A. B. C. D.
3 3 2 2
+3 6.设等差数列{ }，{ }的前 项和分别为 ， ，若 = ，则
10 =( )
3 +15 10
11 23 7 7
A. B. C. D.
36 72 24 23
1 121
7.已知正项等比数列{ }的前5项和为242，且数列{ }的前5项和为 ，则 =( ) 162 3
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
8.已知⊙ ： 2 + 2 + 2 4 + 1 = 0，直线 ： 1 = 0， 为 上的动点.过点 作⊙ 的切线 ， ，
切点分别为 ， ，当| | | |最小时，直线 的方程为( )
A. + 1 = 0 B. 2 = 0 C. + + 2 = 0 D. + + 1 = 0
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.若直线 = 2 + 经过椭圆 + = 1的一个焦点，则 的值可能为( )
5 9
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
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10.若 ， 是函数 ( ) = 2 + ( > 0, > 0)的两个不同的零点，且 ， ， 6这三个数在适当排序后
成等差数列，也在适当排序后成等比数列，则( )
A. + = 16 B. = 36 C. = 540 D. = 21
11.在直角坐标系 中，已知点 (1,0)，直线 ： = 1，过 外一点 作 的垂线，
垂足为 ，且| | = | |，记动点 的轨迹为 ，过点 作 的切线，该切线与 ， 轴
分别交于 ， 两个不同的点，则下列结论正确的是( )
A. 动点 的轨迹方程为 2 = 4
B. 当| | = 4时， ， ， 三点共线
C. 对任意点 (除原点 外)，都有 ⊥
D. 设 (2,2)，则| | + | |的最小值为4
2 2
12.已知 为坐标原点， 是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点， = 与 交于 ， 两点， ， 分
别为 ， 的中点，若 ⊥ ，则 的离心率可能为( )
3 √ 2 1 √ 31
A. B. C. D.
4 2 2 6
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知{ }为等比数列， 1 = 9， 4 6 = 6 5 9，则 3 = ______．
14.点(2,5)到直线 2 + + 4 = 0的距离的最大值为______．
2 2
15.若双曲线 = 1( > 2)的虚轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为______．
2
16.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为2， 是 1的中点，则点 到直线 1
的距离为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知圆 过点 (0, 3)和 (0,1)，且圆心 在直线 ： + 1 = 0上．
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(1)求圆 的标准方程；
(2)经过点(0, 3)的直线 被圆 截得的弦长为4，求 的方程．
18.(本小题12分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， ( 0, 6)是 上的点，且| | = 15．
(1)求 的方程；
(2)已知直线 交 于 ， 两点，且 的中点为(2, 11)，求 的方程．
19.(本小题12分)
设数列{ }满足3 1 + 5 2 + + (2 + 1) = 9 ．
(1)求{ }的通项公式；
3
(2)记数列{ }的前 项和为 ，证明： < ． 6 3 2
20.(本小题12分)
如图，长方体 1 1 1 1的底面 为正方形， 1 = 2 ， 为 1上一点．
(1)证明： ⊥ 1 ；
(2)若 1 ⊥平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
2 2 √ 42
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为 ，且其焦点到渐近线的距离为1． 6
(1)求 的方程；
(2)若动直线 与 恰有1个公共点，且与 的两条渐近线分别交于 ， 两点， 为坐标原点，证明：△ 的
面积为定值．
22.(本小题12分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且( 1 + 3) = 2 + ．
(1)求 1， 2；
100
(2)若 1 > 0，数列{lg
1}的前 项和为

，当 为何值时， 最大？并求 的最大值．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】3√ 3
14.【答案】3√ 2
√ 2
15.【答案】 = ±
2
2√ 30
16.【答案】
5
17.【答案】解：(1)由 (0, 3)和 (0,1)，可得 的垂直平分线方程为 = 1，
与直线 ： + 1 = 0联立可得圆 的圆心坐标为 (2, 1)．
圆 的半径为√ (2 0)2 + ( 1 1)2 = 2√ 2，
所以圆 的标准方程为( 2)2 + ( + 1)2 = 8．
(2)设圆心 到直线 的距离为 ，由弦长公式得2√ 2 2 = 4，故 = 2．
若直线 的斜率存在，则设直线 的方程为 = 3，即 3 = 0，
|2 +1 3|
所以 = = 2，解得 = 0，则直线 的方程为 = 3．
√ 2 +1
若直线 的斜率不存在，则 = 0，此时圆心 (2, 1)到直线 的距离为2，符合题意．
故直线 的方程为 = 0或 = 3．
18.【答案】解：(1)因为 ( 0, 6)是抛物线 上的点，且| | = 15，

所以| | = 6 + = 15，
2
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解得 = 18，
则抛物线 的方程为 2 = 36 ；
(2)易知直线 的斜率存在，
不妨设直线 的斜率为 ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
因为 ， 两点都在抛物线 上，
21 = 36 所以{ 1，
22 = 36 2
两式相减得 21
2
2 = 36( 1 2)，
1 2 + 即 = 1 2，
1 2 36
因为 的中点为(2, 11)，
4 1
所以 = 1 2 = = ，
1 2 36 9
1
所以直线 的方程为 + 11 = ( 2)，
9
即 + 9 + 97 = 0．
19.【答案】解：(1)因为3 1 + 5 2 + + (2 + 1) = 9 ，
所以当 ≥ 2时，3 1 + 5 2 + + (2 1) 1 = 9( 1)，
9
两式相减得(2 + 1) = 9，所以 = ( ≥ 2)． 2 +1
当 = 1时，3 1 = 9，即 1 = 3，符合上式，
9
故{ }的通项公式为 = ． 2 +1
3 3 1 1(2)证明：由(1)知 = = ( )，
6 3 (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
3 1 1 1 1 1
所以 = [(1 ) + ( ) + + ( )]， 2 3 3 5 2 1 2 +1
3 1 3
故 = (1 ) < ． 2 2 +1 2
20.【答案】(1)证明：由题可知， 1 ⊥平面 ，
∴ 1 ⊥ ，连接 ，∵四边形 为正方形，
∴ ⊥ ，又 1 ∩ = ，
∴ ⊥平面 1 ，又 1 平面 1 ，
∴ ⊥ 1 ；
(2)解：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
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设 = 1， (0,1, )，0 2，
则 (0,0,0), 1(1,0,2), (1,1,0), = (0,1, ), 1 = ( 1,1, 2)，
易知 = (0,0,1)是平面 的一个法向量，
因为 1 ⊥平面 ，所以 1 = 1 + ( 2) = 0，解得 = 1，
所以平面 的一个法向量为 1 = ( 1,1, 1)，
1 √ 3
|cos , 1 | = = ， √ 3 3
所以平面 与平面 夹角的余弦值为√ 3．
3
21.【答案】(1)解：设双曲线右焦点为 ( , 0)，一条渐近线方程为 = 0，

所以右焦点到渐近线的距离为 = = 1，
√ 2 2+
2
√ 42
因为离心率 = = √ 1 + 2 = ，所以 = √ 6， = √ 7， 6
2
故双曲线 的方程为 2 = 1．
6
√ 6 √ 6
(2)证明：双曲线的渐近线为 = , = ，
6 6
①当直线 的斜率不存在时， 的方程为 = ±√ 6，
1
此时| | = 2, △ = × 2 × √ 6 = √ 6； 2
√ 6
②当直线 的斜率存在时，不妨设 ： = + ，且 ≠ ± ，
6
= +
联立{ 2 2 ，消 得(1 6
2) 2 12 6 2 6 = 0，
= 1
6
由 = 144 2 2 + 4(1 6 2)(6 2 + 6) = 0，得6 2 = 2 + 1，
= +
√ 6
联立{ √ 6 ，得 = ，
= 1 √ 6
6
√ 6 √ 6
不妨设 与 = , = 的交点分别为 ， ，
6 6
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√ 6 √ 6
则 = ，同理可得 = ， 1 √ 6 1+√ 6
2
2√ 6| | √ +1
所以| | = √ 1 + 2| | = 2 ，
|1 6 |
| | 1 √ 6 2
因为原点 到 的距离 = ，所以 △ = | | = 2 ， 2
√ 2 |1 6 | +1
因为6 2 = 2 + 1，所以 △ = √ 6，
故△ 的面积为定值√ 6．
22.【答案】解：(1)由题意，令 = 1，可得( 1 + 3) 1 = 2 + 1 = 2 1 + 2，
化简整理，得 = 22 1 + 1，①
令 = 2，可得( 1 + 3) 2 = 2 + 2 = 2 1 + 2 2，
化简整理，得( 1 + 1) 2 = 2 1，②
把①代入②，可得( 1 + 1)
2 1 = 2 1，
若 1 = 0，则 2 = 0，
若 1 ≠ 0，则(
2
1 + 1) = 2，
此时 1 = √ 2 1, 2 = 2 √ 2或 1 = √ 2 1, 2 = 2 + √ 2，
综上所述，可得 1 = 0， 2 = 0或 1 = √ 2 1, 2 = 2 √ 2或 1 = √ 2 1, 2 = 2 + √ 2．
(2)由题意 1 > 0及(1)，可知 1 = √ 2 1, 2 = 2 √ 2，
则 2 = 1 + 2 = √ 2 1 + 2 √ 2 = 1，
此时(2 + √ 2) = + 1，
当 ≥ 2时，(2 + √ 2) 1 = 1 + 1，
两式相减，可得(2 + √ 2) (2 + √ 2) 1 = 1 = ，
化简整理，得 = √ 2 1，
∵ 1 = √ 2 1，
∴ = (√ 2 1) (√ 2)
1， ∈ ，
100 1 100 (√ 2 1)令 = lg ，则 = lg 1 (√ 2 1) (√ 2)
100
= lg 1
(√ 2)
= 2 lg(√ 2) 1
1
= 2 ( 1) 2
2
1 10000
= lg 1 ， 2 2
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1
∴数列{ }是首项为2，公差为 2的等差数列， 2
1 625 1 625
∵ 1 > 2 > 3 > > 14 = lg > 0, 15 = lg < 0， 2 512 2 1024
∴当 = 14时， 最大，
14( + ) 13 91
的最大值为 =
1 14
14 = 7(4 2) = 28 2． 2 2 2
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