山东省威海市2023-2024学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

山东省威海市 2023-2024 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = {1,2,3,4,5}， = {1,3}， = {3,5}，则 ( ∩ ) =( )
A. {1,2,4,5} B. {1,5} C. {2,4} D. {2,5}
2.命题“ ∈ ， + √ 2是无理数”的否定是( )
A. ∈ ， + √ 2不是无理数 B. ∈ ， + √ 2是无理数
C. ， + √ 2不是无理数 D. ， + √ 2是无理数
1
3.函数 ( ) = √ 1 ( ) 的定义域为( )
2
A. ( ∞, 0) B. (0,+∞) C. [0,1) D. [0,+∞)
4.已知幂函数 ( ) = ( 2 2 14) 在(0,+∞)上单调递增，则 =( )
A. 3 B. 3 C. 5 D. 5
5.甲、乙两校各有2名教师报名支教，若从报名的4名教师中任选2名，则选出的2名教师来自不同学校的概
率为( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 3 3 4
3 3
6.已知 = ( ) 4， = log53， = log63，则( ) 4
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件 1：红骰子的点数为2， 2：红骰子的点数为3， 3：
两个骰子的点数之和为7， 4：两个骰子的点数之和为9，则( )
A. 1与 2对立 B. 3与 4不互斥 C. 1与 3相互独立 D. 2与 4相互独立
8.已知函数 ( ) = | 1|，若 ( ) = ( )，且 < ，则[ ( )]2 (10 )的最小值为( )
5 9 13
A. 3 B. C. D.
4 4 4
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若“ ≥ 1”是“ > ”的充分不必要条件，则实数 的值可以为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
10.已知甲、乙两组数的茎叶图如图所示，则( )
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A. 甲组数的极差小于乙组数的极差 B. 甲组数的中位数小于乙组数的中位数
C. 甲组数的平均数大于乙组数的平均数 D. 甲组数的方差大于乙组数的方差
11.已知 > 0， > 0， + = 1，则( )
1 1 4
A. 的最大值为 B. + 的最小值为9
2
2 2 1 1 3 C. + 的最小值为 D. + 的最小值为6
2
12.若函数 ( )是定义在 上的奇函数，且满足 ( ) = (4 )，当 ∈ [ 2,0)时， ( ) = 2，则( )
A. (8) = 0
B. ( )在[ 6, 2]上单调递增
C. ( ) = ( 4)
D. ( ) = 1在[ 6,6]上的实数根之和为0
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.数据87，89，90，91，91，92，93，94的第80%分位数是______．

14.已知10 = 2，10 = 3，则2 = ______．
15.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，在[0,+∞)上单调递增，且 ( 2) = 0，则不等式 (log3 ) < 0的解
集为______．
4
+ , < 0,
16.已知函数 ( ) = { 若对 ∈ [ 1,+∞)， ( ) ≤ | |恒成立，则实数 的取值范围为
2 + 2 , ≥ 0.
______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合 = { | < < 2 + 1}，集合 = { |1 < < 5}．
(1)当 = 3时，求 ∪ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
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18.(本小题12分)
已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，当 < 0时， ( ) = log2( )．
(1)求 ( )在 上的解析式；
(2)解方程[ ( )]2 + 3 4 = 1．
19.(本小题12分)
为宣传第19届杭州亚运会，弘扬体育拼搏精神，某学校组织全体学生参加了一次亚运会知识竞赛，竞赛满
分为100分.从全体学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，并将这100名学生的成绩按照
[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中 的值，并估计该学校这次竞赛成绩的众数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)已知落在[60,70)的学生成绩的平均数 21 = 67，方差 1 = 3，落在[70,80)的学生成绩的平均数 2 = 72，

方差 22 = 8，求落在[60,80)的学生成绩的平均数 和方差
2；
(3)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全体学生中随机抽取3名学生，求这3名学生中恰有2人
成绩不低于80分的概率．
20.(本小题12分)
某科研团队在某地区种植一定面积的藤蔓植物进行研究，发现其蔓延速度越来越快.已知经过2个月其覆盖面
积为18 2，经过4个月其覆盖面积为40.5 2现该植物覆盖面积 (单位： 2)与经过时间 ( ∈ )个月的关系
有函数模型 = √ + ( > 0, > 0)与 = ( > 0, > 1)可供选择. (参考数据：√ 2 ≈ 1.41，√ 3 ≈ 1.73，
2 ≈ 0.30， 3 ≈ 0.48. )
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过几个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的15倍．
21.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 2 + 3， ∈ [0,1].记 ( )为 ( )的最小值．
(1)求 ( )；
(2)设 < 0，若关于 的方程 ( ) + 2 + = 0在(0,1)上有且只有一解，求实数 的取值范围．
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22.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 2 ．
(1)判断 ( )的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)若对 ∈ [1,2]，都有 (2 ) ( ) ≥ 0成立，求实数 的取值范围；
(3)是否存在正实数 ，使得 ( )在[ , ]上的取值范围是[ 2 , 2 ]？若存在，求 的取值范围；若
不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】93
14.【答案】3
1
15.【答案】( , 9)
9
1
16.【答案】[ , 5]
4
17.【答案】解：(1)当 = 3时，集合 = { |3 < < 10}，所以 ∪ = { |1 < < 10}；
(2)若 ∩ = ，则 ，
1 3
因为 2 + 1 = ( )2 + > 0，所以 ≠ ，
2 4
≥ 1
由 ，可得{ 2 ，解得1 ≤ ≤ 2，即实数 的取值范围为[1,2]． + 1 ≤ 5
18.【答案】解：(1)因为 ( )是奇函数，
①当 = 0时， (0) = 0，
②当 > 0时， < 0， ( ) = log2 = ( )，
所以 ( ) = ，
2( ), < 0
所以 ( ) = {0, = 0 ；
2 , > 0
(2)由题意知， > 0，
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2 2 3 2 得[ ( )] + 3 4 = ( 2 ) + = 1， 2
2 3 令log2 = ，则 + 1 = 0，即2
2 + 3 2 = 0，
2
1
解得 = 或 = 2，
2
1
即 2 = 或log2 = 2， 2
1
解得 = √ 2或 = ．
4
1 (0.1+0.15+0.2+0.25)
19.【答案】解：(1)由题意知， = = 0.030，
10
估计该学校这次竞赛成绩的众数为75．
(2)因为落在[60,70)与[70,80)的人数比为0.02：0.03 = 2：3，

2
所以 = 1
+3 2 2×67+3×72= = 70，
5 5
2 2 2
2 2[ 1+( 1 ) ]+3[
2
2+( 2 ) ]
2 2
2[3+(67 70) ]+3[8+(72 70) ]
= = = 12．
5 5
(3)由题意知，每名学生成绩不低于80分的概率为0.4，
则3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率 = 0.42 × (1 0.4) + 0.42 × (1 0.4) + 0.42 × (1 0.4) =
3 × 0.42 × (1 0.4) = 0.288．
20.【答案】解：(1)因为 = ( > 0, > 1)的增长速度越来越快， = √ + ( > 0, > 0)的增长速
度越来越慢，
2 = 18
所以依题意应选择 = ( > 0, > 1)，由题意知{ 81，
4 = 40.5 =
2
3
3
所以{ = 2，所以 = 8 ( ) , ∈ ；
2
= 8
(2)当 = 0时， = 8，
所以藤蔓植物原先种植面积为8 2，
设经过 个月藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的15倍，
3
所以8 ( ) > 8 × 15，
2
3
可得 > 15，
2
15 3+ 5 1+ 3 2 1
所以 > 3 = = = + 1
lg 3 2 3 2 3 2
2
1
≈ + 1 ≈ 6.56，
0.48 0.30
所以至少经过7个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的15倍．
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21.【答案】解：(1)由题意， ( )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 = ，
①当 ≤ 0时， ( )在[0,1]上单调递增，此时 ( )的最小值为 (0) = 3；
②当0 < < 1时， ( )在[0, ]上单调递减，在[ , 1]上单调递增，
此时 ( )的最小值为 ( ) = 3 2；
③当 ≥ 1时， ( )在[0,1]上单调递减，此时 ( )的最小值为 (1) = 4 2 ．
4 2 , ≥ 1
综上所述， ( ) = {3 2, 0 < < 1；
3, ≤ 0
(2)由第(1)问，可知 ( ) = 3 2，方程 ( ) + 2 + = 0，即 (3 2) + 2 + = 0，整理得 2 3 =
2 ，
所以关于 的方程 ( ) + 2 + = 0在(0,1)上有且只有一解，
等价于 1( ) =
2 3 与 2( ) = 2
的图象在(0,1)上有且只有一个交点，
1
因为 < 0， 1( )的图象开口向下，对称轴为 = < 0，所以 ( )在(0,1)上单调递减， 2 1
又因为 2( )在(0,1)上单调递增，
3 > 1 3 1
所以 1(0) > 2(0)且 1(1) < 2(1)，{ ，解得 < < ． 1 3 < 2 2 3
3 1
因此，若关于 的方程 ( ) + 2 + = 0在(0,1)上有且只有一解， 的取值范围为( , )．
2 3
22.【答案】解：(1) ( )在 上单调递增，证明如下：
任取 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，
1 1
那么 ( ) ( ) = (2 1 2 1) (2 2 2 21 2 ) = 2
1 2 2 + ， 2 1 2 2
1 1 1
= 2 1 2 2 + = (2 1 2 2)(1 + )， 2 2 2 1 2 1+ 2
1
因为 1 < 2，所以0 < 2
1 < 2 2，可得2 1 2 2 < 0，又1 + > 0，
2 1+ 2
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在 上单调递增．
1 1
(2)因为 (2 ) ( ) ≥ 0，所以(22 2 ) (2
) ≥ 0，
2 2

所以(2
1 1 1

2
)(2 + ) (2 2 2
) ≥ 0，
1 1 3
由第(1)问知 ( )在[1,2]上单调递增，所以2 ≥ 2 = > 0， 2 2 2
1 1所以2 + ≥ 0，即 ≤ 2 + 对 ∈ [1,2]恒成立． 2 2
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1
令 = 2 + ，1 ≤ ≤ 2，只需 ≤ ， 2
1
令 = 2 ，则 = + ， ∈ [2.4]，

1
因为 = + 在[2,4]上单调递增，

1 5 5
所以当 = 2时， = 2+ = ，所以{ | ≤ }. 2 2 2
(3)由第(1)问知， ( )在[ , ]上单调递增，
1 ( ) = 2 = 2
所以{ 2 ，
1
( ) = 2 = 2 2
1
所以 ， 为方程2 = 2 的两个实数根， 2
1
即方程2 = 2 有两个不等的实数根， 2
令 = 2 > 0，即方程( 1) 2 + 1 = 0有两个不等的正根，
所以 1 ≠ 0即 ≠ 1，
= 2 4( 1) > 0
> 0
且 1 ，解得 > 1且 ≠ 2，
1
> 0 1
{ > 0
所以存在实数 满足题意，{ | > 1且 ≠ 2}．
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