吉林省通化市梅河口第五中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

吉林省通化市梅河口第五中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 = 75°的倾斜角为( )
A. 0° B. 75° C. 90° D. 不存在
2.在长方体 1 1 1 1中，若 = 2 + 3 1，即向量 在基底{ , , 1}下的坐标为
(2,1, 3)，则向量 在基底{ , , 1 }下的坐标为( )
A. ( 1, 3,2) B. (2,1, 3) C. (1,9, 8) D. ( 1, 9,8)
2
3.已知双曲线 2 = 1( > 0)的焦距为6，则该双曲线的渐近线方程为( )

√ 2 √ 2 √ 3 √ 35
A. = ± B. = ± C. = ± D. = ±
2 4 3 35
4.已知向量 ， 是平面 的两个不共线向量，非零向量 是直线 的一个方向向量，则“ ， ， 三个向量共
面”是“ // ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知 是直线 ： 2 + 6 = 0上一动点，过点 作圆 ： 2 + 2 4 = 0的两条切线，切点分别为 、 ，
则四边形 的外接圆的面积的最小值为( )
8 16
A. 5 B. 6 C. D.
5 5
2 2 1
6.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点分别为 1， 2，且| 1 2| = 2，当点 2到渐近线的距离为 2
时，该双曲线的离心率 为( )
√ 3 4 2√ 3
A. B. C. 2 + √ 3 D.
3 3 3
2 2
7.已知点 在椭圆 ： + = 1上运动，圆 ′的圆心为椭圆的右焦点，半径 = 1，过点 引直线 1， 与25 16 2
圆 ′相切，切点分别为 ， ，则| |的取值范围为( )
3√ 7 3√ 7 4√ 7
A. [√ 2, ) B. [√ 3, ] C. [ , 2) D. [√ 3, 4)
4 4 7
8.在三棱锥 中， ⊥ ， = √ 3， = 1，若 为三棱锥 的外接球直径，且 与
√ 5
所成角的余弦值为 ，则该外接球的表面积为( )
10
A. 8 B. 6 C. 5 D. 16
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 直线 的方向向量 = (0,3, 6)，平面 的法向量 = (1,2,1)，则 ⊥
C. 已知直线 经过点 ( 1,2,1)， (0,1,1)，则 (1,2,2)到 的距离为√ 3
D. 若 < 0，则 , 为钝角
10.已知直线 ： (2 + 1) 3 2 = 0，则下列选项正确的是( )
1
A. 当直线 与直线 + + 2 = 0平行时， =
3
B. 当直线 与直线 + + 2 = 0垂直时， = 1
C. 当实数 变化时，直线 恒过点( 1, 2)
D. 直线 和 ， 负半轴构成的三角形面积最小值是4
11.如图，在长方体 1 1 1 1中， = 1 = 5， = 3，点 是平
面 上的动点，满足 1 ⊥ 1 ，( )
A. 在底面 上的轨迹是一条直线
B. 三棱锥 1 1 1的体积是定值
5√ 34
C. 若角 是直线 1 和平面 所成角，则 的最大值是 9
D. 不存在点 ，使得 1 ⊥
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.直线 ： + 4 = 0( ∈ )经过的定点坐标是______．
13.已知某组数据为 ， ，8，10，11.它的平均数为8，方差为6，则 2 + 2的值为______．
14.已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上， 1， 2分别为 的两个焦点，动点 在 上(异于 的左、右顶点
)，△ 1 2的重心为 ，若直线 1与 2的斜率之积为非零常数 ，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
在平面直角坐标系 中，直线 1的倾斜角为45°，且经过点 ( 1,2)．
(1)求 1与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)若直线 2 ⊥ 1，且 到 2的距离为2√ 2，求 2的方程．
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16.(本小题15分)
在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 ⊥平面 ， = = 6， 为线段 的中点， 为
上的一点，且 = 2 ．
(1)求直线 与平面 所成的角的正弦值；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知圆 ： 2 + 2 4 6 + 12 = 0．
(1)若直线 方程为3 + 8 = 0与圆 相交于 、 两点，求| |．
(2)在(1)的前提下，若点 是( + 4)2 + ( 3)2 = 10圆上的点，求△ 面积的最大值．
18.(本小题15分)
2 2 1
如图，已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)过点 (3,1)，焦距为4√ 2，斜率为 的直线 与椭圆 相交于异于 3
点 的 ， 两点，且直线 ， 均不与 轴垂直．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若| | = √ 10，求 的方程；
(3)记直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2，证明： 1 2为定值．
19.(本小题17分)
某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试
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科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选
拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学
1 2 1 1
生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为 ，乙每门合格的概率分别是 ， ， ，甲、乙
2 3 2 4
1 8
面试合格的概率分别是 ， ．
2 11
(1)求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率；
(2)求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(0,4)
13.【答案】65
8
14.【答案】
9
15.【答案】解：(1)直线 1的倾斜角为45°，
则直线 1的斜率是 = 1，
直线 经过点 ( 1,2)，
故直线 的方程为 2 = ( 1)，即 = + 3，
所以直线 与坐标轴交点坐标为(0,3)和( 3,0)，
1 9
则所求三角形面积为： = × 3 × 3 = ，
2 2
(2)直线 2的斜率是 = 1，
| 1+2 |
设其方程为 = + ，所以 = = 2√ 2，得 = 5或 3，
√ 2
所以 2的方程为 = + 5或 = 3．
16.【答案】解：(1)连接 ，∵底面 是正方形，侧棱 ⊥平面 ，
∴以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
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∵ ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，∵ (6,0,0)， (0,6,0)，∴ = ( 6,6,0)，
∴取平面 的法向量为 = ( 1,1,0)，
2
(0,0,6)， = (0, 6,6)，又 = 2 = = (0, 4,4)，
3
∴ (0,2,4)，而 (3,0,0)，∴ = ( 3,2,4)，
记直线 与平面 所成的角为 ，

则 = |cos <
| | 5 5√ 58
, > | = = = ，
| || | √ 2×√ 29 58
∴直线 与平面 所成的角的正弦值为5√ 58．
58
(2)设平面 的法向量为 = ( , , ), (6,6,0), = (3,6,0), = ( 3,2,4)，
∴ {
= 0 3 + 6 = 0，即{ ，
= 0 3 + 2 + 4 = 0
令 = 2，则 = 1， = 2，∴平面 的法向量 = (2, 1,2)，
易知 ⊥平面 ，取平面 的法向量为 = (0,1,0)，
| | 1
记平面 与平面 的夹角为 ，则 = = ，
| || | 3
1
∴平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
3
17.【答案】解：(1)圆 ： 2 + 2 4 6 + 12 = 0，即( 2)2 + ( 3)2 = 1，
所以圆心 (2,3)，半径 = 1，
直线 方程为3 + 8 = 0与圆 相交于 、 两点，
则直线 方程为3 + 8 = 0，
|6+3 8| √ 10
则圆心 到直线 的距离 = = < 1，直线 与圆相交，
10
√ 32+12
3√ 10
所以| | = 2√ 2 2 = 2√ 1 2 = ．
5
(2)圆( + 4)2 + ( 3)2 = 10的圆心( 4,3)，半径√ 10，
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|3×( 4)+3 8| 17√ 10
则点( 4,3)到直线 的距离为 = ，
√ 32
10
+12
17√ 10 27√ 10
所以点 到直线 距离的最大值为 + √ 10 = ，
10 10
1 3√ 10 27√ 10 81
所以△ 面积的最大值为 × × = ．
2 5 10 10
9 1
2 + 2 = 1 = 2 3 √
18.【答案】解：(1)由题意得{ ，解得{ = 2 ，
2 = 4√ 2
2 = 2 + 2 = 2√ 2
2
故椭圆 的方程为
2
+ = 1．
12 4
1
(2)设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 3 2
, 2)，
1
= +
3
联立{ ，消去 得4 2 6 + 9 22 2 36 = 0，
+ = 1
12 4
由 = (6 )2 144( 2 4) > 0，得 4√ 3 4√ 3 < < ，
3 3
则 3 9
2 36
1 + 2 = , 2 1 2 =
．
4
1
| | = √ 1 + √ ( + )2
9 1 2
4 1 2
√ 10 √ 9
2
= (9 2 36)
3 4
√ 10
= √ 16 3 2 = √ 10，
2
解得 = 2或 = 2，
1
当 = 2时，直线 的方程为 = 2；
3
1
当 = 2时，直线 ： = + 2经过点 (3,1)，不符合题意，舍去．
3
1
所以当| | = √ 10时， 的方程为 = 2． 3
(3)证明：直线 ， 均不与 轴垂直，所以 1 ≠ 3， 2 ≠ 3，则 ≠ 0且 ≠ 2，
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1 1
1 1 1 ( 1+ 1)( 所以 2
+ 1)
1 2 =
2 = 3 3
1 3 2 3 ( 1 3)( 2 3)
1 1 2
1 2 ( 1)( 1+ 2)+( 1)
= 9 3
1 2 3( 1+ 2)+9
1 9 2 36 1 3 2
( 1) +( 1) 3 29 4 3 2 6 1= = = ，
9 2 36 3 2
3 +9 9 18 3
4 2
所以 1 2为定值．
1 1
19.【答案】解：(1)因为甲每门合格的概率均为 ，甲面试合格的概率是 ，
2 2
1 1 1 1 1
设 事件为：甲能够代表年级组参加全校的决赛，则 ( ) = [ 2( )2(1 ) + 3( )33 3 ] × = ； 2 2 2 2 4
2 1 1
(2)设 事件为：甲能够代表年级组参加全校的决赛，乙每门合格的概率分别是 ， ， ，乙面试合格的概率
3 2 4
8
是 ，
11
2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 8 1
则 ( ) = [(1 ) × × + × (1 ) × + × × (1 ) + × × ] × = ，
3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 11 3
设 事件为：甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛，
1 1 1 1 5
则 ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = × (1 ) + (1 ) × = ．
4 3 4 3 12
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