江西省多校2024-2025学年高一上学期月考数学试卷（二）（PDF版，含答案）

江西省多校 2024-2025 学年高一上学期月考数学试卷（二）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， 2 + 2 + 1 ≤ 0”的否定为( )
A. ∈ ， 2 + 2 + 1 > 0 B. ∈ ， 2 + 2 + 1 ≤ 0
C. ∈ ， 2 + 2 + 1 ≤ 0 D. ∈ ， 2 + 2 + 1 > 0
2.下列函数中，定义域、值域都与 = ( 2020)2 + 1相同的是( )
+1
A. = B. = ( 2019)2 + 1

C. = |2 1| D. = √ 2 + 1
3.若 ， ， ∈ ， > 0且 > > 0，下列不等式一定成立的是( )
1 1 +1
A. < B. < C. < D. >
+1
(2 1) 1, < 1
4.已知 ( ) = { 是定义在 上的单调函数，则 的取值范围是( )
4 , ≥ 1
1 1 1 1
A. B. [ , ] C. D. [ , )
6 3 6 2
5.已知函数 ( ) = | 2 5 + 6|，则函数 ( )的单调递增区间是( )
5 5 5 5
A. ( ∞, ) B. ( , +∞) C. (2, )和(3, +∞) D. ( ∞, 2)和( , 3)
2 2 2 2
6.若 ( ) = | + 2| + |3 |的最小值是4，则实数 的值为( )
A. 6或 18 B. 6或18 C. 6或18 D. 6或 18

7.若函数 ( ) = ，则下列函数中为奇函数的是( )
+1
A. ( + 1) 2 B. ( 1) 2 C. ( 1) + 2 D. ( + 1) + 2
8.若幂函数 = ( 2 3 + 3) 2的图像不过原点，则 的取值范围为( )
A. 1 ≤ ≤ 2 B. = 1或 = 2 C. = 2 D. = 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知不等式 2 + + > 0的解集是{ |3 < < 4}，则下列结论正确的是( )
A. 不等式 2 + > 0的解集是{ | 4 < < 3}
1 1
B. 不等式 2 + > 0的解集是{ | < < }
3 4
1 1
C. 不等式 2 + > 0的解集是{ | < 或 > }
3 4
D. 不等式 2
1 1
+ + > 0的解集是{ | < < }
4 3
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10.下列命题中正确的是( )
A. 函数 = 9 + 12 4 2在(3, +∞)上单调递减
1
B. 函数 = 在( ∞, 1) ∪ (1, +∞)上是增函数
1
C. 函数 = √ 8 + 2 2在( ∞, 1]上单调递增
D. 已知 ( )是定义在 上的减函数，若 > ，则 ( ) + ( ) < ( ) + ( )
1
11.已知 ( )是定义域为(0, +∞)的单调函数，且对于任意 > 0，均有 ( ( ) ) = 2，则( )

1
A. ( ) = ( ) B. ( ) >

C. ( ) ≥ 3 D. ( 2 + 1) ≥ (2 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 = ( )是 上的奇函数，且当 < 0时， ( ) = 2 1，则当 > 0时 ( ) =______．
13.已知方程2( + 1) 2 + 4 + 3 2 = 0有两个负实根，则实数 的取值范围是______．
2 , ≥ 1,
14.已知函数 ( ) = { 若 1， 2 ∈ ，且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)成立，则实数 的取值 + , < 1.
范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二次函数 ( )满足 (0) = 0，请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面问题．
① ( + 2) = ( + 1) + 2 + 1；②不等式 ( ) < + 4的解集为( 1,4)．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若 ( )在[ 1, ]上的值域为[ 1,3]，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)

已知函数 ( ) = + 的图像经过点 (1,3)， (2,0)．

(1)求函数 ( )的解析式；
(2)判断函数 ( )在(0, +∞)上的单调性并证明；
1
(3)当 ∈ [ , ]时， ( )的最小值为3，求 的值．
2
17.(本小题15分)
2
已知幂函数 = ( ) = 2 +3，其中 ∈ { | 2 < < 2, ∈ }，满足：
(1)是区间(0, +∞)上的增函数；
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(2)对任意的 ∈ ，都有 ( ) + ( ) = 0.求同时满足(1)，(2)的幂函数 ( )的解析式，并求 ∈ [0,3]时 ( )
的值域．
18.(本小题17分)
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为
1
400 2, 0 ≤ ≤ 400
( ) = { 2 ，其中 是仪器的产量(单位：台)；
80000, > 400
(1)将利润 ( )表示为产量 的函数(利润=总收益 总成本)；
(2)当产量 为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
19.(本小题17分)
设函数 ( )是增函数，对于任意 ， ∈ 都有 ( + ) = ( ) + ( )．
(1)证明 ( )是奇函数；
(2)关于 的不等式 ( 2) (2 ) < ( ) (2 )的解集中恰有3个正整数，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 2 + 1
2
13.【答案】[ 2, 1) ∪ ( , 1]
3
1
14.【答案】( ∞, ) ∪ (0, +∞)
2
15.【答案】解：(1)设 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)，
由 (0) = 0得， = 0，所以 ( ) = 2 + ( ≠ 0)，
若选择①：
因为 ( + 2) = ( + 1) + 2 + 1，
所以 ( + 2)2 + ( + 2) = ( + 1)2 + ( + 1) + 2 + 1，化简得2 + 3 + = 2 + 1，
所以2 = 2，3 + = 1，解得 = 1， = 2，
所以 ( )的解析式为 ( ) = 2 2 ．
若选择②：
因为不等式 ( ) < + 4的解集为( 1,4)，
所以不等式 2 + ( 1) 4 < 0的解集为( 1,4)，
所以 > 0，且方程 2 + ( 1) 4 = 0的两根为 1和4，
1 4
所以( 1) + 4 = ，( 1) × 4 = ，解得 = 1， = 2，

所以 ( )的解析式为 ( ) = 2 2 ．
(2)由(1)知，函数 ( ) = 2 2 ，是开口向上，对称轴为 = 1的二次函数，
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且 (1) = 1， ( 1) = 3，
若 ( )在[ 1, ]上的值域为[ 1,3]，则 ≥ 1，
令 2 2 = 3，解得 = 1或 = 3，
由二次函数的图象知， ≤ 3，
综上所述，实数 的取值范围为[1,3]．

16.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = + 的图像经过点 (1,3)， (2,0)，

+ = 3 = 1
故{ ，解得{ ，
2 + = 0 = 4
2
4
故 ( ) = + ；

(2)函数 ( )在(0, +∞)上单调递减；
证明：设 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，
4 4
则 ( 1) ( 2) = 1 + ( 2 + ) 1 2
4( ) +4
= ( 2 ) +
2 1
1 = ( ) ×
1 2 ，
1
2 1
2 1 2
+4
因为 1 22 1 > 0， 1 2 > 0，故( 2 1) × > 0， 1 2
即 ( 1) > ( 2)，故函数 ( )在(0, +∞)上单调递减．
1
(3)由(2)知 ( )在[ , ]是减函数，
2
4
因此 ( ) = ( ) = + = 3，解得 = 1或 = 4，
1
又 > ，所以 = 1．
2
17.【答案】解：∵ ∈ { | 2 < < 2, ∈ }，∴ = 1，0，1．
∵对任意 ∈ ，都有 ( ) + ( ) = 0，即 ( ) = ( )，所以 ( )是奇函数．
当 = 1时， ( ) = 2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当 = 1时， ( ) = 0，条件(1)不满足；
当 = 0时， ( ) = 3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0, +∞)上是增函数．
所以幂函数 ( )的解析式为 ( ) = 3，
所以 ∈ [0,3]时，函数 ( )的值域为[0,27]．
1 1
18.【答案】解：(1)当0 ≤ ≤ 400时， ( ) = 400 2 100 20000 = 2 + 300 20000
2 2
当 > 400时， ( ) = 80000 100 20000 = 60000 100
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1
2 + 300 20000,0 ≤ ≤ 400
所以 ( ) = { 2
60000 100 , > 400
1 1
(2)当0 ≤ ≤ 400时 ( ) = 2 + 300 20000 = ( 300)2 + 25000
2 2
当 = 300时， ( ) = 25000，
当 > 400时， ( ) = 60000 100 < (400) = 20000 < 25000
所以当 = 300时， ( ) = 25000
答：当产量 为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元．
19.【答案】解：(1)证明：∵对于任意 ， ∈ 都有 ( + ) = ( ) + ( )，
令 = = 0，则 (0) = 0；
再令 = ，则 ( ) + ( ) = ( ) = 0，
∴ ( ) = ( )，
∴函数 ( )是奇函数．
(2)不等式可化为 ( 2) + (2 ) < (2 ) + ( )，
即 ( 2 + 2 ) < (2 + )，
又函数 ( )在 上是增函数，即 2 + 2 < 2 + ，
∴ 2 ( + 2) + 2 < 0，即( 2)( ) < 0，
若 < 2，则 < < 2，解集中没有3个正整数；
若 = 2，不等式的解集为空集，也不成立；
若 > 2，则2 < < ，该不等式的解集中恰有3个正整数，
∴ ∈ (5,6]．
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