湖南省永州市蓝山县第一中学2024-2025学年高一上学期质检数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省蓝山县第一中学 2024-2025 学年高一上学期质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = {6, 2}， = { 2 , 2}，且 = ，则实数 的值为( )
A. 2或 3 B. 2 C. 3 D. 2或3
2.已知集合 = { | < 0}， = { | 2 ≥ 1}，则 ∩ =( )
A. { | < 1} B. { | ≤ 1} C. { | > 1} D. { | ≥ 1}
3.设 ： < 5， ： 1 < < 5，则 是 成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设集合 = { | 2 6 < 0}， = { | > }且 ∩ = { |1 < < 3}，则 =( )
A. 1或 2 B. 1 C. 2 D. 3
5.命题：“ ∈ ， 2 + 6 < 0”的否定是( )
A. ， 2 + 6 ≥ 0 B. ∈ ， 2 + 6 ≥ 0
C. ∈ ， 2 + 6 ≥ 0 D. ∈ ， 2 + 6 ≥ 01
6.已知 > > 0，则下列不等式一定成立的是( )
1 1
A. > B. < 2 C. 2 < 2 D. 2 >

1
7.若0 < < ，则√ (1 2 )的最大值是( )
2
1 √ 2 1 √ 2
A. B. C. D.
4 4 2 2
8.不等式 2
1
+ + > 0的解集为{ | < < 3}，则不等式 2 + + > 0的解集为( )
2
1 1
A. { | < 2或 > } B. { | 2 < < }
3 3
1 1
C. { | < < 2} D. { | < 或 > 2}
3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意的实数 ， ， ， ，下列命题错误的有( )
A. 若 > ，则 > B. 若 > ， > ，则 >
1 1
C. 若 2 > 2，则 > D. 若 > ，则 >

10.下列不等式，其中正确的有( )
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A. 2 + 2 ≥ 2 ( , ∈ ) B. 2 + 3 > 2 ( ∈ )
+
C. 2 + 2 ≥ 2( 1) D. √ ≤
2
11.设 为实数，则关于 的不等式( 1)( + 2) > 0的解集可能是( )
1
A. { | < 2} B. { | > 或 < 2}

1 1
C. { | < < 2} D. { | 2 < < }

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知实数 ， 满足 1 ≤ < 2，0 < ≤ 1，则 2 的取值范围是______．
13.不等式 2 + 5 > 6的解集是______．
14.关于 的方程 2 2 + = 0两根在1的两侧，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知全集 是实数集 ，集合 = { | 2 + 12 < 0}，集合 = { | 2 4 + 3 > 0}．
(1)求 ∩ ；
(2)求( ) ∩ ( )．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 2 + ， ( ) < 0的解集为{ | 1 < < }
(Ⅰ)求 ， 的值；
(Ⅱ 为何值时，( + ) 2 + 2( + ) 1 < 0的解集为 ．
17.(本小题15分)
已知 ， 都是正数．
(1)若3 + 2 = 12，求 的最大值；
1 1
(2)若 + 2 = 3，求 + 的最小值．

18.(本小题17分)
某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24
平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，
甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米
300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面嫱的长度均为 米(1 ≤ ≤ 6)，乙工
1800 ( +2)
程队给出的整体报价为 元( > 0)，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果

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报价相同，则选择乙队伍．
(1)若 = 10，问学校该怎样选择；
(2)在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数 的最大值．
19.(本小题17分)
设 = 2 + (1 ) + 2．
(1)若不等式 ≥ 2对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)已知 < 0，解关于 的不等式 2 + (1 ) + 2 < 1．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[ 3,2)
13.【答案】(2,3)
14.【答案】{ | > 1}
15.【答案】解：(1)解不等式 2 + 12 < 0，得 4 < < 3，
所以 = { | 4 < < 3}，
由 2 4 + 3 > 0，解得 > 3或 < 1，所以 = { | > 3或 < 1}，
所以 ∩ = { | 4 < < 1}；
(2)由(1)知， = { | 4 < < 3}， = { | > 3或 < 1}，
所以 = { | ≥ 3或 ≤ 4}， = { |1 ≤ ≤ 3}，
所以( ) ∩ ( ) = {3}．
16【. 答案】解(1) ∵ 2 2 + < 0的解集为{ | 1 < < }. ∴ 1 + = 2， 1 × = ，解得 = 3， = 3．
(2)由(1)可知： = 3，代入得( 3) 2 + 2( 3) 1 < 0，因为其解集为 ，
3 < 0
∴ { ，或 = 3．
△< 0
解得2 < ≤ 3．
故当2 < ≤ 3满足条件．
17.【答案】解：(1) ∵ 3 + 2 = 12，
1 1 3 +2
∴ = · 3 · 2 ≤ × ( )2 = 6，
6 6 2
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当且仅当3 = 2 = 6时，等号成立，
故 的最大值为6；
(2) ∵ + 2 = 3，
2
∴ 1 = + ，
3 3
1 1 1 1 2
∴ + = ( + )( + )
3 3
1 2 2
= + + +
3 3 3 3
2 2√ 2
≥ 1 + 2√ = 1 + ，
3 3 3
2 3√ 2
当且仅当 = ，即 = 3√ 2 3， = 3 时取等号，
3 3 2
2√ 2
∴最小值为1 + ．
3
18.【答案】解：(1)设甲工程队的总造价为 1元，因为荣誉室的左右两面墙的长度均为 米，且长方体底面
积为24平方米，
24
可得底面长方形的另一边长为 米，

24 16
则甲工程队的总造价为： 1 = 2 × 3 × 300 + 3 × × 400 + 12600 = 1800( + ) + 12600， ∈ [1,6]，
16 16
又由 + ≥ 2√ = 8，当且仅当 = 4时，等号成立，

所以( 1) = 1800 × 8 + 12600 = 270000(元)，
1800×10( +2) 2
当 = 10时，设乙工程队的总造价为 2元，则 2 = = 18000(1 + )， ∈ [1,6]，
2
因为函数 = 1 + 在 ∈ [1,6]上为单调递减函数，所以( 2) = 24000(元)，
由27000 > 24000，所以学校选择乙工程队进行建造；
(2)若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为270000 5400 = 21600(元)，
若乙工程队确保自己被选中，则满足( 2) ≤ 21600，
1800 ( +2) 2
又由乙工程队的造价为 2 = = 1800 (1 + )， ∈ [1,6]，
2
由(1)知，当 = 6时，( 2) = 1800 × (1 + ) = 2400 ， 6
由2400 ≤ 21600，解得 ≤ 9，
因为 > 0，所以0 < ≤ 9，
所以实数 的最大值为9．
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19.【答案】解：(1)由 = 2 + (1 ) + 2 ≥ 2对一切实数 恒成立，
即 2 + (1 ) + ≥ 0对一切实数 恒成立，
当 = 0时， ≥ 0，不满足题意；
> 0 1
当 ≠ 0时，则满足{ = (1 )2 4 2 ≤ 0，解得 ≥ ， 3
1
综上所述，实数 的取值范围为[ , +∞)．
3
(2)由不等式 2 + (1 ) + 2 < 1，即( + 1)( 1) < 0，
1
方程( + 1)( 1) = 0的两个根为 1 = , 2 = 1，
①当 = 1时，不等式的解集为( ∞, 1) ∪ (1, +∞)；
1
②当 < 1时，不等式的解集为( ∞, ) ∪ (1,+∞)；

1
③当 1 < < 0时，不等式的解集为( ∞, 1) ( , +∞)．

综上所述，
1
当 ≤ 1时，不等式 2 + (1 ) + 2 < 1的解集为( ∞, ) (1,+∞)；

1
当 1 < < 0时，解集为( ∞, 1) ( , +∞)．

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