福建省三明市五地五校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷（PDF版，含答案）

福建省三明市五地五校 2023-2024 学年高一下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2+
1.已知复数 满足 = ，则 在复平面内对应的点所在的象限为( )
1
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列说法中正确的是( )
A. 直四棱柱是长方体
B. 棱锥的侧面只能是三角形
C. 通过圆台侧面一点，有无数条母线
D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体为圆锥
3.已知向量 = ( , 3)， = (3, 1)，且 ⊥ ，则 等于( )
A. 1 B. 9 C. 9 D. 1

4.设△ 的内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，若 = 3， = √ 3， = ，则 =( )
3
5 5 2
A. B. C. 或 D.
6 6 6 6 3
5.四边形 直观图为如图矩形 1 1 1 1，其中 1 1 = 3， 1 1 = 1，则四边
形 的周长为( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
6.如图，在矩形 中， = 2 ， ， 分别为 ， 的中点， 为 的中点，则 =( )
2 1 1 2 3 3 2 2
A. + B. + C. + D. +
3 3 3 3 4 4 3 3
7.河水的流速为2 / ，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10 / 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为
( )
A. 10 / B. 2√ 26 / C. 4√ 6 / D. 12 /
8.若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，
例如向量 = (1,3)， = ( 3, 1)，即为“等模整向量”，那么模为√ 5的“等模整向量”有( )
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A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 12个
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ 中，下列命题正确的是( )
A. + + = 0
B. 若( + ) ( ) = 0，则△ 为等腰三角形
1 1
C. 若 = + ，则点 是边 的中点
2 2
D. 若 = 2 ，则点 在边 的延长线上
10.下列是关于互不相同的直线 ， ， 和平面 ， 的四个命题，其中错误的命题是( )
A. ， ∩ = ，点 ，则 与 是异面直线
B. ， ，则 与 是异面直线
C. ∩ = ， ， ，且 ∩ = ，则 ∈
D. ， ，则“ 与 相交”与“ 与 相交”等价
11.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2 相等，则下列结论正确的是( )
3
A. 圆锥的侧面积为2 2 B. 圆柱与球的表面积之比为
2
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在复数范围内，方程 2 + 2 + 3 = 0的根为______．
13.在平面直角坐标系 中，已知点 ( 1,2)， (1,1)， ( 3,1).则 的中点坐标为______；当实数 =
______时，( + )// ．
14.如图所示，为了测量 、 处岛屿的距离，小明在 处观测， 、 分别
在 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至 处，观
测 在 处的正北方向， 在 处的北偏西60°方向，则 、 两处岛屿的距离
为______海里．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数 = 1 + ( ∈ )， 为虚数单位．
(1)若 是纯虚数，求 ；

(2)若| | = √ 5，求 ；
(3)在(1)的条件下，复数 满足| | = 1，写出复数 在复平面上对应点的轨迹．
16.(本小题15分)
2
已知向量 与 的夹角 = ，且| | = 3，| | = 2．
3
(1)求 ，| + |， 在 上的投影；
(2)求向量 与 + 夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且2 + = 2 ．
(1)求角 的大小；
(2) 在边 上，
( )若 是边 的中点， = 1， = √ 3，求 ；
1
( )若 = 8， = 2, cos∠ = ，求 ．
7
18.(本小题17分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 1，∠ = 90°．
(1)求该直三棱柱的表面积 与体积 ．
(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱．
( )这样的大棱柱有几种拼法？在原图基础上画出其中两种拼后的简图(不需要用斜二测画)；
( )这几种拼法中大棱柱表面积最大时，求此大棱柱的外接球的体积．
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19.(本小题17分)
古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大发现：任
意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸
四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形 中，

(1)若 = √ 2， = 1，∠ = ， = (图1)，求线段 长度的最大值；
2
(2)若 = 2， = 6， = = 4(图2)，求四边形 面积取得最大值时，角 的大小，并求出四边
形 面积的最大值. (提示：圆内接四边形对角互补)
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 1 ± √ 2
3
13.【答案】(0, ) 3
2
14.【答案】20√ 6
15.【答案】解：(1)复数 = 1 + ( ∈ )，
若 为纯虚数，
1 = 0
则{ ，解得 = 1；
≠ 0
(2)| | = √ 5，
则√ ( 1)2 + 2 = √ 5，解得 = 2或 = 1，

当 = 2时， = 1 + 2 ， = 1 2 ，

当 = 1时， = 2 ， = 2 + ；
(3)由(1)可知， = ，
故| | = 1，即| | = 1，
故复数 在复平面上对应点的轨迹为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．
2
16.【答案】解：(1)已知向量 与 的夹角 = ，且| | = 3，| | = 2，
3
2 1
则 = | | | |cos = 3 × 2 × ( ) = 3，
3 2
2 2
| + | = √ + 2 + = √ 9 6 + 4 = √ 7，
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3
在 上的投影为 = = 1；
| | 3
2
(2)由已知可得 ( + ) = + = 9 3 = 6，
设向量 与 + 夹角为 ，
( + ) 6 2√ 7
则 = = = ，
| | | + | 3×√ 7 7
2√ 7
即向量 与 + 夹角的余弦值为 ．
7
17.【答案】解：(1)因为2 + = 2 ，由正弦定理得2 + = 2 ，
又 = sin( + )，
∴ 2 + = 2 ( + ) = 2 + 2 ，
∴ = 2 ，
∵ ≠ 0，
1
∴ = ，
2
又 ∈ (0, )，

∴ = ；
3
(2)( )由(1)在△ 中，由余弦定理有 2 + 2 2 ∠ = 2，
1
∵ = 1， = √ 3， 是边 的中点， = ，整理得： 2 2 8 = 0，解得 = 2(舍去)或 = 4，
2
∴ = √ 2 + 2 2 60° = √ 13；
1 1
( )由cos∠ = ，∠ + ∠ = ，cos∠ = ，
7 7
1 4√ 3
∴ sin∠ = √ 1 = ，
49 7

在△ 中由正弦定理可得 = ，又 = 8，∠ = ，
sin∠ sin∠ 3
∴ = 7，
1
在△ 中由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ∠ = 72 + 22 2 × 7 × 2 × = 492，即
7
= 7．
1
18.【答案】解：(1) 表 = 2 × × 1 × 1 + 1 × (1 + 1 + √ 2) = 3 + √ 2， 2
1 1
△ = × 1 × 1 = ， 2 2
1 1
= △ = × 1 × 1 = ． 2 2
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(2)( )4种．
组合1：
组合2：
组合3：
组合4：
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以上选两种即可．
1 1
( )由题得 △ = × 1 × 1 = ，在所有的拼法中组合1重合的面的面积最小， 2 2
则组合1大柱体的表面积最大，
此时外接球直径2 = 1 = √ 1 + 1 + 2
2 = √ 6，
解得 √ 6 = ，
2
4
所以 = 3 = √ 6 ．
3

19.【答案】解：(1) = √ 2， = 1，∠ = ， = ， 2
可得 = √ 2 ，
由题意可得 × + × ≥ × ，
即 × + × √ 2 ≥ × ，
即√ 2 + √ 2 ≥ ，
即 的最大值为2√ 2；
(2)如图2，连接 ，因为四点共圆时四边形的面积最大， = 2， = 6， = = 4，
所以 + = ，即 = ， = ，
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 = 4 + 16 2 × 2 × 4 = 20
16 ，①
在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 = 36 + 16 + 2 × 6 ×
4 = 52 + 48 ，②
由①②可得20 16 = 52 + 48 ，
1
解得 = ，而 ∈ (0, )，
2
2
可得 = ，
3
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√ 3
所以 = = ，
2
此时 1 1 1 √ 3 1 = △ + △ = × × × + × × = × 2 × 4 × + × 6 × 4 ×2 2 2 2 2
√ 3
= 8√ 3．
2
2
所以 = 时，四边形 面积取得最大值，且最大值为8 3．
3 √
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