江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高二上学期学情检测数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省徐州市第一中学 2024-2025 学年高二上学期学情检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若两条不同的直线 1：(2 4) 2 2 = 0与直线 2：3 + ( + 2) + 1 = 0平行，则 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 0
2.若方程 2 + 2 + 4 2 + 4 2 = 0表示一个圆，则实数 的取值范围是( )
A. < 1 B. < 1 C. > 1 D. ≥ 1
1 1 1
3.已知数列{ }的前4项为：1， ， ， ，则数列{ 2 3 4
}的通项公式可能( )
+1
1 1 ( 1) ( 1)
A. = B. = C. = D. =
4.若方程 + = √ 4 2有两个实数解，则实数 的取值范围为( )
A. [ 2,2√ 2] B. (0,2√ 2] C. ( 2√ 2, 2√ 2) D. [2,2√ 2)
5.设{ }是公差不为0的无穷等差数列，则“{ }为递减数列”是“存在正整数 0，当 > 0时， < 0”
的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心(三边中垂线的交点
)、重心(三边中线的交点)、垂心(三边高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心
距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ 的顶点为 (0,0)， (5,0)， (2,4)，则该
三角形的欧拉线方程为( )
A. + 2 5 = 0 B. 2 5 = 0 C. 2 + 10 = 0 D. 2 10 = 0
7.已知点 在抛物线 ： 2 = 4 上，过点 作圆 ：( 2)2 + 2 = 1的切线，若切线长为2√ 7，则点 到 的
准线的距离为( )
A. 5 B. √ 29 C. 6 D. √ 30
2 2
8.如图，已知 1， 2是双曲线 ： 2 2 = 1的左、右焦点， ， 为双曲线 上
两点，满足 1 // 2 ，且| 2 | = 2| 2 | = 5| 1 |，则双曲线 的离心率为( )
(
√ 29
A.
2
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√ 29
B.
3
√ 19
C.
2
√ 19
D.
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若圆 2 + 2 2 + 4 20 = 0上有四个不同的点到直线 ：4 + 3 + = 0的距离为2，则实数 的取值
可能是( )
A. 13 B. 13 C. 15 D. 18
10.加斯帕尔 蒙日(图1)是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互
相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(图2).已知长方形 的
2 2
四边均与椭圆 ： + = 1相切，则下列说法正确的是( )
6 3
√ 2
A. 椭圆 的离心率为 = B. 椭圆 的蒙日圆方程为 2 + 2 = 6
2
C. 椭圆 的蒙日圆方程为 2 + 2 = 9 D. 长方形 的面积最大值为18
11.在平面直角坐标系 中，已知点 是抛物线 ： 2 = 4 的焦点，点 是 上异于原点 的动点，过点 且
与 相切的直线 与 轴交于点 ，设抛物线 的准线为 ， ⊥ ， 为垂足，则( )
A. 当点 的坐标为(2,1)时，直线 的方程为 1 = 0
B. 设 (2,2)，则 + 的最小值为4
C. | |2 = 4| | | |
D. ∠ = 2∠
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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2 2
12.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线方程为 + 2 = 0，则双曲线的离心率 的值为______．
13.等差数列{ }中，若2 3 + 9 = 18，则 2 + 3 6的值为______．
2 2
14.如图，椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右顶点为 ，上顶点为 ，直线 ⊥ 且在第一象限交椭圆于
5
点，设 与 的交点为 ，若 = ，则椭圆的离心率为______．
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知△ 的三个顶点是 (1,1)， (3,3)， (4, 1)．
(1)求边 上的中线所在直线的方程；
(2)求△ 的面积．
16.(本小题15分)
已知无穷等差数列{ }，首项 1 = 3，公差 = 5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{ }
(1)求 1和 2；
(2)求{ }的通项公式；
(3){ }中的第110项是{ }中的第几项？
17.(本小题15分)
2 2 √ 2 √ 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，右焦点为 ，点( , )在 上． 2 2 2
(1)求 的方程；
(2)已知 为坐标原点，点 在直线 ： = + ( ≠ 0)上，若直线 与 相切，且 ⊥ ，求| |的值．
18.(本小题15分)
2 2 √ 5
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为 ，且经过点 (2√ 2, 1)． 2
(1)求 的方程；
(2)过原点 的直线与 交于 ， 两点(异于点 )，记直线 和直线 的斜率分别为 ， ，证明：
的值为定值；
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(3)过双曲线 上不同的两点 ， 分别作双曲线 的切线，若两条切线相交于点 ( , )，且 = 0，
求| |的最大值．
19.(本小题17分)
已知点 是抛物线 1：
2 = 4 的准线上任意一点，过点 作抛物线 1的两条切线 、 ，其中 、 为切点．
(1)写出抛物线 1焦点及准线方程；
(2)求弦 长的最小值；
2 2
(3)若直线 交椭圆 2： + = 1于 、 两点， 1、 2分别是△ 、△ 的面积，求
1的最小值．
5 4 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 5
12.【答案】
2
13.【答案】24
1
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1) ∵ (1,1)， (3,3)，
∴ 中点为(2,2)，
2 ( 1) 3
所以中线斜率为 = ，
2 4 2
3
所以边 上的中线所在直线的方程为 2 = ( 2)即3 + 2 10 = 0．
2
(2)| | = √ (3 1)2 + (3 1)2 = 2√ 2，
边 所在的直线方程为 = 0，
|4+1| 5√ 2
点 (4, 1)到直线 的距离 = = ，
2
√ 12+12
1 1 5√ 2
所以 △ = | | = × 2√ 2 × = 5． 2 2 2
16.【答案】解：(1)由题意，等差数列{ }的通项公式为 = 1 + ( 1) = 8 5 ，
令取出项为 ，则需满足 = 4( 1) + 3， ∈
∴ 1 = 3 = 8 5 × 3 = 7，
2 = 7 = 8 5 × 7 = 27．
(2) ∵取出的序号成等差数列，
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∴所对应的项组成的新数列{ }也为等差数列，且首项为 1 = 7，公差为 ′ = 20，
∴ = 1 + ( 1) ′
= 7+ ( 1) × ( 20) = 13 20 ．
(3) ∵ = 4( 1) + 3， ∈
∴当 = 110时，
= 4 × 109+ 3 = 439项，
∴ { }中的第110项是{ }中的第439项．
√ 2=
2
17.【答案】解：(1)设 ( , 0)，依题意， 1 3
2 + 2 = 1
，
2 4
{ 2 = 2 + 2
2 2
2
解得 = 2， = 1，故椭圆 的方程为 + 2 = 1．
2
(2)如图，依题意 (1,0)，
= +
联立{ 2 2 ，消去 得(2
2 + 1) 2 + 4 + 2 2 2 = 0，
+ = 1
2
因为直线 与椭圆 相切，所以 = 16 2 2 4(2 2 + 1)(2 2 2) = 0，整理得 2 = 2 2 + 1( )，
1 1
因为 ⊥ ，则直线 的斜率为 ，则其方程为 = ( 1)，

1
1 =
= ( 1) 2
联立{ ，解得{ 1+
1 +
，即 ( , )，
= + +
2 2
= 1+ 1+ 2
1+
2 2 2 2 2
2 (1 ) +( + )
2+ + 2+1 ( +1)( 2+1) 2+1
故| | = 2 2 = 2 2 = 2 2 = 2，
(1+ ) (1+ ) (1+ ) 1+
2 2
( ) +1 2 +2将 代入得，
2 = 2 = 2，
1+ 1+
故| | = √ 2．
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2 +
2 = 2
8 1 = 1 2
18.【答案】解：(1)由题可得： = 4 2 2 ，解得：{ 2 ，
= 1
√ 5 = =
{ 2
2
所以双曲线方程为 2 = 1；
4
(2)证明：不妨设 在双曲线的右支， ( 0, 0)，( 0 > 0且 0 ≠ 2√ 2)，
2
则 ( 0, 0)，
0 20 = 1， 4
0 1 0 1所以 = 0 2√ 2 0 2√ 2
2
1 2 1 ( 0 1) 1
= 02 =
4 = ，为定值；
8 0 8
2
0 4
(3)由题，双曲线在 ， 两点处的切线的斜率都存在且不为0，
如图，设 ， 两点处的切线方程为 = 1 + 1， = 2 + 2，
因为 = 0，即两切线垂直，所以 1 2 = 1，
= 1 + 1
联立{ 2 ，化简得：(1 4 22 1)
2 8 1
2
1 4 1 4 = 0， = 1
4
则1 4 21 ≠ 0且 = 64
2
1
2
1 + 4(1 4
2
1)(4
2
1 + 4) = 0，
化简得： 21 = 4
2
1 1，同理可得
2
2 = 4
2
2 1，
= +
又点 在两切线上，所以{ 1 1，
= 2 + 2
所以( 1 )
2 = 4 21 1，(
2 2
2 ) = 4 2 1，
所以 1、 2为关于 的方程(
2 2
) = 4 1的两根，
即( 2 2 2 4) 2 + + 1 = 0的两根，
2+1
所以 2 21 2 = 2
= 1，化简得： + = 3，
4
所以点 的轨迹方程为 2 + 2 = 3，
所以| | = √ 3．
19.【答案】解：(1)由题意得2 = 4，∴ = 2，焦点 (1,0)，准线方程为 = 1；
(2)先证抛物线 2 = 2 在其上一点( 0, 0)处的切线方程为 0 = ( + 0)，证明过程如下：
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由于点( 2 20, 0)在抛物线 = 2 上，则 0 = 2 0，
2 = 2
联立{ ，消去 得 2 2 0 + 2 0 = 0，即
2 2 0 +
2
0 = 0， 0 = ( + 0)
2
所以关于 的方程 2 2 + 2

0 0 = 0有两个相等的实根 = 0，此时 =
0 = 0 2
因此，直线 20 = ( + 0)与抛物线 = 2 相切，且切点为( 0, 0).
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 1, )，则以 为切点的切线方程为 1 = 2( + 1)，同理以 为切点的切线方程
为 2 = 2( + 2)，
1 = 2( 1 + ) 2 2 = 0∵两条切线动过点 ( 1, )，∴ { 1 ，即{ 1 1 ，
2 = 2( 1 + 2) 2 2 2 2 = 0
所以点 、 的坐标满足直线2 2 = 0的方程，所以直线 的方程为2 2 = 0，在直线 的方
程中，令 = 0，可得 = 1，所以，直线 过定点(1,0)；
2 = 4
由题意可知，直线 不与 轴重合，可设直线 的方程为 = + 1，由{ ，
= + 1
得 2 4 4 = 0， = 16( 2 + 1) > 0恒成立，由韦达定理得 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4，
由弦长公式可得| | = √ 1 + 2| | = √ 1 + 21 2 √ ( 1 + 2
2
2) 4 1 2 = 4( + 1)，当 = 0时，弦
长的最小值为4；
1
| | | |
(3)设点 到直线 的距离为 ，则 △ = 2
1
= ，设 ( 3, 3)， ( 4, 4)
△ | | | |
2
2 2
由{ + = 15 4 ，
= + 1
得(4 2 + 5) 2 + 8 16 = 0 = 64 2 + 64(4 2 + 5) = 320( 2 + 1) > 0恒成立．由韦达定理得 3 +
8 16
4 = 2 3 4 = 4 +5 4 2+5
8√ 5( 2+1)
由弦长公式得| | = √ 1 + 2| 3 4| = √ 1 + 2√ ( + )23 4 4 3 4 = 2 ，| | =4 +5
| | 4( 2+1) 4 2+5
√ 1 + 2| 1 2| = √ 1 + 2√ ( 2
2 △
1 + 2) 4 1 2 = 4( + 1)，∴ = = = △ | | 8√ 5( 2+1) 2√ 5
4 2+5
2√ 5 √ 5 √ 5 √ 5
= 2 + ≥ ，当且仅当 = 0时，等号成立，因此， 1的最小值为 ．
5 2 2 2 2
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