2023-2024学年山东省济宁市高二（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省济宁市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有种．
A. B. C. D.
3.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知道试题中有道语文题和道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为( )
A. B. C. D.
5.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若事件，互斥，，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量的分布列为
则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列关于组合数的等式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数是定义在上的偶函数，为函数的导函数，若，且对任意，恒成立，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. 在上单调递减 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在篮球比赛中，罚球命中一次得分，不中得分若篮球运动员甲罚球命中的概率为，则篮球运动员甲罚球一次得分的均值是______．
13.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______．
14.年月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：
本题共小题，每小题分，满分分；
每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得分，有选错的得分；
部分选对得部分分若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得分，漏选两个正确选项得分已知在某次新结构数学试题的考试中，某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，这位同学的多选题所有可能总得分相同总分只记录一次共有种情况，则除以的余数是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，二项式展开式中第项与第项的二项式系数相等，且展开式中的常数项是．
求展开式的第项；
设展开式中的所有项的系数之和为，所有项的二项式系数之和为，求．
16.本小题分
某家庭进行摸球得压岁钱游戏规则如下：袋中有大小相同的个红球，个蓝球，每次从袋中摸出个球，若摸到个红球就没有压岁钱；若摸到个红球就得压岁钱元；若摸到个红球就得压岁钱元．
求摸球一次，摸到红球个数的分布列；
求摸球一次，得到的压岁钱的均值．
17.本小题分
已知函数在点处的切线与直线平行．
求的值；
求的极值．
18.本小题分
某公司员工小新每天早上按时上班的出行方式有三种：自驾、坐公交车和骑共享单车，假设他选择这三种出行方式的概率都相等，且选择自驾、坐公交车和骑共享单车迟到的概率分别为，根据以往小新上班迟到的统计数据可知：小新选择自驾上班会迟到分钟，选择坐公交车上班会迟到分钟，选择骑共享单车上班会迟到分钟．
求小新每天早上上班迟到的概率；
某一天小新上班迟到了，他打算从第二天早上开始提前几分钟上班若当小新提前上班的时间单位：分钟大于小新上班迟到时间单位：分钟的数学期望时，对解决小新早上上班迟到问题有帮助，求小新至少提前几分钟取整数上班，才有助于改善小新早上上班迟到问题？
19.本小题分
定义运算，已知函数．
讨论函数的单调性；
若，，成立，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为二项式展开式中第项与第项的二项式系数相等，
所以，即，
所以二项式的通项为，
令，即，
所以展开式中的常数项是，
又，所以解得，
所以展开式的第项为；
由可知，二项式为，
令得，展开式中的所有项的系数之和，
又因为所有项的二项式系数之和，
所以．
16.解：由题可知，的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
由题意得：摸球一次得到的压岁钱，
由，
所以，
故摸球一次得到的压岁钱的数学期望为元．
17.解：因为，
所以，
因为直线的斜率为，
函数在处的切线与直线平行，
所以，解得；
由得，，
，
令，解得或，
当变化时，，的变化情况如下表所示：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
因此，当时，有极大值，极大值为，
当时，有极小值，极小值为．
18.解：设事件“小新每天早上上班迟到”，“小新驾车上班”，
“小新坐公交车上班”，“小新骑共享单车上班”，
则，，两两互斥，
根据题意：，
，
则
；
由题意知：的所有可能的取值为，，，
则，
，
，
所以的分布列为：
则，又，
所以小新每天至少提前分钟出家门，才有助于小新早上上班．
19.解：由题意知：，
，
当时，在恒成立，所以函数在单调递减．
当时，由，解得，由，解得，
所以函数在单调递增，在单调递减．
综上：当时，函数在单调递减．
当时，函数在单调递增，在单调递减；
由，得，
所以，
令，则，即，
设，
，
由解得，由，解得．
所以函数在单调递减，在单调递增．所以，
所以不等式的解集是．
可知：有解，即有解，两边取自然对数得：，所以有解，
设，则，由解得，由解得，
所以函数在单调递增，在单调递减，
所以，所以，解得：，
故的取值范围是．
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