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北师大版九年级上册期末刷透真题专项突破卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
3． 如图，电路连接完好，且各元件工作正常. 随机闭合开关中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．0 B． C． D．
4．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（ ）
A． B． C． D．或
6．如图，中，，，．将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④
7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A．= B．= C．= D．=
8．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
9．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣4）
C．（﹣3，﹣3） D．（﹣4，﹣4）
11．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
12．如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在边上，将纸片沿直线折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，有下列四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段长的取值范围是；④当点H与点A重合时， 2，其中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，P是反比例函数y = 图象上一点，PA⊥x轴于点A，则 ．
14．若关于的一元二次方程有实数解，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是 ．
15．如图，在中，，，，垂足为D，，则长为 ．
16．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ．
17．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 m.
18．如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，.
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）已知，，求四边形AODE的面积.
20．（6分）如图，双曲线上的一点，其中，过点M作轴于点N，连接.
（1）已知的面积是4，求k的值；
（2）将绕点M逆时针旋转得到，且点O的对应点Q恰好落在该双曲线上，求的值.
21．（9分）在中，，点D（与点不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示）．
22．（9分）“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品 件，并补全条形统计图 ；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形周心角的度数为 ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
23．（9分）如图一次函数的图象与坐标轴相交于点和点B，与反比例函数的图象相交于点．
（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交x轴正半轴于点D，若时，求的面积；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使的值最小，若存在请直接写出的最小值，若不存在请说明理由．
24．（9分）某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；
（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；
（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？
25．（9分）矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接AB，将△ABC沿AB折叠得△ABE，AE交y轴于点D，线段OD、OA的长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OD．
（1）请直接写出点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；
（2）点P为直线AB上一点，连接PO、PD，当△POD的周长最小时，求点P的坐标；
（3）点M在x轴上，点N在直线AB上，坐标平面内是否在点Q，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形 若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（9分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．
（1）当QD＝QC时，求∠ABP的正切值；
（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；
（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．
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北师大版九年级上册期末刷透真题专项突破卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】将点P（3，2）代入，
可得：k=3×2=6，
故答案为：D.
【分析】将点P（3，2）代入，再求出k的值即可.
2．一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意知，m的值约为3÷0.3＝10，
故答案为：C.
【分析】用红球的个数除以摸到红球频率的稳定值即可.
3． 如图，电路连接完好，且各元件工作正常. 随机闭合开关中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：把开关分别记为A，B，C
画出树状图
共有6中等可能得结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2中
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为：
故答案为：B
【分析】画出树状图，求出所有等可能得结果，再求出能让两个小灯泡同时发光的结果，再根据简单事件的概率即可求出答案.
4．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 设共有个队参加比赛 ，
则 ： .
故答案为：D.
【分析】共有个队参加比赛 ，每队参加 (x-1)场比赛，所以共进行 x(x-1) 场比赛，列方程即可.
5．若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】【解答】解：一元二次方程的一个根为0，
且，
解得：k=-1.
故答案为：A.
【分析】根据方程的解的定义可得，根据一元二次方程的定义可知，解方程即可得到答案.
6．如图，中，，，．将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④
【答案】D
【解析】【解答】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；
③两三角形虽两边所夹的角不一定相等，故两三角形不一定相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
∴正确的有①②④，
故答案为：D
【分析】根据相似三角形的判定结合题意对①②③④逐一判定即可求解。
7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A．= B．= C．= D．=
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠D，= ，
∴△ABC∽△ADE．
故选C．
【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．
8．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，
所以方程没有实数根．
故选：C．
【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
9．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故答案为：C．
【分析】利用小正方形的边长及勾股定理计算出△ABC的三边长，及四个答案中每个三角形的边长，然后判断出三边是否对应成比例得出答案。
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣4）
C．（﹣3，﹣3） D．（﹣4，﹣4）
【答案】A
【解析】【解答】如图，点P的坐标为（-4，-3）．
故答案为：A．
【分析】延长A1A、B1B和C1C，从而得到P点位置，从而可得到P点坐标．
11．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
【答案】D
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ，
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
12．如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在边上，将纸片沿直线折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，有下列四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段长的取值范围是；④当点H与点A重合时， 2，其中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故①正确；
∵四边形是菱形，
∴，
若平分，
∴，
∴，
∵点C落在上的一点H处，
∴不一定等于30°
∴不一定平分，故②错误；
当点H与点A重合时，有最小值，
设，则，
在中，，
即，解得，
∴，
若落在上时，有最大值，
∴四边形是正方形，
∴，
∴最大值为4，
∴，故③正确；
如图，过点F作于M，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：C.
【分析】根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据菱形判定定理可判断①正确；根据菱形性质及角平分线性质，再根据题意可判断②错误；设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解方程可得，再根据正方形性质可判断③正确；过点F作于M，根据矩形性质，勾股定理可判断④正确；
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，P是反比例函数y = 图象上一点，PA⊥x轴于点A，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵P是反比例函数 图象上一点轴于点A，
由反比例函数的几何意义可得：，
故答案为：.
【分析】根据反比例函数的几何意义，反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即可求解．
14．若关于的一元二次方程有实数解，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是 ．
【答案】-5
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数解，
，且，
解得且，
方程，解得，
，，0，1，2，3．
有正整数解且，
∴，
，，1，2，3．
且，
，1，2．
符合条件的的值的和是．
故答案为：
【分析】根据一元二次方程的判别式并结合“关于的一元二次方程有实数解”可求出a的取值范围，根据分式方程的求解以及结合“关于的分式方程有正整数解”即可确定a的取值，加以计算即可求解。
15．如图，在中，，，，垂足为D，，则长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示
故答案为：
【分析】掌握相似三角形的性质定理并灵活应用求边长；从已知条件入手，可知图中的三个直角三角形都是相似的，可由相似三角形的性质定理对应边成比例求出未知边。
16．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵由图可知，黑色方砖有块，共有块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
【分析】利用几何概率公式求解即可。
17．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 m.
【答案】0.2
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则，
∵AO=6m，AB=1.2m，CO=1m，
∴，
解得：CD=0.2m.
故答案为：0.2.
【分析】由垂直的概念可得∠ABO=∠CDO=90°，证明△ABO∽△CDO，利用相似三角形的性质就可求出CD.
18．如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：作于点，则，
四边形是菱形，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠得，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】作EF⊥BC于点F，根据菱形的性质得BC=CD=AB=2，由BE=CE得BF=CF=1，而∠B=30°，因此BE=2EF，从而得到BF=EF=1，求得EF=，所以BE=CE=2EF=，根据折叠得CD'=CD=2，因为D'E+CE≥CD'，所以D'E+≥2，则D'E≥2-，即可求得D'E的最小值.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，.
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）已知，，求四边形AODE的面积.
【答案】（1）证明：，，
四边形AODE是平行四边形，
在菱形ABCD中，，
，
四边形AODE是矩形；
（2）解：四边形AODE是矩形，
，
四边形ABCD是菱形，
，，
，
，
四边形AODE的面积.
【解析】【分析】（1）利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AODE是平行四边形；利用垂直的定义可证得∠AOD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
（2）利用矩形的性质可求出OA的长，利用菱形的性质及勾股定理可求出OB的长，然后利用矩形的面积公式求出矩形AODE的面积.
20．（6分）如图，双曲线上的一点，其中，过点M作轴于点N，连接.
（1）已知的面积是4，求k的值；
（2）将绕点M逆时针旋转得到，且点O的对应点Q恰好落在该双曲线上，求的值.
【答案】（1）解：双曲线上的一点，过点M作轴于点N，
，，
又的面积是4，
，
，
点在双曲线上，
；
（2）解：如图，延长交x轴于R，
由旋转可得，，
，，，
轴，
，
四边形是矩形，
，
，，，
，
点，都在双曲线上，
，
即，
方程两边同时除以，得
，
解得，
，
.
【解析】【分析】（1）利用已知条件可表示出MN，ON的长，再根据△MON的面积为4，可求出ab的值；再根据点M（a，b）在反比例函数图象上，可得到k的值.
（2）延长PQ交x轴于点R，利用旋转的性质可证得△MON≌△MQP，∠NMP=90°，利用全等三角形的性质可得到MP，PQ的长，同时可证得∠MPQ=90°，即可推出四边形MNRP是矩形，利用矩形的性质可得到∠PRN=90°，可表示出PR，QR，OR的长，由此可得到点Q的坐标，利用点M，Q都在反比例函数图象上，可得到关于a，b的方程，据此可求出a与b的比值.
21．（9分）在中，，点D（与点不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示）．
【答案】（1）解：与位置关系是垂直，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：时，的结论成立，理由如下：
过点A作交于点G，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，过点A作交的延长线于点Q，
①点D在线段上运动时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
在正方形中，，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴，
∴，
∴，，即
∴．
②点D在线段延长线上运动时，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，，
即．
【解析】【分析】 (1)、 正方的性质证得 ， 即可求出 .
(2)、 根据正方形的性质证明 ，再证明垂直.
(3)、①点D在线段上运动时，过点A作交的延长线于点Q， 先把各边用x表示，再根据三角形相似 ， 看i哟个相似比表示出 ．
②点D在线段延长线上运动时， 用x表示出各边，再根据相似比表示出 ．
22．（9分）“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品 件，并补全条形统计图 ；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形周心角的度数为 ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【答案】（1）抽样调查；24；
（2）150°
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率．
【解析】【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调查，
，
所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
B班的作品数为（件），
条形统计图为：
（2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角；
故答案为抽样调查；6；150°；
【分析】（1）利用A班的作品数除以他所占的百分比得出调查的总件数，用总作品数减去其他班级的作品数求出B班的作品数从而补全统计图；
（2）用360度×C班所占的百分比，即可得出C班圆心角的度数；
（3）画出树状图展示所有等可能结果数，找出抽中一男一女的结果数，再根据概率公式求解即可。
23．（9分）如图一次函数的图象与坐标轴相交于点和点B，与反比例函数的图象相交于点．
（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交x轴正半轴于点D，若时，求的面积；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使的值最小，若存在请直接写出的最小值，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象过点，代入解析式得：
解得：，
∴一次函数解析式为：，
点C在直线AB上，，
∴点C（2，6），
∵点C在反比例函数图像上，
∴，
∴；
（2）解：过点C作CE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，
∴CE∥PF，
∴∠ECD=∠FPD，∠AED=∠PFD，
∴△CED∽△PFD，
∴，
∵，
∴CP=2PD，
∴CD=CP+PD=2PD+PD=3PD，
∵EC=6，
∴，
∴PF=2，
∵点P在上，
∴，
解得x=6，
∴点P（6，2），
设CP解析式为：，过C、P两点，代入坐标得：
，
解得，
∴CP解析式为：，
当y3=0时，，
∴点D（8，0）
∴S△OPC=S△DOC-S△POD=；
（3）
【解析】【解答】解：（3）作点C关于y轴对称点C′（-2，6），连结C′P ，
∵CQ=C′Q，
∴，
当C′P交y轴于Q，的值最小，
∴．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明△CED∽△PFD，则，而， 利用S△OPC=S△DOC-S△POD，即可求解；
（3）作点C关于y轴对称点C′（-2，6），连结C′P ，得出，当C′P交y轴于Q，的值最小，利用勾股定理求得结果。
24．（9分）某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；
（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；
（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？
【答案】（1）解：600-5×5
=600-25
=575（棵）
答：每棵橙子树的产量是575棵
（2）解：设应该多种x棵橙子树，依题意有
（100+x）（600-5x）=60375，
解得x1=5，x2=15（不合题意舍去）．
答：应该多种5棵橙子树
（3）解：设增种m棵树，果园橙子的总产量为（100+m）（600-5m）=-5（m-10）2+60500，
故当增种10棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多，最多为60500个
【解析】【分析】（1）先求出多种5棵橙子树，平均每棵树少结橙子的个数，再用600减去平均每棵树少结橙子的个数即为所求；（2）可设应该多种x棵橙子树，根据等量关系：果园橙子的总产量要达到60375个列出方程求解即可；（3）根据题意设增种m棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量，再配方即可求解
25．（9分）矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接AB，将△ABC沿AB折叠得△ABE，AE交y轴于点D，线段OD、OA的长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OD．
（1）请直接写出点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；
（2）点P为直线AB上一点，连接PO、PD，当△POD的周长最小时，求点P的坐标；
（3）点M在x轴上，点N在直线AB上，坐标平面内是否在点Q，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形 若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(-4，0)；(0，3)
（2）解：过D作AB的对称点D1，连接OD1，交AB于点P，此时△POD的周长最小，
∵△ABE是将△ABC沿AB折叠得到的，
∴点D1在AC上，
∵OA=4，OD=3，
∴AD=5，
∴AD1=5，
∴D1(-4，5)，
设直线OD1的解析式为y=kx，
∴5=-4k，
∴k=-，
∴直线OD1的解析式为y=-x，
∵四边形AOBC是矩形，且△ABE是将△ABC沿AB折叠得到的，
∴AC∥OB，∠CAB=∠BAD，
∴∠CAB=∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD=5，则OB=8，
∴B(0，8)，
同理求得直线AB的解析式为y=2x+8，
解方程-x =2x+8，得x=-，
y=，
∴P(-，)；
（3）解： 点Q坐标为：（，）或（8，-16）或（24，16）或（-8，）或（8，-16）．
【解析】【解答】解：（1）x2－7x＋12＝0
解得：x=4或3
∵OD、OA的长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OD
∴OA=4，OD=3
∵点A在x轴负半轴，D在y轴正半轴
∴点A坐标为（-4，0），点D坐标为（0，3）
故答案为：第1空、(-4，0)
第2空、(0，3)
（3）∵B(0，8)，A (-4，0)，
∴AB=4，
当BN为边时，
如图，若四边形BNMQ是正方形，则BN=MN，过点Q作QG⊥x轴于G，过点N作NI⊥x轴于I，
∵∠OAB=∠NAM，∠AOB=∠ANM=90°，
∴△AOB∽△ANM，
∴，即，
∴NM=，AM=，AN=，
∴OM=-4=，
∵AM×IN=AN×MN，
∴IN=，
∵四边形BNMQ是正方形，
∴QM=NM，∠QMN=90°，
∠QMG+∠NMI=90°，
又∵∠QMG+∠MQG=90°，
∴∠MQG=∠IMN，
又∵∠QGM=∠MIN=90°，
∴△QGM≌△MIN，
∴QG=IM=，MG=IN=，
OG=OM+MG=IN=，
点Q（，）；
如图，若四边形BNQM是正方形，
同理，△AOB∽△ABM，
∴，即，
∴AM=20，
∴OM=20-4=，
∴M(16，0)；
同理，点Q（8，-16）；
如图，若四边形BMQN是正方形，
同理可求M(16，0)；点Q（24，16）；
当BN是对角线时，若四边形BMNQ是正方形，过点N作NF⊥x轴于F，
∵四边形BMNQ是正方形，
∴BM=NM，∠BMN=90°，
∠BMO+∠FMN=90°，
又∵∠BMO+∠OBM=90°，
∴∠FMN=∠OBM，
又∵∠NFM=∠MOB=90°，
∴△NFM≌△MOB（AAS），
∴BO=FM=8，OM=NF，
设点M（a，0），
∴OF=8-a，FN=a，
∴点N（a-8，-a），
∵点P在AB上，y=2x+8
∴-a=2（a-8）+8，
∴a=，
∴点M（，0）；
过点Q作QH⊥y轴于H，
同理可证△QBH≌△BMO，
∴QH=BO=8，BH=OM=，
∴HO=，
∴点Q（-8，）；
如图，若四边形BMNQ是正方形，
同理可求点M（-24，0），则点Q（8，-16），
综上所述：满足条件的点Q的个数为5个，点Q坐标为：（，）或（8，-16）或（24，16）或（-8，）或（8，-16）．
【分析】（1）解方程可得OA，OB，再根据坐标轴上点的坐标特征即可求出答案；
（2）过D作AB的对称点D1，连接OD1，交AB于点P，此时△POD的周长最小，根据折叠性质可得D1(-4，5)，设直线OD1的解析式为y=kx，将点D1坐标代入直线方程可得直线OD1的解析式为y=-x，再根据矩形性质及折叠性质可得B(0，8)，同理求得直线AB的解析式为y=2x+8，联立两直线的方程，解方程即可求出答案；
（3）根据勾股定理求出A吧，分情况讨论：
当BN为边时，若四边形BNMQ是正方形，则BN=MN，过点Q作QG⊥x轴于G，过点N作NI⊥x轴于I，根据相似三角形判定定理可得△AOB∽△ANM，再根据其相似比性质可得IN=，根据正方形性质及全等三角形判定定理可得△QGM≌△MIN，则QG=IM=，MG=IN=，由OG=OM+MG=IN=即可求出答案.若四边形BNQM是正方形，同理可得△AOB∽△ABM，根据相似三角形相似比性质即可求出答案.若四边形BMQN是正方形，同理即可求出答案.当BN是对角线时，若四边形BMNQ是正方形，过点N作NF⊥x轴于F，g根据正方形性质及全等三角形判定定理可得△NFM≌△MOB（AAS），则BO=FM=8，OM=NF，设点M（a，0），则OF=8-a，FN=a，可得点N（a-8，-a），根据点P在AB上列出方程，解方程可得点M（，0），过点Q作QH⊥y轴于H，同理可证△QBH≌△BMO，则QH=BO=8，BH=OM=，即可求出答案.若四边形BMNQ是正方形，同理即可求出答案.
26．（9分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．
（1）当QD＝QC时，求∠ABP的正切值；
（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；
（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：延长PQ交BC延长线于点E，设PD=x，∵∠PBC＝∠BPQ，∴EB=EP，∵四边形ABCD是正方形，∴AD//BC，∴PD∶CE= QD∶QC= PQ∶QE，
∵QD＝QC，∴PD＝CE，PQ＝QE，
∴BE＝EP= x+2，∴QP＝ ，
在Rt△PDQ中，∵ ，∴ ，解得 ，
∴ ，∴
（2）解：过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，联结BQ，
∵AD//BC，∴∠CBP＝∠APB，∵∠PBC＝∠BPQ，∴∠APB＝∠HPB，
∵∠A＝∠PHB＝90°，∴BH = AB =2，∵PB = PB，∴Rt△PAB Rt△PHB，
∴AP = PH =x，
∵BC = BH=2，BQ = BQ，∠C＝∠BHQ＝90°，
∴Rt△BHQ Rt△BCQ，∴QH = QC= y，
在Rt△PDQ中，∵ ，∴ ，
∴
（3）解：存在，∠PBQ＝45°．
由（2）可得， ， ，
∴
【解析】【分析】（1）通过“延长PQ交BC延长线于点E”，转化PD＝CE，PQ＝QE，利用勾股定理建立方程 P D 2 + Q D 2 = P Q 2，求出PD，进而求出AP tan ∠ A B P；（2）由“∠PBC＝∠BPQ”可推出PB平分∠APD，可利用角平分线的性质，需做过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，利用勾股定理列出方程， P D 2 + Q D 2 = P Q 2 ，即( 2 x ) 2 + ( 2 y ) 2 = ( x + y ) 2，；（3）利用（2）的结论，可得∠ P B Q = ( ∠ A B H + ∠ H B C ) = × 90 ° = 45 °.
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