【综合题强化训练·50道必刷题】浙教版七年级上册期末数学卷（原卷版 解析版）

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【综合题强化训练·50道必刷题】浙教版七年级上册期末数学卷
1．已知A=2x2-2xy-y2，B=x2-3xy.
（1）化简A-2B的值；
（2）当x=-2，y=1时，求A-2B的值.
2．如图，已知直线与相交于点O，平分.
（1）若，求的度数.
（2）直接写出图中与相等的角：　 　.
3．为了增强体质，小明给自己设定：以每天跑步a千米为基准，超过的部分记为正，不足的部分记为负，手机应用程序统计小明一周跑步情况，记录如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与基准的差/千米 +0.2 +0.8 +0.5 -0.4 -0.8 +1.2 +0.4
小明周六和周日共跑了21.6千米.
（1）求a的值.
（2）小明本周共跑了多少千米？
4．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数，是27的立方根.
（1）求a，b的值及线段的长.
（2）点P在射线上，它在数轴上对应的数为x.
①请用含x的代数式表示线段的长.
②当x取何值时，？
5．放置在水平地面上两个无盖（朝上的面）的长方体纸盒，大小、形状如图.小长方体的长、宽、高分别为：a（cm）、b（cm）、c（cm）；大长方体的长、宽、高分别为：（cm）、（cm）、（cm）.
（1）做这两个纸盒共需要材料多少平分厘米？
（2）做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多多少平分厘米材料
6．甲，乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒定价5元.而甲，乙两店的促销方案不同，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠.该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）.
（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
（2）若购买15盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪一家商店购买？为什么？
7．计算：
（1）
（2）先化简，再求值：，其中．
8．小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用A，B，两种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸．
（1）按B种方法剪裁的有　 　张白板纸；（用含x的代数式表示）
（2）将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？
9．某粮库6天内粮食进、出库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库），，，，，
（1）经过这6天，仓库里的粮食是增加了还是减少了？
（2）经过这6天，仓库管理仍结算时发现库里还存280吨粮，那么6天前仓库里存粮多少吨？
（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少装卸费？
10．如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝54°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
（1）求∠3的度数；
（2）求∠BOD的度数；
（3）OE是∠BOC的平分线吗？为什么？
11．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的.如图所示是该市自来水收费价格见价目表.
价目表
每月用水量 单价
不超出 的部分
超出 但不超出 的部分
超出 的部分
注：水费按月结算.
（1）填空：若某户居民2月份用水 ，则2月份应收水费　 　元；若该户居民3月份用水 ，则3月份应收水费　 　元；
（2）若该户居民4月份用水量 （ 在6至 之间），则应收水费包含两部分，一部分为用水量为 ，水费12元；另外一部分用水量为　 　 ，此部分应收水费　 　元；则4月份总共应收水费　 　元.（用 的整式表示并化简）
（3）若该户居民5月份用水 ，求该户居民5月份共交水费多少元？（用 的整式表示并化简）
12．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买.已知两店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是：买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙两店的优惠条件是：购买10本以上，每本按标价的8折卖.
（1）请写出分别到两个商店购买练习本的代数式；
甲　 　、　 　；乙　 　、　 　.
（2）小明要买20本时，到哪个商店更省钱？
（3）小明要买10本以上时，买多少本时到两个商店付的钱一样多？
13．周末,小明陪爸爸去陶瓷商城购买一些茶壶和茶杯,甲、乙两家商店出售他们看中的同样品牌的茶壶和茶杯,茶壶每把定价都为30元,茶杯每只定价都为5元.这两家商店都有优惠,甲店买一把茶壶赠送茶杯一只;乙店全场九折优惠.小明爸爸需买茶壶5把,茶杯若干只(不少于5只).
（1）设购买茶杯x（x≥5）只,如果在甲店购买,需付款多少元;如果在乙店购买,需付款多少元.(用含x的代数式表示并化简).
（2）当购买15只茶杯时,应在哪家商店购买 为什么
14．已知A= ，B=
（1）求2A-3B；
（2）试比较A、B的大小关系（写出比较过程）.
15．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C重合叠放在一起.
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数；
（3）猜想： 与 有怎样的数量关系，并说明理由.
16．A、B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时走60千米，一列快车从B地出发，每小时走65千米.
（1）两车同时出发相向而行，x小时相遇，可列方程　 　；
（2）两车同时出发相背而行，t小时后两车相距620千米，可列方程　 　；
（3）慢车出发1小时后快车从B地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？
17．用边长为0.5米的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路.
（1）铺第5个图形用白色正方形瓷砖　 　块，黑色正方形瓷砖　 　块；
（2）按照此方式铺下去，铺第 个图形用白色正方形瓷砖　 　块，用黑色正方形瓷砖　 　块（用含 的代数式表示）；
（3）若黑色正方形瓷砖每块价格25元，白色正方形瓷砖每块价格30元，若按照此方式恰好铺满12.5米长的小路，求铺满该段小路所需瓷砖的总费用.
18．一个长方形一边长为 ，另一边长为 .
（1）用含有 的式子表示这个长方形的周长；
（2）若 满足 ，求它的周长.
19．
（1）计算（直接写出结果）： 　 　， 　 　.
（2）一个角的余角比这个角的补角的三分之一多 ，求这个角的大小.
20．如图是一个“数值转换机”的示意图，按下图程序计算.
（1）填写表格；
输入 5 2 …
输出结果 　 　 　 　 　 …
（2）请将图中的计算程序用代数式表示出来，并化简.
21．计算：
已知 .
（1）当 时，求 的值；
（2）求 的最大值.
22．如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）与∠AOE互补的角是　 　．
（2）若∠AOC=72°，求∠DOE的度数；
（3）当∠AOC=x时，请直接写出∠DOE的度数．
23．已知一个由50个偶数排成的数阵，请你观察框内的四个数之间的关系并解答下列问题：在数阵中任意作一个类似图中的框．
（1）设框内左上角的数为x，那么其他三个数分别是：　 　，　 　，　 　
（2）如果框内四个数的和是172，这四个数分别是什么？
（3）框内四个数的和有没有可能是322，为什么？
24．观察下列等式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102…
（1）根据观察得到规律写出：13+23+33+43+53═　 　．
（2）根据观察得到规律写出13+23+33+43+…+1003=　 　．
（3）13+23+33+43+53+…+n3=　 　
25．已知，在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC=60°，直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数为　 　°，∠CON的度数为　 　°；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为　 　°；
（3）请从下列（A），（B）两题中任选一题作答．
我选择：　 　．
（A）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则∠AOD的度数为　 　°；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC　 　∠BON（填“＞”、“=”或“＜”）；
（B）如图4，MN⊥AB，ON在∠AOC的内部，若另一边OM在直线AB的下方，则∠COM+∠AON的度数为　 　°；∠AOM﹣∠CON的度数为　 　°．
26．如图是由边长为1cm的若干个正方形叠加行成的图形，其中第一个图形由1个正方形组成，周长为4cm，第二个图形由4个正方形组成，周长为10cm．第三个图形由9个正方形组成，周长为16cm，依次规律…
（1）第四个图形有　 　个正方形组成，周长为　 　cm．
（2）第n个图形有　 　个正方形组成，周长为　 　cm．
（3）若某图形的周长为58cm，计算该图形由多少个正方形叠加形成．
27．解方程
（1）2x+1=2﹣x
（2）5﹣3（y﹣ ）=3
（3） +1= ．
28．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A方法：剪6个侧面； B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
29．邻居张叔叔星期天准备做两件事：一是到邮局拿某杂志社寄给自己的论文稿费，二是买礼物送爸妈和女友．
（1）邻居张叔叔先到邮局拿论文稿费．国家规定稿费超过一定数额需缴纳所得税，有关规定如下表：
稿费数额 纳税方法
稿费不高于800元 不纳税
稿费高于800元但不高于4000元 应缴纳超过800元的那一部分的14%
稿费高于4000元 应缴纳全部稿费的11%
张叔叔从邮局拿到税后稿费为3380元，问该杂志社给张叔叔的税前论文稿费为多少元？
（2）邻居张叔叔拿到稿费后到商店准备为爸妈买四盒“补雪”牌补品，同时为女友买三瓶相同的“露”牌化妆品．张叔叔对比了甲、乙两家商店这两种商品的标价，发现“补雪”牌补品都是每盒300元，“露”牌化妆品都是每瓶200元．现在两家商店正在搞促销活动，促销办法如下表：
商店 促销办法
甲 全部按标价的九折出售
乙 不打折，但买四盒“补雪”牌补品可以送一瓶“露”牌化妆品
请你帮助邻居张叔叔出个主意，要在这两个店买，应怎样买最省钱？共需多少钱，并写出购买方案．
30．列一元一次方程解应用题
（1）我市为打造浑河绿地公园，现有一段河道整治任务由A、B两工程队完成．A工程队单独整治该河道要16天才能完成；B工程队单独整治该河道要24天才能完成．现在A工程队单独做6天后，B工程队加入合做完成剩下的工程，问A工程队一共做了多少天？
①根据题意，小明、小红两名同学分别列出尚不完整的方程如下：小明：（　　）；小红：（　　）=1．请根据小明、小红两名同学所列的方程思考，并补全空白括号里的内容．小明同学所列不完整的方程中的空白括号里该填 ▲ ，小红同学所列方程中的空白括号里该填 ▲ ．
②求A工程队一共做了多少天？（写出完整的解答过程）
（2）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约为多少？
31．一个两位数的个位上的数是a，十位上的数是b．
（1）列式表示这个两位数；
（2）将这个两位数与它的10倍的和表示出来，这个和是11的倍数吗？为什么？
（3）当时，若将a与b的位置对调，得到的新两位数比原数大18，求此时这个两位数．
32．
（1）如图1，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，经探究发现∠ACB与∠DCE的和不变．证明过程如下：
由题可知∠BCE＝∠ACD＝90°
∴∠ACB＝　 　 +∠BCD．
∴∠ACB＝90°+∠BCD．
∴∠ACB+∠DCE
＝90°+∠BCD+∠DCE
＝90°+∠BCE
∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝　 　．
（2）如图2，若将两个含有60°的三角尺叠放在一起，使60°锐角的顶点A重合，则∠DAB与∠CAE有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系．
33．如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD，其中厘米，最小的正方形的边长为x厘米．
（1）　 　厘米，　 　厘米（用含x的整式分别表示）；
（2）求长方形ABCD的周长（用含x的整式表示），当厘米时，求其值．
34．赵老师在黑板上出了一道解方程的题：＝1﹣，小芳马上举手，要求到黑板上作答，她是这样写的：
4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2），（第一步）
8x﹣4＝1﹣3x﹣6，（第二步）
8x+3x＝1﹣6+4，（第三步）
11x＝﹣1，（第四步）
x＝﹣．（第五步）
老师说：小芳解一元一次方程的一般步骤都知道，但没有掌握好，因此解题时出现了错误．
（1）请你指出小芳从第　 　步开始出现错误；
（2）请你写出正确的解答过程．
35．小刚同学由于粗心，把“A+B看成了“A﹣B”，算出A﹣B的结果为﹣7x2+10x+12，其中B＝4x2﹣5x﹣6.
（1）求A+B的正确结果；
（2）若x＝﹣2，求2A﹣B的值.
36．如图，已知 ， 是 内的一条射线，且 .
（1）求 ， 的度数：
（2）作射线 平分 ，在 内作射线 ，使得 ，求 的度数；
（3）过点 作射线 ，若 ，求 的度数.
37．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为　 　．
38．某住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米），现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计）
（1）求a的值；
（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米；
（3）按市场价格，木地板单价为150元/平方米，地砖单价为200元/平方米，则铺设地面材料总费用是多少元？（用含x的代数式表示）
39．如图，三角板的直角顶点在直线上．
（1）如图1，点在直线的同侧，若，则的度数为　 　；
（2）如图2，点在直线的同侧，若平分平分，求的度数；
（3）如图3，绕点旋转三角板，使点在直线的异侧，当时，求的度数．
40．
（1）在数轴上表示下列各数：、0、、．并用“”把各数连接起来
（2）计算：．
41．（1）解方程
（2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论：
当时，原方程可化为．解得．符合．
当时，原方程可化为．解得．符合．
所以原方程的解为或．
请你类比此法解方程：．
（3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．
42．新定义：若α的度数是β的度数的n倍，则α叫做β的n倍角.
（1）若，请直接写出的3倍角的度数；
（2）如图①，若，请直接写出图中的所有2倍角；
（3）如图②，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数.
43．已知关于x的方程是一元一次方程．
（1）求k的值．
（2）若已知方程与方程的解互为相反数，求m的值．
（3）若已知方程与关于x的方程的解相同，求m的值．
44．如图1所示，爱心农场的一个长、宽、高分别为12分米、8分米、20分米的长方体鱼池内装有高度为9分米的水．某项目化学习小组需要将一长方体基座（足够高）放置在鱼池内．若基座竖直放置在鱼池底部，如图2所示，则池内水面上升3分米．
（1）求基座的底面积；
（2）在安装过程中，先将基座吊起，使得基座的底部与水面齐平，如图3所示，然后将基座以每分钟2分米的速度下降，设下降的时间为t分钟．求当时，水面上升的高度；
（3）在（2）的条件下，求下降过程中，基座的底面把池中水深分成1：2的两部分时t的值
45．如图所示，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）（min）.
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合
（2）当t为何值时，射线OC⊥OD
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线 若存在，请求出所有满足题意的t的取值；若不存在，请说明理由.
46．某景区门票上绘制了简易游览图（如图），从游客中心到观景台有 山路，从观景台到山顶有 山路，圆圆同学从导游口中得知：离观景台 处有一个凉亭，离凉亭 处有一个小卖部．
（1）圆圆同学把这张图中的游览线路抽象成一条数轴，其中游客中心是原点，往山顶方向为正方向， 为1个单位长度，请在数轴上标出小卖部 所有可能的位置，并用数字表示出来．
（2）圆圆同学上山时从游客中心到山顶共用了 小时，下山时从山顶到游客中心的平均速度为 千米/小时，求圆圆同学上山、下山全程的平均速度（用含 和 的代数式表示）．
（3）若凉亭在观景台到山顶的途中，方方同学上午 从游客中心出发匀速上山，于 到达观景台，在观景台停留30分钟后，以同样的速度继续上山，途中又在凉亭休息了15分钟，到山顶游玩了35分钟后下山（下山途中不再停留），为了在下午 准时回到游客中心，方方同学下山的速度比上山的速度快 ，求 的值．
47．两个完全相同的长方形 、 ，如图所示放置在数轴上．
（1）长方形 的面积是　 　．
（2）若点 在线段 上，且 ，求点 在数轴上表示的数．
（3）若长方形 、 分别以每秒1个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动．设两个长方形重叠部分的面积为 ，移动时间为 ．
①整个运动过程中， 的最大值是 ，持续时间是 ．
②当 是长方形 面积一半时，求 的值．
48．数学实践课上，小明同学将直角三角板 的直角顶点 放在直尺 的边缘，将直角三角板绕着顶点 旋转．
（1）若三角板 在 的上方，如图1所示，在旋转过程中，小明发现 的大小发生了变化，但它们的和不变，即 　 　；
（2）若 分别位于 的上方和下方，如图2所示，则 之间的上述关系还成立吗 若不成立，则它们之间有怎样的数量关系 请说明你的理由；
（3）射线 分别是 的角平分线，若三角板 始终在 的上方，则旋转过程中， 的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
49．为庆祝“元旦”，光明学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90人）准备统一购买服装参加比赛.下面是某服装厂给出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套）
每套服装的价格 60元 50元 40元
购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套）
每套服装的价格 60元 50元 40元
（1）如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛；
（2）如果七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案.
50．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为 的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢 请看以下示例：
例：将 化为分数形式.
由于 ，
设
则
得 ，
解得 ，于是得 .
同理可得 ， .
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
（1）　 　， 　 　；
（2）将 化为分数形式，写出推导过程；
（3）试比较 与 的大小： 　 　 （填“ ”，“ ”或“ ”）；
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【综合题强化训练·50道必刷题】浙教版七年级上册期末数学卷
1．已知A=2x2-2xy-y2，B=x2-3xy.
（1）化简A-2B的值；
（2）当x=-2，y=1时，求A-2B的值.
【答案】（1）解：A-2B=2x2-2xy-y2-2(x2-3xy)=2x2-2xy-y2-2x2+6xy
=4xy-y2
（2）解：当x=-2，y=1时，A-2B=4xy-y2=4×(-2)×1-12
=-8-1=-9.
【解析】【分析】（1）先将A，B代入A-2B，再去括号，合并同类项.
（2）将x=-2，y=1代入（1）中化简后的代数式进行计算，可求出结果.
2．如图，已知直线与相交于点O，平分.
（1）若，求的度数.
（2）直接写出图中与相等的角：　 　.
【答案】（1）解：∵，
∴
∴
∵平分
∴
∴
（2）∠COE
【解析】【解答】解：（2）∵，，
∴
∴，
故答案为：∠COE.
【分析】（1）根据对顶角相等得∠BOD的度数，由平角定义求出∠AOD的度数，进而根据角平分线定义求出∠DOE的度数，最后根据∠BOE=∠BOD+∠DOE算出答案；
（2）根据等量加等量和相等，将∠BOD=∠AOC与∠DOE=∠AOE相加结合角的和差可得答案.
3．为了增强体质，小明给自己设定：以每天跑步a千米为基准，超过的部分记为正，不足的部分记为负，手机应用程序统计小明一周跑步情况，记录如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与基准的差/千米 +0.2 +0.8 +0.5 -0.4 -0.8 +1.2 +0.4
小明周六和周日共跑了21.6千米.
（1）求a的值.
（2）小明本周共跑了多少千米？
【答案】（1）解：由题意得：，
解得
（2）解：千米，
答：小明本周共跑了71.9千米.
【解析】【分析】（1）由题意得小明周六跑的路程为：（a+1.2）千米，周日跑的路程为（a+0.4）千米，根据 小明周六和周日共跑了21.6千米列出方程，求解即可；
（2）求出表格记录的各个数据的和，再加上7a即可求出小明本周共跑的总路程.
4．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数，是27的立方根.
（1）求a，b的值及线段的长.
（2）点P在射线上，它在数轴上对应的数为x.
①请用含x的代数式表示线段的长.
②当x取何值时，？
【答案】（1）解：∵是27的立方根，
∴，
则.
∵a，b互为相反数，
∴.
∴
（2）解：①∵点P在射线上，它在数轴上对应的数为x.
∴线段
②当点P在点A右侧时，
∵，
∴，解得.
当点P在点A左侧时，
∵，
∴，解得.
综上，当或时，.
【解析】【分析】（1）根据立方根的概念可得2a+9=3，由相反数的概念可得a+b=0，联立求出a、b的值，然后根据数轴上两点间距离公式进行计算；
（2）①根据数轴上两点间距离公式可得BP；
②分点P在点A右侧、点P在点A左侧，根据两点间距离公式表示出BP、AP，然后根据BP=2AP就可求出x的值.
5．放置在水平地面上两个无盖（朝上的面）的长方体纸盒，大小、形状如图.小长方体的长、宽、高分别为：a（cm）、b（cm）、c（cm）；大长方体的长、宽、高分别为：（cm）、（cm）、（cm）.
（1）做这两个纸盒共需要材料多少平分厘米？
（2）做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多多少平分厘米材料
【答案】（1）解：小长方体纸盒所需材料：，
大长方体纸盒所需材料：，
所以一共所需材料：
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式分别计算出大、小长方体纸盒所需的材料，然后相加即可；
（2）对（1）表示出的式子作差即可.
6．甲，乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒定价5元.而甲，乙两店的促销方案不同，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠.该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）.
（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
（2）若购买15盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪一家商店购买？为什么？
【答案】（1）解：设购买乒乓球盒时，两种优惠办法付款一样，由题意，得：
，
整理，得：，
解得：；
答：设购买乒乓球盒时，两种优惠办法付款一样.
（2）解：去乙店购买，理由如下：
购买15盒乒乓球时，去甲店需付款：元；
去乙店需付款：元；
∵，
∴去乙店购买.
【解析】【分析】（1）设购买乒乓球x盒时，两种优惠办法付款一样，由题意可得在甲店购买的费用为40×5+(x-5)×5，在乙店购买的费用为40×0.9×5+5×0.9x，然后根据费用相同列出方程，求解即可；
（2）根据（1）中的代数式求出在甲、乙店的费用，然后进行比较即可.
7．计算：
（1）
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
把x= 2，y=3代入得：
原式
【解析】【分析】（1）先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘除，最后计算有理数的加减法即可；
（2）先利用整式的混合运算化简，再将x、y的值代入计算即可。
8．小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用A，B，两种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸．
（1）按B种方法剪裁的有　 　张白板纸；（用含x的代数式表示）
（2）将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？
【答案】（1）（50-x）
（2）解：由四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．
，
整理得： ，
解得：x＝30，
(30×4+20×2)÷4＝40，
∴最多可以制作40个纸箱.
【解析】【解答】（1）解：按A种方法剪裁的有x张白板纸，
则按B种方法剪裁的有张白板纸，
故答案为：（50-x）；
【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）根据题意列出方程，再求解即可。
9．某粮库6天内粮食进、出库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库），，，，，
（1）经过这6天，仓库里的粮食是增加了还是减少了？
（2）经过这6天，仓库管理仍结算时发现库里还存280吨粮，那么6天前仓库里存粮多少吨？
（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少装卸费？
【答案】（1）解：根据题意得：+24-22-13+34-37-15=-29，
则经过这6天，仓库里的粮食减少29吨
（2）解：根据题意得：280+29=309，
则6天前仓库里存粮309吨
（3）解：根据题意得：5×（|+24|+|-22|+|-13|+|+34|+|-37|+|-15|）=725，
则这6天要付725元装卸费．
【解析】【分析】（1）将题干中的数据相加，再根据结果判断即可；
（2）根据题意列出算式求解即可；
（3）将题干中的数据的绝对值相加，再乘以5即可得到答案。
10．如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝54°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
（1）求∠3的度数；
（2）求∠BOD的度数；
（3）OE是∠BOC的平分线吗？为什么？
【答案】（1）解：∵OD平分∠AOC，
∴∠1=∠2=∠AOC=27°，
∴∠3=90°-27°=63°
（2）解：由题意得，∠AOB是平角，
∴∠BOD=∠AOB-∠1=180°-27°=153°
（3）解：OE是∠BOC的平分线，理由如下：
∵∠4=∠AOB-∠AOC-∠3=180°-54°-63°=63°，
由（1）知∠3=63°，
∴∠3=∠4，
即OE是∠BOC的平分线．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2=∠AOC=27°，再利用角的运算求出∠3的度数即可；
（2）利用邻补角的性质求解即可；
（3）先求出∠4的度数，再结合∠3=63°，可得∠3=∠4，即可得到OE是∠BOC的平分线。
11．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的.如图所示是该市自来水收费价格见价目表.
价目表
每月用水量 单价
不超出 的部分
超出 但不超出 的部分
超出 的部分
注：水费按月结算.
（1）填空：若某户居民2月份用水 ，则2月份应收水费　 　元；若该户居民3月份用水 ，则3月份应收水费　 　元；
（2）若该户居民4月份用水量 （ 在6至 之间），则应收水费包含两部分，一部分为用水量为 ，水费12元；另外一部分用水量为　 　 ，此部分应收水费　 　元；则4月份总共应收水费　 　元.（用 的整式表示并化简）
（3）若该户居民5月份用水 ，求该户居民5月份共交水费多少元？（用 的整式表示并化简）
【答案】（1）8；20
（2）（a-6）；（4a-24）；（4a-12）
（3）解： （元）
答：该户居民5月份共交水费 元
【解析】【解答】（1）解：（1）2月份用水 ，2×4＝8（元）；3月份用水 ，2×6+2×4=20（元），
故答案为：8 ，20；
（2）另外一部分用水量为： ，
此部分应收水费为： （元），
则4月份总共应收水费为： （元）
故答案为： ， ， ；
【分析】（1）根据表格中收费标准分别进行计算即可；
（2）由于 在6至 之间，可知6m3以2元/m3的价格，另一部分用水量为 以4元/m3的价格收费，分别进行计算再相加即可；
（3）由于5月份用水 ，可知6m3以2元/m3的价格，4m3以4元/m3的价格，（x-10）m3以8元/m3的价格，分别计算相加即得.
12．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买.已知两店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是：买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙两店的优惠条件是：购买10本以上，每本按标价的8折卖.
（1）请写出分别到两个商店购买练习本的代数式；
甲　 　、　 　；乙　 　、　 　.
（2）小明要买20本时，到哪个商店更省钱？
（3）小明要买10本以上时，买多少本时到两个商店付的钱一样多？
【答案】（1）x；10+0.7(x-10)；x；0.8x
（2）解：甲：
乙：
甲 乙，所以到乙商店购买更加省钱
（3）解：
购买30本时两个店付的钱一样多
【解析】【解答】（1）甲商店：买10本以下所需的费用为 ；
∵买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖，
∴10本以上的费用为 ；
乙商店：买10本以下所需的费用为 ；
∵买10本以上，每本按标价的8折卖，
∴10本以上的费用为 ；
【分析】(1)设每本费用为x元，甲商店10本以下为x元，10本以上按标价的7折卖 ，费用为10元+10本以上以上费用列出关系式即可；乙商店10本以下费用为x元，10本以上每本都按标价的8折卖，费用为0.8x元.
(2)分别算出买20本时两商店的费用，比较大小即可.
(2)直接按照甲乙两商店10本以上费用相等列出方程即可.
13．周末,小明陪爸爸去陶瓷商城购买一些茶壶和茶杯,甲、乙两家商店出售他们看中的同样品牌的茶壶和茶杯,茶壶每把定价都为30元,茶杯每只定价都为5元.这两家商店都有优惠,甲店买一把茶壶赠送茶杯一只;乙店全场九折优惠.小明爸爸需买茶壶5把,茶杯若干只(不少于5只).
（1）设购买茶杯x（x≥5）只,如果在甲店购买,需付款多少元;如果在乙店购买,需付款多少元.(用含x的代数式表示并化简).
（2）当购买15只茶杯时,应在哪家商店购买 为什么
【答案】（1）解：设购买茶杯x只，
在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只，且茶壶每把定价30元、茶杯每只定价5元，
故在甲店购买需付：5×30+5×（x-5）=5x+125；
在乙店购买全场9折优惠，
故在乙店购买需付：30×0.9×5+5×0.9×x=4.5x+135，
答：在甲店购买,需付款（5x+125）元；在乙店购买,需付款（4.5x+135）元.
（2）解：应在甲店购买，理由：
当x=15时，
在甲店购买需付：5×15+125=200（元），
在乙店购买需付：4.5×15+135=202.5（元）
∵200＜202.5
∴在甲店购买便宜，故应在甲店购买．
【解析】【分析】（1）由题意可知，甲店买一把茶壶送茶杯一只，故需付5只茶壶的钱和（x-5）只茶杯的钱， 已知茶壶每把定价都为30元,茶杯每只定价都为5元 ，列出付款关于x的式子即可； 乙店全场九折优惠 ，同理列出付款关于x的式子即可；
（2）当x=5时，分别求出甲店与乙店的所付的款，比较即得.
14．已知A= ，B=
（1）求2A-3B；
（2）试比较A、B的大小关系（写出比较过程）.
【答案】（1）解：2A-3B
=2（ ）-3（ ）
=
= ；
（2）解：∵A-B=
=
= ＜0
∴A＜B.
【解析】【分析】（1）将A，B代入2A-3B，再利用去括号法则，先去括号，再合并同类项。
（2）利用求差法，列式求出A-B的差，根据结果-（x2+2），可知x2+2＞0.，由此可确定出A，B的大小关系。
15．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C重合叠放在一起.
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数；
（3）猜想： 与 有怎样的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：由题可知： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
（3）解：，理由如下，
∵ ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）由题意可得∠DCE=30°，∠ACD=90°，则∠ACE=∠ACD-∠DCE=60°，然后根据∠ACB=∠ACE+∠ECB进行计算；
（2）易得∠ACE=∠ACB-∠ECB=50°，然后根据∠DCE=∠ACD-∠ACE进行计算；
（3）根据∠ACD+∠ECB=180°可得∠ACE+∠ECD+∠ECD+∠DCB=180°，据此解答.
16．A、B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时走60千米，一列快车从B地出发，每小时走65千米.
（1）两车同时出发相向而行，x小时相遇，可列方程　 　；
（2）两车同时出发相背而行，t小时后两车相距620千米，可列方程　 　；
（3）慢车出发1小时后快车从B地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？
【答案】（1）60x+65x=480
（2）60t+65t+480=620
（3）解：设快车出发y小时后追上慢车，根据题意可得：
解得： ，
答：快车出发108小时后追上慢车.
【解析】【解答】解：（1）由题意可得： ；
故答案为： ；
（2）由题意可得： ，
故答案为： ；
【分析】（1）x小时慢车行驶的路程为60x千米，快车行驶的路程为65x千米，然后根据行驶路程之和为480就可列出方程；
（2）x小时慢车行驶的路程为60t千米，快车行驶的路程为65t千米，然后根据路程之和+A、B相距的距离=t小时后两车的距离就可列出方程；
（3）设快车出发y小时后追上慢车，则快车行驶的路程为65y，慢车行驶的路程为60(y+1)，根据追击问题的等量关系：快车行驶的路程-慢车行驶的路程=480建立方程，求解即可.
17．用边长为0.5米的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路.
（1）铺第5个图形用白色正方形瓷砖　 　块，黑色正方形瓷砖　 　块；
（2）按照此方式铺下去，铺第 个图形用白色正方形瓷砖　 　块，用黑色正方形瓷砖　 　块（用含 的代数式表示）；
（3）若黑色正方形瓷砖每块价格25元，白色正方形瓷砖每块价格30元，若按照此方式恰好铺满12.5米长的小路，求铺满该段小路所需瓷砖的总费用.
【答案】（1）12；21
（2）（2n+2）；（4n+1）
（3）解：由题意得： ，
解得 ，
铺满该段小路所需瓷砖的总费用为 ，
则当 时， （元），
答：铺满该段小路所需瓷砖的总费用为2005元.
【解析】【解答】解：（1）第1个图形用白色正方形瓷砖的块数为 ，
第2个图形用白色正方形瓷砖的块数为 ，
第3个图形用白色正方形瓷砖的块数为 ，
归纳类推得：第n个图形用白色正方形瓷砖的块数为 ，其中n为正整数；
第1个图形用黑色正方形瓷砖的块数为 ，
第2个图形用黑色正方形瓷砖的块数为 ，
第3个图形用黑色正方形瓷砖的块数为 ，
归纳类推得：第n个图形用黑色正方形瓷砖的块数为 ，其中n为正整数；
则铺第5个图形用白色正方形瓷砖的块数为 ，黑色正方形瓷砖的块数为 ，
故答案为：12，21；（2）由（1）已知：铺第 个图形用白色正方形瓷砖 块，用黑色正方形瓷砖 块，
故答案为： ， ；
【分析】（1）利用前三个图形分别求出白色正方形瓷砖的块数，找到规律，可得到第n个图形用白色正方形瓷砖的块数为2n+2；利用前三个图形分别求出黑色正方形瓷砖的块数，找到规律，可得到第n个图形用黑色正方形瓷砖的块数为4n+1；将n=5分别代入，可求出结果。
（2）由（1）的过程，可得答案。
（3）利用黑白瓷砖的数量之和×0.5×0.5=12.5×12.5，建立关于n的方程，解方程求出n的值；再求出铺满该段小路所需瓷砖的总费用，然后将n=12代入可求出结果。
18．一个长方形一边长为 ，另一边长为 .
（1）用含有 的式子表示这个长方形的周长；
（2）若 满足 ，求它的周长.
【答案】（1）解：这个长方形的周长为
化简得， ；
（2）解：当 ， 满足 时，
它的周长等于 =
【解析】【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；（2）将（1）中的代数式变形，再把 代入求解即可.
19．
（1）计算（直接写出结果）： 　 　， 　 　.
（2）一个角的余角比这个角的补角的三分之一多 ，求这个角的大小.
【答案】（1）；
（2）解：设这个角为 °
∴
故答案为36°.
【解析】【解答】解：（1）
故答案为
【分析】（1）根据角度的运算法则计算即可；（2）首先设这个角为 °，然后根据余角和补角的性质列出方程，求解即可.
20．如图是一个“数值转换机”的示意图，按下图程序计算.
（1）填写表格；
输入 5 2 …
输出结果 　 　 　 　 　 …
（2）请将图中的计算程序用代数式表示出来，并化简.
【答案】（1）
输入 5 2 …
输出结果 5 …
（2）解： .
【解析】【解答】解：代入求值，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
表格如下：
输入 5 2 …
输出结果 5 …
【分析】（1）将每一个m的值输入流程图进行计算，输出结果；（2）根据流程图列式，然后合并同类型.
21．计算：
已知 .
（1）当 时，求 的值；
（2）求 的最大值.
【答案】（1）解：
时， 或
或
（2）解：
当 时， 最大，最大值为：
最大值为5
【解析】【分析】（1）解绝对值方程求出 ，再根据 分情况求解即可.（2）根据 ，即可求出求 的最大值.
22．如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）与∠AOE互补的角是　 　．
（2）若∠AOC=72°，求∠DOE的度数；
（3）当∠AOC=x时，请直接写出∠DOE的度数．
【答案】（1）∠BOE、∠COE
（2）解：∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，∠AOC=72°，
∴∠COD=∠AOD=36°，∠COE=∠BOE= ∠BOC，
∴∠BOC=180°﹣72°=108°，
∴∠COE= ∠BOC=54°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°
（3）解：当∠AOD=x°时，∠DOE=90°
【解析】【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠COE；
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE+∠COE=180°，
∴与∠AOE互补的角是∠BOE、∠COE；
故答案为∠BOE、∠COE；
【分析】（1）先求出∠BOE=∠COE，再由∠AOE+∠BOE=180°，即可得出结论；（2）先求出∠COD、∠COE，即可得出∠DOE=90°；（3）先求出∠AOC、COD，再求出∠BOC、∠COE，即可得出∠DOE=90°．
23．已知一个由50个偶数排成的数阵，请你观察框内的四个数之间的关系并解答下列问题：在数阵中任意作一个类似图中的框．
（1）设框内左上角的数为x，那么其他三个数分别是：　 　，　 　，　 　
（2）如果框内四个数的和是172，这四个数分别是什么？
（3）框内四个数的和有没有可能是322，为什么？
【答案】（1）x+2；x+12；x+14
（2）解：∵四个数的和是172，
∴x+x+2+x+12+14+x=172，
解得：x=36，
∴这4个数是：36，38，48，50
（3）解：当x+x+2+x+12+14+x=322，
解得：x=73.5，
故四个数的和不可能是322
【解析】【解答】解：（1）∵其中的一个数为x，
∴另一个数为：x+2，x+12，x+14，
故答案是：x+2，x+12，x+14；
【分析】（1）利用此关系表示四个数即可；（2）利用和为172作为相等关系可求出四个数的具体值．（3）利用上述规律可知四个数的和不可以是322．
24．观察下列等式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102…
（1）根据观察得到规律写出：13+23+33+43+53═　 　．
（2）根据观察得到规律写出13+23+33+43+…+1003=　 　．
（3）13+23+33+43+53+…+n3=　 　
【答案】（1）225
（2）50502
（3）[ ]2
【解析】【解答】解：（1）依题意，得13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=152=225；（2）依题意，得13+23+33+…+1003=（1+2+3+…+100）2=[ ]2=50502；（3）一般规律为：13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=[ ]2．故答案为225；50502；[ ]2．
【分析】（1）观察数字规律可知，结果为一个完全平方数，其底数为1+2+3+4+5；（2）观察数字规律可知，结果为一个完全平方数，其底数为1+2+3+…+100；（3）从1开始，连续n个正整数的立方和，等于这n个正整数和的平方．
25．已知，在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC=60°，直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数为　 　°，∠CON的度数为　 　°；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为　 　°；
（3）请从下列（A），（B）两题中任选一题作答．
我选择：　 　．
（A）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则∠AOD的度数为　 　°；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC　 　∠BON（填“＞”、“=”或“＜”）；
（B）如图4，MN⊥AB，ON在∠AOC的内部，若另一边OM在直线AB的下方，则∠COM+∠AON的度数为　 　°；∠AOM﹣∠CON的度数为　 　°．
【答案】（1）120；150
（2）30°
（3）A（或B）；30；=；150；30
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=60°，∠BOC与∠AOC互补，∠AON=90°
∴∠BOC=180°﹣60°=120°，∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°．
故答案为：120；150．
⑵∵三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，∠BOC=120°，
∴∠BOM= ∠BOC=60°，
又∵∠MON=∠BOM+∠BON=90°，
∴∠BON=90°﹣60°=30°．
故答案为：30°．
⑶（A）∵∠AOD=∠BON（对顶角），∠BON=30°，
∴∠AOD=30°，
又∵∠AOC=60°，
∴∠DOC=∠AOC﹣∠AOD=60°﹣30°=30°=∠BON．
（B）∵MN⊥AB，
∴∠AON与∠MNO互余，
∵∠MNO=60°（三角板里面的60°角），
∴∠AON=90°﹣60°=30°，
∵∠AOC=60°，150
∴∠CON=∠AOC﹣∠AON=60°﹣30°=30°，
∴∠COM+∠AON=∠MON+2∠CON=90°+2×30°=150°，
∠AOM﹣∠CON=∠MON﹣2∠CON=90°﹣2×30°=30°．
故答案为：A（或B）；30；=；150；30．
【分析】（1）由题意可知∠AON=∠BON=90°，根据邻补角的定义可求出∠BOC的度数；再根据∠CON=∠AOC+∠AON，就可求出结果。
（2）根据题意角平分线的定义可求出∠BOE的度数，再根据∠BON=90°-∠BOE，即可求出结果。
（3）（A）根据对顶角相等得出∠BON=∠AOD，就可求出∠AOD的度数；再求出∠DOC的度数，就可得出结论；
（B）根据已知条件求出∠AOC、∠CON、∠AON的度数，再根据∠COM+∠AON，∠AOM﹣∠CON，即可求出结果。
26．如图是由边长为1cm的若干个正方形叠加行成的图形，其中第一个图形由1个正方形组成，周长为4cm，第二个图形由4个正方形组成，周长为10cm．第三个图形由9个正方形组成，周长为16cm，依次规律…
（1）第四个图形有　 　个正方形组成，周长为　 　cm．
（2）第n个图形有　 　个正方形组成，周长为　 　cm．
（3）若某图形的周长为58cm，计算该图形由多少个正方形叠加形成．
【答案】（1）16；22
（2）n2；6n-2
（3）解：若某图形的周长为58cm，则有：6n﹣2=58，解得：n=10，
即第10个图形的周长为58cm，则第10个图形中正方形有102=100个
【解析】【解答】解：（1）根据题意，知：
第一个图形：正方形有1=12个，周长为4=4+6×0；
第二个图形：正方形有：4=22个，周长为10=4+6×1；
第三个图形：正方形有：9=32个，周长为16=4+6×2；
故第四个图形：正方形有：42=16个，周长为4+6×3=22；
（2）根据以上规律，第n个图形有正方形n2个，其周长为：4+6（n﹣1）=6n﹣2；
故答案为：（1）16，22；（2）n2，6n﹣2．
【分析】（1）将第1、2、3个图形中正方形个数写成序数的平方，周长是序数6倍与2的差，根据规律得到第4个图形中正方形个数和周长。
（2）根据（1）中规律写出第n个图形中正方形的个数和周长。
（3）若周长为58，建立列方程，求出n的值，根据n的值从而求出其正方形个数。
27．解方程
（1）2x+1=2﹣x
（2）5﹣3（y﹣ ）=3
（3） +1= ．
【答案】（1）解：移项合并得：3x=1，
解得：x=
（2）解：去括号得：5﹣3y+1=3，
移项合并得：﹣3y=﹣3，
解得：y=1
（3）解：去分母得：8y﹣4+12=3y+6，
移项合并得：5y=﹣2，
解得：y=﹣0.4
【解析】【分析】（1）将原方程移项合并同类项，系数化为1，得出未知数的值 ；
（2）将原方程去括号 ，移项合并同类项，系数化为1，得出未知数的值 ；
（3）将原方程去分母 ，去括号 ，移项合并同类项，系数化为1，得出未知数的值 。
28．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A方法：剪6个侧面； B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【答案】（1）解：∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时（19﹣x）张用B方法．
∴侧面的个数为：6x+4（19﹣x）=（2x+76）个，
底面的个数为：5（19﹣x）=（95﹣5x）个
（2）解：由题意，得
解得：x=7，
经检验，x=7是原分式方程的解，
∴盒子的个数为： =30．
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子
【解析】【分析】（1）裁剪时x张用A方法 ，裁剪时（19﹣x）张用B方法．从而得到侧面的个数为：6x+4（19﹣x）=（2x+76）个 ，底面的个数为：5（19﹣x）=（95﹣5x）个 ；
（2）根据做成的盒子的个数 = 侧面的总个数除以每一个三菱柱需要的侧面数3 = 底面的总个数除以每一个三菱柱需要的底面数 得出方程，求解检验，并进一步算出盒子的个数即可 。
29．邻居张叔叔星期天准备做两件事：一是到邮局拿某杂志社寄给自己的论文稿费，二是买礼物送爸妈和女友．
（1）邻居张叔叔先到邮局拿论文稿费．国家规定稿费超过一定数额需缴纳所得税，有关规定如下表：
稿费数额 纳税方法
稿费不高于800元 不纳税
稿费高于800元但不高于4000元 应缴纳超过800元的那一部分的14%
稿费高于4000元 应缴纳全部稿费的11%
张叔叔从邮局拿到税后稿费为3380元，问该杂志社给张叔叔的税前论文稿费为多少元？
（2）邻居张叔叔拿到稿费后到商店准备为爸妈买四盒“补雪”牌补品，同时为女友买三瓶相同的“露”牌化妆品．张叔叔对比了甲、乙两家商店这两种商品的标价，发现“补雪”牌补品都是每盒300元，“露”牌化妆品都是每瓶200元．现在两家商店正在搞促销活动，促销办法如下表：
商店 促销办法
甲 全部按标价的九折出售
乙 不打折，但买四盒“补雪”牌补品可以送一瓶“露”牌化妆品
请你帮助邻居张叔叔出个主意，要在这两个店买，应怎样买最省钱？共需多少钱，并写出购买方案．
【答案】（1）解：4000元稿费的税后所得为4000-（4000-800）×14%=3552元，由此可得张叔叔税前所得应该高于800元但不高于4000元．
设张叔叔税前所得为x元，
由题意得：x-（x-800）×14%=3380，
解得：x=3800元
（2）解：买四盒“补雪”牌补品可以送一瓶“露”牌化妆品相当于打了8.6折，
故应该先在乙店买四盒“补雪”牌补品，再到甲店买2瓶“露”牌化妆品，
共需的钱数为：4×300+2×200×90%=1200+360=1560元。
答：张叔叔的税前所的为3800元，他应该先在乙店买四盒“补雪”牌补品，再到甲店买2瓶“露”牌化妆品，这样需要的钱最少，共需1560元。
【解析】【分析】（1）根据题意4000元稿费的税后所得为4000-（4000-800）×14%；由张叔叔税前所得应该高于800元但不高于4000元，列出一元一次方程，求出该杂志社给张叔叔的税前论文的稿费；（2）根据买四盒“补雪”牌补品可以送一瓶“露”牌化妆品相当于打了8.6折，得到应该先在乙店买四盒“补雪”牌补品，再到甲店买2瓶“露”牌化妆品，求出共需的钱数.
30．列一元一次方程解应用题
（1）我市为打造浑河绿地公园，现有一段河道整治任务由A、B两工程队完成．A工程队单独整治该河道要16天才能完成；B工程队单独整治该河道要24天才能完成．现在A工程队单独做6天后，B工程队加入合做完成剩下的工程，问A工程队一共做了多少天？
①根据题意，小明、小红两名同学分别列出尚不完整的方程如下：小明：（　　）；小红：（　　）=1．请根据小明、小红两名同学所列的方程思考，并补全空白括号里的内容．小明同学所列不完整的方程中的空白括号里该填 ▲ ，小红同学所列方程中的空白括号里该填 ▲ ．
②求A工程队一共做了多少天？（写出完整的解答过程）
（2）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约为多少？
【答案】（1）1；y﹣6；
②设A工程队一共做的天数为y天，
由题意得：y+（y﹣6）＝1，
解得：y＝12
答：A工程队一共做的天数为12天．
（2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，则单独一个纸杯的高度为（9-2x）cm，
则，解得，
所以单独一个纸杯的高度为9-2×1=7cm，
则99x+7＝99×1+7＝106
即把100个纸杯整齐的叠放在一起时的高度约是106cm．
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：x表示A、B合做的天数（或者B完成的天数）；y表示A工程队一共做的天数；
小明同学所列不完整的方程中的括号内该填1；小红同学所列不完整的方程中的括号内该填y﹣6．
故答案是：1；y﹣6；
【分析】（1）①根据所列方程，可得x表示的是：A、B合作的天数；y表示的是：A工程队一共的天数，工作总量为“1”；②按照两位同学的思路求解即可；
（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，则单独一个纸杯的高度为（9-2x）cm，根据题意列出方程求解即可。
31．一个两位数的个位上的数是a，十位上的数是b．
（1）列式表示这个两位数；
（2）将这个两位数与它的10倍的和表示出来，这个和是11的倍数吗？为什么？
（3）当时，若将a与b的位置对调，得到的新两位数比原数大18，求此时这个两位数．
【答案】（1）解：一个两位数的个位上的数是a，十位上的数是b，
这个两位数为：
（2）解：由题意得：
所以这个和为和是11的倍数.
（3）解：当时，原来的两位数为
将a与b的位置对调，得到的新两位数为：
由题意得：
解得：
所以原来的两位数为 新两位数为
【解析】【分析】（1）根据代数式的定义及书写方法求解即可；
（2）先表示出这两位数与它的10倍的和，再根据结果判断即可；
（3）根据题意表示出原来的两位数和新的两位数，再列出方程，求解即可。
32．
（1）如图1，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，经探究发现∠ACB与∠DCE的和不变．证明过程如下：
由题可知∠BCE＝∠ACD＝90°
∴∠ACB＝　 　 +∠BCD．
∴∠ACB＝90°+∠BCD．
∴∠ACB+∠DCE
＝90°+∠BCD+∠DCE
＝90°+∠BCE
∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝　 　．
（2）如图2，若将两个含有60°的三角尺叠放在一起，使60°锐角的顶点A重合，则∠DAB与∠CAE有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系．
【答案】（1）∠ACD；180°
（2）∠DAB+∠CAE＝120°，
理由：由题可知∠DAC＝∠EAB＝60°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠CAB，
∴∠DAB＝60°+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE
＝60°+∠CAB+∠CAE
＝60°+∠EAB，
∵∠EAB＝60°，
∴∠DAB+∠CAE＝120°；
（3）解：∵∠AOB＝α，∠COD＝β，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝β+∠AOC，
∴∠AOD+∠BOC
＝β+∠AOC+∠BOC
＝β+∠AOB
＝β+α．
【解析】【解答】解：（1）由题可知∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACB＝90°+∠BCD，
∴∠ACB+∠DCE
＝90°+∠BCD+∠DCE
＝90°+∠BCE，
∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
故答案为：∠ACD，180°；
【分析】（1）结合图形把∠ACB与∠DCE的和转换为∠ACD与∠BCE的和；
（2）结合图形把∠DAB与∠CAE的和转换为∠DAC与∠EAB的和；
（3）结合图形把∠AOD与∠BOC的和转化为∠AOB与∠COD的和。
33．如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD，其中厘米，最小的正方形的边长为x厘米．
（1）　 　厘米，　 　厘米（用含x的整式分别表示）；
（2）求长方形ABCD的周长（用含x的整式表示），当厘米时，求其值．
【答案】（1）；
（2）解：长方形的宽为：，长为：，
则长方形ABCD的周长为：，
当时，．
【解析】【解答】解：（1）由图可知：FG＝厘米，DG＝厘米；
故答案是：，；
【分析】（1）根据正方形的性质和线段的和差关系即可得出FG和DG；
（2）先求出长方形ABCD的长和宽，再用2×（长+宽）即可得出长方形ABCD的周长，再把x=9代入即可得出答案。
34．赵老师在黑板上出了一道解方程的题：＝1﹣，小芳马上举手，要求到黑板上作答，她是这样写的：
4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2），（第一步）
8x﹣4＝1﹣3x﹣6，（第二步）
8x+3x＝1﹣6+4，（第三步）
11x＝﹣1，（第四步）
x＝﹣．（第五步）
老师说：小芳解一元一次方程的一般步骤都知道，但没有掌握好，因此解题时出现了错误．
（1）请你指出小芳从第　 　步开始出现错误；
（2）请你写出正确的解答过程．
【答案】（1）一
（2）解：去分母得：4（2x﹣1）＝12﹣3（x+2）（第一步），
去括号得：8x﹣4＝12﹣3x﹣6（第二步），
移项得：8x+3x＝12﹣6+4（第三步），
合并得：11x＝10（第四步），
系数化为1得：x＝（第五步）．
【解析】【解答】解：（1）由解题步骤可知：他错在第一步，去分母时等号后的1漏乘了；
故答案为：一；
【分析】（1）利用解含分数系数的一元一次方程的步骤求解即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1即可。
35．小刚同学由于粗心，把“A+B看成了“A﹣B”，算出A﹣B的结果为﹣7x2+10x+12，其中B＝4x2﹣5x﹣6.
（1）求A+B的正确结果；
（2）若x＝﹣2，求2A﹣B的值.
【答案】（1）解： A﹣B的结果为﹣7x2+10x+12，B＝4x2﹣5x﹣6.
（2）解：
当时，
原式
【解析】【分析】（1）由A=（ ﹣7x2+10x+12 ）+B，可求出A，再求出A+B即可；
（2）将A、B的式子代入2A-B中，利用去括号、合并同类项将其化简，再将x值代入计算即可.
36．如图，已知 ， 是 内的一条射线，且 .
（1）求 ， 的度数：
（2）作射线 平分 ，在 内作射线 ，使得 ，求 的度数；
（3）过点 作射线 ，若 ，求 的度数.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴
又∵射线 平分 ，且
∴
∴
（3）解：分两种情况，讨论：
①当射线 在 内部时，作图如下：
∵
∴
又∵ ，且
∴
∴ ，
又∵
∴
②当射线 在 外部时，作图如下：
∵ 且
∴
又∵
∴
∴ ，
又∵
∴
综上所述， 或
【解析】【分析】（1）由已知条件可得∠AOC=∠AOB，∠BOC=∠AOB，据此求解；
（2）由已知条件可得∠CON=∠BOC=20°，由角平分线的概念可得∠COM=∠AOC=20°，接下来根据∠MON=∠CON+∠COM进行计算；
（3）①当射线OD在∠AOB内部时，由已知条件可得∠AOD=∠BOD，根据角的和差关系可得∠BOD、∠AOD的度数，然后根据∠COD=∠BOC-∠BOD进行计算；②当射线OD在∠AOB外部时，由周角的概念可得∠AOD+∠BOD=240°，根据2∠AOD=3∠BOD可得∠BOD、∠AOD的度数，然后根据∠COD=∠BOC+∠BOD进行计算.
37．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为　 　．
【答案】（1）解：由题意得
.
答：这个魔方的棱长为4.
（2）解：∵魔方是由8个大小相同的小立方体组成的，
∴每一个小立方体的棱长为2，
∴阴影部分的边长为；
阴影部分（正方形ABCD）的面积为.
答：阴影部分的边长为，阴影部分的面积为8.
（3）-1-
【解析】【解答】解：（3）∵正方形ABCD的边长为，
∴AD=，
∵点A表示的数为-1，点D在点A的左边，
∴点D表示的数为-1-.
【分析】（1）利用立方体的体积可求出这个魔方的棱长.
（2）魔方是由8个大小相同的小立方体组成的，可求出每一个小立方体的边长，然后利用勾股定理求出阴影部分的边长和面积.
（3）利用正方形的边长可得到AD的长，再根据点A表示的数为-1，点D在点A的左边，可得到点D表示的数.
38．某住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米），现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计）
（1）求a的值；
（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米；
（3）按市场价格，木地板单价为150元/平方米，地砖单价为200元/平方米，则铺设地面材料总费用是多少元？（用含x的代数式表示）
【答案】（1）解：根据题意得 ，
解得 ；
（2）铺设地面需要木地板： 平方米；
铺设地面需要地砖： 平方米；
（3）总费用=地砖费用+木地板费用
= ，
则铺设地面的总费用为（700x+27700）元.
【解析】【分析】（1）根据长方形的对边相等得出 ， 即可求出a的值；
（2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖 ，可知将三间卧室的面积的和为木板的面积，用长方形的面积-三间卧室的面积，死得的差为地砖的面积；
（3）根据所铺设面积和每种材料的单价，求出所需的费用即可。
39．如图，三角板的直角顶点在直线上．
（1）如图1，点在直线的同侧，若，则的度数为　 　；
（2）如图2，点在直线的同侧，若平分平分，求的度数；
（3）如图3，绕点旋转三角板，使点在直线的异侧，当时，求的度数．
【答案】（1）
（2）解：∵是的平分线，是的平分线，
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
（3）解：∵
∴
又∵，且，
∴
∴，
∴
【解析】【解答】解：∵∠ACP+∠ACB+∠BCQ=18°，∠BCQ=50°，∠ACB=90°，
∴∠ACP=180°-∠ACB-∠BCQ=180°-90°-50°=40°，
故答案为：40°.
【分析】（1）利用角的运算列出算式求解即可；
（2）先利用角平分线的定义及角的运算和等量代换可得再结合可得最后利用角的运算求出∠MCN的度数即可；
（3）先求出，再利用角的运算求出即可.
40．
（1）在数轴上表示下列各数：、0、、．并用“”把各数连接起来
（2）计算：．
【答案】（1）解：将各数表示在数轴上：
由图知，
（2）解：

【解析】【分析】（1）将各个数按照正负在数轴上表示出来即可；正数>0，负数＜0；
（2）按照有理数的混合运算法则计算即可，先算乘方，再算乘除，再算加减。注意"-13"和"(-1)3"的区别.
41．（1）解方程
（2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论：
当时，原方程可化为．解得．符合．
当时，原方程可化为．解得．符合．
所以原方程的解为或．
请你类比此法解方程：．
（3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．
【答案】解：（1）∵，∴，
∴或，
解得或；
（2）
当时，原方程可化为．解得．符合．
当时，原方程可化为．解得．符合．
所以原方程的解为或；
（3）∵，
∴，
∴或，
∴或；
∵，
∴，
∴，
解得，
∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，
∴或，
解得或．
【解析】【分析】（1）由，得到，结合绝对值的定义，得到或，进而求得方程的解，得到答案；
（2）由，分和，两种情况讨论，利用绝对值的定义，去掉绝对值号，结合一元一次方程的解法，即可求解；
（3）根据绝对值的定义，求得或，再由方程，求得，结合题设中的新定义，得到或，求得方程的解，即可得到答案．
42．新定义：若α的度数是β的度数的n倍，则α叫做β的n倍角.
（1）若，请直接写出的3倍角的度数；
（2）如图①，若，请直接写出图中的所有2倍角；
（3）如图②，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数.
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴图中的所有2倍角有：，；
（3）解：∵是的3倍角，是的4倍角，
∴设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据角的运算可求解；
（2）由题意并结合图形可求解；
（3）由题意并结合图形可求解.
43．已知关于x的方程是一元一次方程．
（1）求k的值．
（2）若已知方程与方程的解互为相反数，求m的值．
（3）若已知方程与关于x的方程的解相同，求m的值．
【答案】（1）解：∵是一元一次方程，
∴，，解之得：
（2）解：将代入，得，解之得：，
解方程，得，
∵它们的解互为相反数，
∴，解之得：
（3）解：由（2）知已知方程的解为，
解方程，得，
∵它们的解相同，
∴，解之得：
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义“含有1个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作一元一次方程”并结合已知的方程可得关于k的方程和不等式，解之可求解；
（2）把（1）中求得的k的值代入方程（-3）x2-(k-3)x+2m+1=0可得关于x一元一次方程，解之可将x用含m的代数式表示出来，再解方程3x-2=4-3x，根据这两个方程的解互为相反数并结合相反数的意义“互为相反数的两个数和为0”可得关于m的方程，解之可求解；
（3）结合（2）的结论根据两个方程的解相同可得关于m的方程，解之可求解.
44．如图1所示，爱心农场的一个长、宽、高分别为12分米、8分米、20分米的长方体鱼池内装有高度为9分米的水．某项目化学习小组需要将一长方体基座（足够高）放置在鱼池内．若基座竖直放置在鱼池底部，如图2所示，则池内水面上升3分米．
（1）求基座的底面积；
（2）在安装过程中，先将基座吊起，使得基座的底部与水面齐平，如图3所示，然后将基座以每分钟2分米的速度下降，设下降的时间为t分钟．求当时，水面上升的高度；
（3）在（2）的条件下，求下降过程中，基座的底面把池中水深分成1：2的两部分时t的值
【答案】（1）解：设底面积为S平方分米
解得S=24
答：底面积为24平方分米
（2）解：设水面上升x分米
解得x=
答：水面上升分米；
（3）解：水面上升高度
基座底面到池底：9-2t
基座底面到水面：2t+
或
解得t=或．
【解析】【分析】（1）设基座底面积为S平方分米，根据基座淹在水中部分的体积=水面上升部分的体积，结合长方体的体积公式计算即可；
（2）设水面上升x分米，根据基座淹在水中部分的体积=水面上升部分的体积可列方程，求解可得答案；
（3）利用代数式分别表示出水面上升高度、基座底面到池底、基座底面到水面的高度，根据题意列出方程，求解答案．
45．如图所示，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）（min）.
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合
（2）当t为何值时，射线OC⊥OD
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线 若存在，请求出所有满足题意的t的取值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可得：20t=120+5t，
解得t=8，即当t=8min时，射线OC与OD重合.
（2）解：由题意可得：20t+90=120+5t或20t-90=120+5t，
解得t=2或t=14，即当t=2min或14min时， 射线OC⊥OD.
（3）解：存在.
由题意可得：120-20t=5t或20t-120=5t+120-20t或20t-120-5t=5t，
解得t=4.8或t=或t=12.
综上可知：当以OB为角平分线时，t=4.8min；
当以OC为角平分线时，t=min；
当以OD为角平分线时，t=12min.
【解析】【分析】（1）当射线OC与OD重合时，可得关于t的方程：20t=120+5t，求解即可；
（2）当射线OC⊥OD时，可得关于t的方程：20t+90=120+5t或20t-90=120+5t，求解即可；
（3）分①OB为角平分线；②OC为角平分线；③OD为角平分线三种情况，分别列出关于t的方程，求解即可.
46．某景区门票上绘制了简易游览图（如图），从游客中心到观景台有 山路，从观景台到山顶有 山路，圆圆同学从导游口中得知：离观景台 处有一个凉亭，离凉亭 处有一个小卖部．
（1）圆圆同学把这张图中的游览线路抽象成一条数轴，其中游客中心是原点，往山顶方向为正方向， 为1个单位长度，请在数轴上标出小卖部 所有可能的位置，并用数字表示出来．
（2）圆圆同学上山时从游客中心到山顶共用了 小时，下山时从山顶到游客中心的平均速度为 千米/小时，求圆圆同学上山、下山全程的平均速度（用含 和 的代数式表示）．
（3）若凉亭在观景台到山顶的途中，方方同学上午 从游客中心出发匀速上山，于 到达观景台，在观景台停留30分钟后，以同样的速度继续上山，途中又在凉亭休息了15分钟，到山顶游玩了35分钟后下山（下山途中不再停留），为了在下午 准时回到游客中心，方方同学下山的速度比上山的速度快 ，求 的值．
【答案】（1）解：设Q表示凉亭的位置，凉亭可在观景台的左边，也可在观景台的右边，则 可用数字 表示， 可用数字 表示，
小卖部可在凉亭的左边，也可在凉亭的右边，小卖部 所有可能的位置， 可用数字 表示， 可用数字 表示， 可用数字 表示， 可用数字 表示，
如图，
；
（2）解：圆圆下山用了 小时，全程的平均速度为 千米/小时．
（3）解上山实际时间： （分），
下山前总花费时间： （分），
上午 到下午 共300分，
（分）．
设上山的速度是 千米/小时，根据题意得
，
解得 ．
【解析】【分析】（1）设Q表示凉亭的位置，然后分①凉亭在观景台的左边，②凉亭在观景台的右边可得点Q的位置，分①小卖部在凉亭的左边，②小卖部在凉亭的右边可得点P的位置，进而在数轴上表示出来；
（2）用路程除以下山的平均速度即为下山所用的时间，用路程的2倍除以总共所用的时间即为全程的平均速度；
（3）首先求出上山的实际时间、下山前总花费的时间、下山的时间，然后根据路程、速度、时间的关系可得关于a的一元一次方程，求解即可.
47．两个完全相同的长方形 、 ，如图所示放置在数轴上．
（1）长方形 的面积是　 　．
（2）若点 在线段 上，且 ，求点 在数轴上表示的数．
（3）若长方形 、 分别以每秒1个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动．设两个长方形重叠部分的面积为 ，移动时间为 ．
①整个运动过程中， 的最大值是 ，持续时间是 ．
②当 是长方形 面积一半时，求 的值．
【答案】（1）48
（2）解：设点 在数轴上表示的数是 ，
则 ，
，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
答：点 在数轴上表示的数是-2；
（3）解：①36；1
②由题意知移动 秒后， 点 、 、 、 在数轴上分别表示的数是 、 、 、 ，
情况一：当点 在 、 之间时， ，
由题意知 ，
所以 ，
解得 ；
情况二：当点 在 、 之间时， ，
由题意知 ，
所以 ，
解得 ，
综上所述，当 是长方形 面积一半时， 或8．
【解析】【解答】解：（1）长方形的长是： ，
长方形的宽是： ，
长方形 的面积是： ，
故答案为：48；
（3）①当长方形EFGH的边EH和GF在长方形ABCD内部的时候，重叠部分的面积S是最大的，此时重叠的部分是一个正方形，边长就是长方形的宽，
∴S的最大值是 ，
持续的时间是从EH和AD重合开始到FG和BC重合结束，
走过的长度是 ，两个长方形的相对速度是 ，
∴持续时间是 （秒），
综上，整个运动过程中， 的最大值是36，持续时间是1秒；
故答案为：36，1.
【分析】（1）根据数轴求出长方形的长、宽，然后根据长方形的面积公式计算即可；
（2）设点P在数轴上表示的数是x，然后表示出PE，PF，根据PE+PF=10列式计算即可；
（3）①当长方形EFGH的边EH和GF在长方形ABCD内部的时候，重叠部分的面积S是最大的，此时重叠的部分是一个正方形，边长就是长方形的宽，据此可求出S的最大值，接下来利用路程除以两个长方形的相对速度可求出持续时间；
②首先表示出移动t秒时， 点E、F、A、B在数轴上表示的数，然后分①点A在E、F之间；②点B在 E、F之间两种情况结合长方形的面积公式计算即可.
48．数学实践课上，小明同学将直角三角板 的直角顶点 放在直尺 的边缘，将直角三角板绕着顶点 旋转．
（1）若三角板 在 的上方，如图1所示，在旋转过程中，小明发现 的大小发生了变化，但它们的和不变，即 　 　；
（2）若 分别位于 的上方和下方，如图2所示，则 之间的上述关系还成立吗 若不成立，则它们之间有怎样的数量关系 请说明你的理由；
（3）射线 分别是 的角平分线，若三角板 始终在 的上方，则旋转过程中， 的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）90°
（2）解：由题意可得：∠AOB=90°，∠EOF=180°
若 分别位于 的上方和下方，
∴ ，即
故（1）中的关系不成立， 之间的数量关系为 ．
（3）解：射线 分别是 的角平分线，
∴∠AOM= ，∠BON= ，
∴
∵三角板 始终在 的上方，由（1）已得
∴
即 的度数是一个定值为135°．
．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：∠AOB=90°，∠EOF=180°
∴当三角板 在 的上方， ；
故答案为：90°；
【分析】（1）根据平角的定义可得，据此计算即可；
（2）根据余角和补角的性质得出 ；
（3）根据角平分线的定义得出∠AOM=，∠BON=，从而可得
，由于，从而求出∠MON的度数.
49．为庆祝“元旦”，光明学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90人）准备统一购买服装参加比赛.下面是某服装厂给出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套）
每套服装的价格 60元 50元 40元
购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套）
每套服装的价格 60元 50元 40元
（1）如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛；
（2）如果七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案.
【答案】（1）解：设七年级有x人，则八年级有（92-x）人.
根据题意，得
解这个方程，得 .
八年级人数为：92-52=40（人）.
答：七年级有52人，则八年级有40人.
（2）解：七年级实际参加比赛的人数为：52-10=42，
两个年级联合费用： （元），
而此时比各自购买节约了： （元）；
若两个年级联合购买91套只需： （元），
此时又比联合购买91套节约： （元）.
因此，最省钱的购买方案是两校联合购买91套服装，
即比实际人数多买91-（40+42）=9套．
【解析】【分析】（1）七年级的人数多于八年级的人数，可得七年级服装的单价为50，八年级服装的单价为60元，等量关系为：七年级服装的总价+八年级服装的总价=5000，根据等量关系式列方程求解即可；（2）比较两个年级合买服装的总价钱以及按照单价40元买时的总价钱即可得到最省钱的方案．
50．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为 的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢 请看以下示例：
例：将 化为分数形式.
由于 ，
设
则
得 ，
解得 ，于是得 .
同理可得 ， .
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
（1）　 　， 　 　；
（2）将 化为分数形式，写出推导过程；
（3）试比较 与 的大小： 　 　 （填“ ”，“ ”或“ ”）；
【答案】（1）；
（2）解：
设 ①
则 ②
②－①得 ，解得 ，
.
（3）
【解析】【解答】解：（ ）由于 ，
设 ①
则 ②
②－①得 ，
解得 ，于是得 ；
由于 ，
设 ①
则 ②
②－①得 ，
解得 ，于是得 .
故答案为： ； ；
（ 3 ）由于 ，
设 ①
则 ②
②－①得 ，
解得 ，于是得 =
故答案为：=.
【分析】（1）根据材料中的计算原理，分别列方程计算即可；
（2）根据材料中的计算原理，分别列方程计算即可；
（3）根据材料中的计算原理，列方程计算后即可得出答案.
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