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【综合题强化训练·50道必刷题】浙教版八年级上册期末数学卷
1．如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF//AB，DF交AC于点E，.
（1）求证：
（2）若，，求BD的长.
2．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米.
求：
（1）点B到直线AC的距离.
（2）两棵景观树之间的距离；
3．某商店销售A，B两种型号的平板，销售一台A型平板可获利120元，销售一台B型平板可获利140元.该商店计划一次购进两种型号的平板共100台，其中B型平板的进货量不超过A型平板的3倍.设购进A型平板x台，这100台平板的销售总利润为y元.
（1）购进A型平板至少多少台？
（2）该商店购进A型、B型平板各多少台，才能使销售利润最大？
4．如图，在四边形中，，O为上的一点，且平分平分.求证：
（1）.
（2）.
5．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：
（1）在图中作，使和关于轴对称；
（2）写出点的坐标.
6．如图，出租车是人们出行的一种便利交通工具，折线ABC是在我市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）之间的函数关系图象．
（1）根据图象，当x≥3时y为x的一次函数，请写出函数关系式；
（2）某人乘坐13km，应付多少钱？
（3）若某人付车费42元，出租车行驶了多少千米？
7．某校为积极响应垃圾分类的号召，从商场购进了、两种品牌的垃圾桶用于回收不同种类垃圾．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵40元，用4800元购买品牌垃圾桶的数量是用3600元购买品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元
（2）该学校准备再次用不超过5600元购进、两种品牌垃圾桶共50个，恰逢商场对两种品牌垃圾桶的售价进行了调整：品牌按第一次购买时售价的八折出售，品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？
8．如图，已知，点为上一点，、分别平分、，交的延长线于点．
（1）求证是等腰三角形；
（2）探索、、之间的等量关系，并说明理由．
9．如图，在中，，点在的延长线上．
（1）尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）补全图形，取的中点，连接并延长交的平分线于点；
（3）判断线段与的位置关系是 ，数量关系是 ．
10．如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝∠AOB，AO＝8cm时，求OC的长度．
11．元旦将至，天猫某电商用4400元购入一批玩具盲盒，然后以每个60元的价格出售，很快售完．电商又以9600元的价格再次购入该商品．数量是第一次购入数量的1.6倍，售价每个上调了16元，进价每个也上调了16元．
（1）该电商第一次购入的玩具盲盒每个进价是多少元？
（2）该电商既要尽快售完第二次购入的玩具盲盒，又要使在这两次销售中获得的总利润不低于4000元．打算将第二次购入的部分盲盒按每个九折出售，最多可将多少个盲盒打折出售？
12．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以 米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以 米/秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之间的距离小于或等于 米时，遥控信号会产生相互干扰， 米， 米，
（1）出发 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）当两赛车距A点的距离之和为 米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AB=2
求：
（1）AC的长；
（2）三角形ABC的面积（结果保留根号）
14．如图，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．
（1）当CD⊥AP时，
①补全图形；
②若AC=a，BD=b，求AB的长（用含a，b的式子表示）．
（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．
15．已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，CD平分∠ACB，交AB于D，过B作BE⊥AC交AC于点E，交CD于点F．
（1）根据描述补全图形；
（2）试判断△BDF的形状，并说明理由；
（3）求证： ．
16．已知 ， ， ，且m>n>0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
17．已知 .
（1）化简W；
（2）若a，2，4恰好是等腰 的三边长，求W的值.
18．已知 和 都是等腰直角三角形，点 是直线 上的一动点（点 不与 ， 重合），连接 ．
（1）在图 中，当点 在边 上时，求证： ；
（2）在图 中，当点 在边 的延长线上时，结论 是否还成立？若不成立，请猜想 ， ， 之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图 中，当点 在边 的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出 ， ， 之间存在的数量关系及直线 与直线 的位置关系．
19．例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得① ，或② ，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3.
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式 的值为负数，求x的取值范围.
20．如图，在直角坐标系中，直线y＝kx＋b经过（0，4），（10，﹣4）两点，与x轴交于一点A，与y轴交于点B．
（1）求这条直线的解析式；
（2）求出三角形AOB的面积；
（3）观察图象直接写出：当x取何值时，y大于0？当x取何值时，y小于0？
（4）如果P点是x轴上的一点，且△PAB为等腰三角形，请你直接写出符合条件的P点坐标．
21．已知点A在射线CE上， ．
（1）如图1，若 // ，求证： // ；
（2）如图2，若 ， ，请证明 ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作 // 交射线CE于点F，当 时，求 的度数．（直接写出结果）
22．如图，已知 ，点P在OA边上， ，点M，N在边OB上， ．
（1）作出点P到OB的垂线段PC，垂足为C；
（2）若 ，求ON的长．
23．在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售10斤A级别和20斤B级别茶叶的利润为4000元，销售20斤A级别和10斤B级别茶叶的利润为3500元
（1）分别求出每斤A级别茶叶和每斤B级别茶叶的销售利润；
（2）若该经销商一次购进两种级别的茶叶共200斤用于出口.设购买A级别茶叶a斤（70≤a≤120），销售完A、B两种级别茶叶后获利w元.
①求出w与a之间的函数关系式；
②该经销商购进A、B两种级别茶叶各多少斤时，才能获取最大的利润，最大利润是多少
24．如图，直线l1：y＝kx＋4（k关0）与x轴，y轴分别相交于点A，B，与直线l2：y＝mx（m≠0）相交于点C（1，2）.
（1）求k，m的值；
（2）求点A和点B的坐标.
25．节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水 与滴水时间 的关系用可以显示水量的容器做如图 的试验，并根据试验数据绘制出如图 的函数图象，结合图象解答下列问题.
（1）容器内原有水多少升.
（2）求 与 之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升.
26．在农业技术部门指导下，小明家今年种植的猕猴桃喜获丰收.去年猕猴桃的收入结余12000元，今年猕猴桃的收入比去年增加了20%，支出减少10%，结余今年预计比去年多11400元.请计算：
（1）今年结余 元；
（2）若设去年的收入为 元，支出为 元，则今年的收入为 元，支出为 元（以上两空用含 、 的代数式表示）
（3）列方程组计算小明家今年种植猕猴桃的收入和支出.
27．已知直线y=x+b分别交x轴于点A、交y轴于点B(0，2)．
（1）求该直线的函数表达式；
（2）求线段AB的长．
28．某校为学生装一台直饮水器，课间学生到直饮水器打水．他们先同时打开全部的水龙头放水，后来又关闭了部分水龙头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图，请结合图象回答下列问题：
（1）求当x>5时，y与x之间的函数关系式；
（2）假定每人水杯接水0.7升，要使40名学生接水完毕，课间10分钟是否够用 请计算回答．
29．某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这样包装盒有两种方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系．
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：
（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？
（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
（3）请分别求出y1、y2与x的函数关系式．
（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
30．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌ ，故EF、BE、DF之间的数量关系
为 ．
（2）类比引申
如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF=45°，连结EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系为 ，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠BAD+∠EAC=45°，若BD=3，EC=6，求DE的长．
31．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长.
32．在中，，，过点C作直线，于点M，于点N．
（1）若在外（如图1），求证：；
（2）若与线段相交（如图2），且，，则 ．
33．（1）分式化简：
（2）如图，．
求证：．
34．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．
（1）求证：CD＝AC + ED．
（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
35．如图，点 ， ， 分别在等边 的各边上，且 于点 ， 于点 ， 于点 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求 的长．
36．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
37．（1）解不等式；
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来.
38．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
（1）求m和b的值；
（2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当的面积为12时，求t的值；
39．“颗粒归仓，饭碗更牢”.夏收是农业四季里的关键一环，冬小麦是夏收的主体粮食，每年的五、六月份是我国冬小麦的收割时间.红星农业合作社租用小型收割机和中型收割机参与冬小麦收割.已知每台中型收割机每小时比每台小型收割机多收割2亩小麦.收割完10亩小麦，每台中型收割机所用时间为每台小型收割机所用时间的.
（1）求每台小型、中型收割机每小时分别收割多少亩小麦；
（2）合作社已租用3台小型收割机和2台中型收割机.由于天气变化，为加快收割进度，合作社决定再租用4台两种型号的收割机.每台小型、中型收割机工作一小时的费用分别为400元、800元，若要使每天收割的小麦不少于480亩，求应再租用几台小型收割机使得每天的费用最少（两种型号收割机每天的工作时长均为6小时）？
40．已知是的正比例函数，且当时，.
（1）求与之间的函数表达式；
（2）当时，的值是多少？
41．实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去.
数学研究：如图，折线、分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图象.
（1）求线段AB对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？
42．如图①，在ΔABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，E为BC上一点，F为CA上一点，且FD⊥ED，垂足为D.
（1）若AF＝3.BE＝2，求FE的长；
（2）小明看到这个题目，提出这样的思路：如图②，延长ED到M，使得DM＝DE，连接AM，FM.首先证明∠FAM＝90°，再求出FM的长，最后得出FE的长，请你按照这个思路完成解答.
若点E在边CB的延长线上，点F在边AC的延长线上，请直接写出AF、BE、FE的等量关系.
43．某国家5A级景区开展一年一度的旅游主题活动，活动将持续两周.景区内某餐厅今年活动期间推出“精品套餐”，在午餐和晚餐时间只出售该套餐，且定价相同.活动开始后，该套餐的销售情况如下：第一天，午餐、晚餐时间均按定价出售，当天销售总收入为30000元；第二天，午餐时间按定价共售出100份；晚餐时间按定价打九五折出售（即按定价的95%出售），当天销售总收入为37650元，且全天销售量比第一天多30%（销售量指售出的套餐的份数）.
（1）若第一天的全天销售量为m，请用含m的代数式表示第二天晚餐时间该套餐的销售量；
（2）该套餐的定价为多少元？
（3）第三天，餐厅在午餐时间按定价打九二折出售该套餐，晚餐按定价出售，全天销售量比第一天多32%；第四天，午餐和晚餐时间均按定价打九折出售，全天销售量比第一天多1倍.根据该餐厅往年活动期间的销售数据，午餐时间套餐的销售量和晚餐时间套餐的销售量有如下规律：
①若套餐价格不变，则二者分别保持基本稳定；
②若套餐按定价打折，折扣相同，则二者的增长率也会大致相同.
参考前四天该套餐按定价所打折扣与销售量增长率之间的关系，若第五天午餐与晚餐时间均按定价打八八折出售该套餐，你认为全天销售量会是多少？请说明理由.
44．厦深铁路开通后，直线l1与l2分别表示从深圳北开往潮阳站的动车和从潮阳站开往深圳的高铁，两车同时出发，设动车离深圳北的距离为y1（千米），高铁离深圳的距离为距离y2（千米），行驶时间为t（小时），与t的函数关系如图所示：
（1）高铁的速度为 km/h；
（2）动车的速度为 km/h；
（3）动车出发多少小时与高铁相遇？
（4）两车出发经过多长时间相距50千米？
45．如图，直线 与 轴， 轴分别交于 、 两点，且 .
（1）求 的值；
（2）若点 是第一象限内的直线 上一个动点，当点 运动到什么位置时， 的面积是1；
（3）在（2）成立的情况下，在 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形 若存在，请直接写出满足条件的所有 点的坐标；若不存在，请说明理由.
46．如图， 为 内部一点， 、 分别为点 关于直线 、 对称的点．
（1）若 ，求 的度数；
（2）试猜想当 的值最大时， 与 需要满足什么数量关系，并说明理由．
47．如图
（1）问题背景：如图①，在四边形 中， ．E，F分别是 上的点，且 ，请探究图中线段 之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长 到点G，使 ．连接 ，先证明 ，得 ；再由条件可得 ，证明 ，进而可得线段 之间的数量关系是 ．
（2）探索延伸：如图②，在四边形 中， ．E，F分别是 ， 上的点，且 ．问（1）中的线段 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以60海里/小时的速度前进.2小时后，甲 乙两舰艇分别到达E，F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
48．解答下列各题
（1）如图1，已知OA＝OB，数轴上的点A所表示的数为m，且|m+n|＝2
①求点A所表示的数m为；
②求代数式n2+m﹣9的值．
（2）旅客乘车按规定可以随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需购买行李票，设行李票y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，其图象如图2所示．
①当旅客需要购买行李票时，求出y与x之间的函数关系式；
②如果张老师携带了42千克行李，她是否要购买行李票？如果购买需买多少行李票？
49．如图1，在 和 中， ， ， .
（1）若 三点在同一直线上，连接 交 于点 ，求证： .
（2）在第（1）问的条件下，求证： ；
（3）将 绕点 顺时针旋转得到图2，那么第（2）问中的结论是否依然成立 若成立，请证明你的结论：若不成立，请说明理由.
50．如图，在 中， ， ，BD是斜边上高动点P从点A出发沿AB边由A向终点B以 的速度匀速移动，动点Q从点B出发沿射线BC以 的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止 连接AQ，交射线BD于点 设点P运动时间为t秒.
（1）在运动过程中， 的面积始终是 的面积的2倍，为什么？
（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时， 和 相等.
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【综合题强化训练·50道必刷题】浙教版八年级上册期末数学卷
1．如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF//AB，DF交AC于点E，.
（1）求证：
（2）若，，求BD的长.
【答案】（1）证明：∵CF//AB，
∴，
在和中，
，
∴（AAS）；
（2）解：∵，CF=3，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得∠A=∠ECF，∠F=∠ADE，用AAS判断出△ADE≌△CFE；
（2）根据全等三角形的对应边相等得AD=CF=3，进而根据BD=AB-AD算出答案.
2．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米.
求：
（1）点B到直线AC的距离.
（2）两棵景观树之间的距离；
【答案】（1）解：过点B作于点D.
因为，
所以.
所以（米），
即点B到直线AC的距离是24米.
（2）解：因为△ABC是直角三角形，
所以由勾股定理，得AC2=BC2+AB2.
因为AC=50米，BC=30米，所以AB2=502-302=1600.
因为AB＞0，所以AB=40米.
即A，B两点间的 距离是40米.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AB的值，即为两棵景观树之间的距离；
（2）过点B作BD⊥AC于点D，根据等面积法可求出BD的值，即为点B到直线AC的距离.
3．某商店销售A，B两种型号的平板，销售一台A型平板可获利120元，销售一台B型平板可获利140元.该商店计划一次购进两种型号的平板共100台，其中B型平板的进货量不超过A型平板的3倍.设购进A型平板x台，这100台平板的销售总利润为y元.
（1）购进A型平板至少多少台？
（2）该商店购进A型、B型平板各多少台，才能使销售利润最大？
【答案】（1）解：设购进A型平板x台，则购进B型平板台，根据题意得：
，
解得：，
答：购进A型平板至少25台.
（2）解：该商店获得的利润为：
，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，获利最大，（台），
答：该商店购进A型平板25台、B型平板75台，销售利润最大.
【解析】【分析】（1） 设购进A型平板x台，则购进B型平板（100-x）台，根据B型平板的进货量不超过A型平板的3倍列出不等式，求出其最小整数解即可；
（2）根据每台的利润×销售台数=总利润及x台A型平板的利润+（100-x）台B型平板的利润=总利润，建立出函数解析式，进而根据函数解析式的性质即可解决问题.
4．如图，在四边形中，，O为上的一点，且平分平分.求证：
（1）.
（2）.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点O作于点E，如图所示：
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，根据二直线平行，同旁内角互补得∠BAC+∠DCA=180°，根据角平分线的定义得 ，根据三角形的内角和定理得∠AOC=90°，从而即可得出结论；
（2） 过点O作OE⊥AC于点E ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得OB=OE，OD=OE，利用HL分别判断出Rt△OAB≌Rt△OAE，Rt△OCE≌Rt△OCD，根据全等三角形对应边相等得AB=AE，CD=CE，据此就容易得出结论了.
5．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：
（1）在图中作，使和关于轴对称；
（2）写出点的坐标.
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：根据图形得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于x轴的对称点A'、B'、C'，再顺次连接即可；
（2）根据A'、B'、C'三点在坐标平面内的位置读出其坐标即可.
6．如图，出租车是人们出行的一种便利交通工具，折线ABC是在我市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）之间的函数关系图象．
（1）根据图象，当x≥3时y为x的一次函数，请写出函数关系式；
（2）某人乘坐13km，应付多少钱？
（3）若某人付车费42元，出租车行驶了多少千米？
【答案】（1）解：当x≥3时，设解析式为设y=kx+b，
∵一次函数的图象过B（3，7）、C（8，14），
∴ ，
解得 ，
∴当x≥3时，y与x之间的函数关系式是y= x+
（2）解：当x=13时，y= ×13+ =21，
答：乘车13km应付车费21元
（3）解：将y=42代入y= x+ ，得42= x+ ，
解得x=28，
即出租车行驶了28千米
【解析】【分析】（1）根据图象，当x≥3时y为x的一次函数，把B、C的坐标代入求出一次函数的解析式；（2）把x=13代入解析式，求出应付车费的值；（3）将y=42代入解析式，求出出租车行驶的距离.
7．某校为积极响应垃圾分类的号召，从商场购进了、两种品牌的垃圾桶用于回收不同种类垃圾．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵40元，用4800元购买品牌垃圾桶的数量是用3600元购买品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元
（2）该学校准备再次用不超过5600元购进、两种品牌垃圾桶共50个，恰逢商场对两种品牌垃圾桶的售价进行了调整：品牌按第一次购买时售价的八折出售，品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？
【答案】（1）解：设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元，
由题意得： ，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：购买一个A品牌垃圾桶需80元，购买一个B品牌垃圾桶需120元；
（2）解：设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶，
由题意得：，
解得：，
∴m最大值是30．
答：该学校此次最多可购买30个B品牌垃圾桶．
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶，根据题意列出不等式，再求解即可。
8．如图，已知，点为上一点，、分别平分、，交的延长线于点．
（1）求证是等腰三角形；
（2）探索、、之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
而，
∴．
【解析】【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质求出，即可得到CA=CE，从而可证为等腰三角形；
（2）先证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
9．如图，在中，，点在的延长线上．
（1）尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）补全图形，取的中点，连接并延长交的平分线于点；
（3）判断线段与的位置关系是 ，数量关系是 ．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）平行；相等
【解析】【解答】（3）∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C，
∴∠CBD=∠BAC+∠C=2∠C，
∵BF平分∠CBD，
∴∠CBD=∠CBF+∠DBF=2∠CBF，
∴∠CBF=∠C，
∴BF∥AC；
∵CE=BE，∠AEC=∠FEB，
∴△ACE≌△FEB，
∴AC=FB，
故答案为：平行；相等．
【分析】（1）利用基本作图做角C B D的平分线即可；
（2）根据几何语言画出对应几何图形；
（3）先证明∠CBF=∠C，得出BF∥AC；再证明△ACE≌△FEB，即可得出AC=FB。
10．如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝∠AOB，AO＝8cm时，求OC的长度．
【答案】（1）解：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=OD，∠OCB=∠ACD，
∴∠OCD=∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：△AOD是直角三角形，理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=∠COD=60°，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=∠COD=60°，OC=OD，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=110°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=50°，
∵∠BOC=∠AOB=110°，
∴∠AOD =360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=80°，
∴∠OAD=180°-∠ADO- ∠AOD=50°，
∴∠OAD=∠ADO，
∴AO=OD，
∵AO＝8cm，
∴OC=OD＝8cm．
【解析】【分析】（1）根据△BOC≌△ADC，得出∠OCD=∠ACB，再根据△ABC为等边三角形，得出∠OCD=60°，∠ACB=60°，即可得出结论；
（2）根据△OCD是等边三角形，得出∠ODC=∠COD=60°，再根据△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=150°，由此得出结论；
（3）根据△OCD是等边三角形，得出∠ODC=∠COD=60°，OC=OD，再根据△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=110°，从而得出∠OAD=∠ADO，AO=OD，计算即可。
11．元旦将至，天猫某电商用4400元购入一批玩具盲盒，然后以每个60元的价格出售，很快售完．电商又以9600元的价格再次购入该商品．数量是第一次购入数量的1.6倍，售价每个上调了16元，进价每个也上调了16元．
（1）该电商第一次购入的玩具盲盒每个进价是多少元？
（2）该电商既要尽快售完第二次购入的玩具盲盒，又要使在这两次销售中获得的总利润不低于4000元．打算将第二次购入的部分盲盒按每个九折出售，最多可将多少个盲盒打折出售？
【答案】（1）解：设第一次购入的玩具盲盒每个进价是元，
依题意，得：
解得：
检验：时，
∴是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购入的玩具盲盒每个进价是44元．
（2）解：设将个盲盒打折出售，则第一次购入的数量是：（个），
第二次购入的数量是：（个）
依题意，得：
解得：
∵取整数
∴最多可将21个盲盒打折出售.
【解析】【分析】（1）设第一次购入的玩具盲盒每个进价是x元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设将y个盲盒打折出售，再根据题意列出不等式求解即可。
12．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以 米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以 米/秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之间的距离小于或等于 米时，遥控信号会产生相互干扰， 米， 米，
（1）出发 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）当两赛车距A点的距离之和为 米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】（1）解：出发3秒钟时， 米， 米
米， 米
米， 米
（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰
（2）解：设出发t秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得， ，解得
此时AC1=20，AB1=15，
此时
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰
答：当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰.
【解析】【分析】（1）出发3秒钟时，CC1=12米，BB1=9米，根据AC、AB的值求出AC1、AB1，然后利用勾股定理求出B1C1，最后与25进行比较即可判断；
（2）设出发t秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，由题意可得40-4t+30-3t=35，求出t的值，进而得到AC1，AB1的值，利用勾股定理求出B1C1，据此判断.
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AB=2
求：
（1）AC的长；
（2）三角形ABC的面积（结果保留根号）
【答案】（1）解：∵
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵∠B=60°
∴∠BAD=30°
又∵AB=2，∠ADB=90°
∴BD= ，AD=
∵∠C=45°，∠ADC=90°
∴DC=AD=
∴ ；
（2）解：
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠ADB=∠ADC=90°，结合内角和定理可得∠BAD=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得BD=AB=1，根据勾股定理求出AD，易得∠C=∠CAD=45°，则DC=AD=，然后利用勾股定理求解即可；
（2）根据BC=BD+DC可得BC的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
14．如图，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．
（1）当CD⊥AP时，
①补全图形；
②若AC=a，BD=b，求AB的长（用含a，b的式子表示）．
（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：①补全图形如下：
；
②过点O作 ，
，
∵AO平分 ， ， ，
∴ ， ，
又∵AO为公共边，
∴ ≌ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ；
（2）解：如图，过点O作 ，
，
由（1）可知 ， ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1） ① 根据题意画出图形解答即可； ② 过O作OE⊥AB于E，利用角平分线的性质解答即可；
（2）作出图形，利用全等三角形的判定和性质解答即可。
15．已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，CD平分∠ACB，交AB于D，过B作BE⊥AC交AC于点E，交CD于点F．
（1）根据描述补全图形；
（2）试判断△BDF的形状，并说明理由；
（3）求证： ．
【答案】（1）解：补全的图形为：
（2）解：△BDF为等腰三角形，理由如下：
∵∠ABC= ，AB=BC，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE=∠A=∠BCA= ，
∵CD平分∠BCA，
∴∠BCD=∠ACD= ，
∴∠CFE=∠BDC=∠BFD= ，
∴BD=BF，
∴△BDF为等腰三角形；
（3）解：如图，延长CB到H使BH=BF，
∵∠ABE=∠CBE=∠A=∠BCA= ，
∴BE=EC=EA= ，
∵∠ABC= ，
∴∠HBD= ，
∵BD=BF，
∴BD=BH，
∴∠H=∠BDH= ，
在△ACD和△HCD中
，
∴△ACD≌△HCD，
∴AC=CH，
∵BD=BH=BF，
∴ ，
∴BE= ．
【解析】【分析】（2）由余角的性质得∠BFE=∠BDC=67.5，可得BD=BF，可得结论；
（3）延长CB到H使BH=BF，由“AAS”可证△ACD≌△HCD，可得AC=CH，可得结论。
16．已知 ， ， ，且m>n>0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
【答案】（1）解：∵a-b=m2+n2-m2=n2＞0；
a-c=m2+n2-mn=（m-n）2+mn＞0；
b-c= m2-mn=m（m-n）＞0
∴a＞b＞c
（2）解：由（1）a＞b＞c可得，a+b＞c
∵a-b= m2+n2-m2=n2＜mn
∴a-b＜c
∴以a、b、c为边长的三角形一定存在．
【解析】【分析】（1）根据代数式大小比较的方法进行比较即可；
（2）根据三角形两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可求解。
17．已知 .
（1）化简W；
（2）若a，2，4恰好是等腰 的三边长，求W的值.
【答案】（1）解：
；
（2）解： ∵ ，2，4恰好是等腰 的三边长，
∵2+2＝4，∴a≠2，
∴ ，则 .
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简；
（2）根据三角形三边关系以及等腰三角形的性质可得a=4，然后将a=4代入化简后的式子中进行计算即可.
18．已知 和 都是等腰直角三角形，点 是直线 上的一动点（点 不与 ， 重合），连接 ．
（1）在图 中，当点 在边 上时，求证： ；
（2）在图 中，当点 在边 的延长线上时，结论 是否还成立？若不成立，请猜想 ， ， 之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图 中，当点 在边 的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出 ， ， 之间存在的数量关系及直线 与直线 的位置关系．
【答案】（1）证明： 和 都是等腰直角三角形
， ，
（2）解：结论 不成立，猜想 ，理由如下：
又 ，
（3）解： ； ；理由如下：
补全图形如图3，
∵ 是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
由（1）同理可得，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°，
∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°，
∴ ．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明，可得BD=CE，即可推出BC=BD+CD=EC+CD，再得到∠ECD=90°，即可求解；
（2）不成立，存在的数量关系为CE=BC+CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（3）根据题意补全图形，同（1）可证即可求解。
19．例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得① ，或② ，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3.
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式 的值为负数，求x的取值范围.
【答案】（1）解不等式x2﹣9＞0，即为解 ，
根据“两数相乘，同号得正”
得① ，或② ，
解不等式组①得，x＞3，
解不等式组②得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣3；
（2）由题得不等式 ，
根据“两数相除，同号得正，异号得负”
得① ，或② ，
解不等式组①得， ，
不等式组②无解，
∴原不等式的解集为 .
【解析】【分析】（1）结合题中的方法，先对不等式左边因式分解为两个多项式，再分类讨论即可；（2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可.
20．如图，在直角坐标系中，直线y＝kx＋b经过（0，4），（10，﹣4）两点，与x轴交于一点A，与y轴交于点B．
（1）求这条直线的解析式；
（2）求出三角形AOB的面积；
（3）观察图象直接写出：当x取何值时，y大于0？当x取何值时，y小于0？
（4）如果P点是x轴上的一点，且△PAB为等腰三角形，请你直接写出符合条件的P点坐标．
【答案】（1）解：设直线的解析式为y＝kx＋b，
把（0，4）（10，﹣4）代入得 ，
解得 ，
所以直线的解析式是 ；
（2）解：当x＝0时，y＝4，
当y＝0时， ，解得x＝5，
所以A（5，0），B（0，4），
所以S△AOB＝ ；
（3）由图象可知当x＜5时，y＞0；当x＞5时，y＜0；
（4）P（ ，0）或（5﹣ ，0）或（5＋ ，0）或（﹣5，0）
【解析】【解答】解：（4）①如图1，
，
当PA＝PB时，设P（x，0），则AP＝BP=5﹣x，
在Rt△PBO中，OP2＋OB2＝PB2，
∴x2＋42＝（5﹣x）2，
解得x＝ ，
∴P点的坐标是（ ，0）．
②如图2，
，
当AP＝AB时，
∵ ，
AP＝AB
∵A点的坐标是（5，0），
∴P点在A点左侧时，坐标是（5﹣ ，0），
P点在A点右侧时，坐标是（5＋ ，0）．
③如图3，
，
当BP＝BA时，
∵BO⊥AP，
∴OA=OP，
∵A点的坐标是（5，0），
∴P点的坐标是（﹣5，0）．
综上，当△PAB为等腰三角形时，P点坐标的坐标是（ ，0）或（5﹣ ，0）或（5＋ ，0）或（﹣5，0）．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 x＝5， 再求出 A（5，0），B（0，4）， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）根据函数图象判断求解即可；
（4）分类讨论，结合图象，利用勾股定理求解即可。
21．已知点A在射线CE上， ．
（1）如图1，若 // ，求证： // ；
（2）如图2，若 ， ，请证明 ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作 // 交射线CE于点F，当 时，求 的度数．（直接写出结果）
【答案】（1）证明：∵AC∥BD，
∴∠DAE=∠BDA，
∵∠BDA=∠C，
∴∠DAE=∠C，
∴AD∥BC；
（2）证明：如图2，设CE与BD相交于点G，∠BGA=∠BDA+DAE，
∵BD⊥BC，
∴∠BGA+∠C=90°，
∴∠BDA+∠DAE+∠C=90°，
∵∠BDA=∠C，
∴∠DAE+2∠C=90°；
（3）
【解析】【解答】解：（3）如图3，设∠DAE=α，则∠DFE=8α，
∵∠DFE+∠AFD=180°，
∴∠AFD=180°-8α，
∵DF∥BC，
∴∠C=∠AFD=180°-8α，
又∵2∠C+∠DAE=90°，
∴2（180°-8α）+α=90°，
∴α=18°，
∴∠C=180°-8α=36°=∠ADB，
又∵∠C=∠BDA，∠BAC=∠BAD，
∴∠ABC=∠ABD= ∠CBD=45°，
△ABD中，∠BAD=180°-45°-36°=99°．
答：∠BAD的度数是99°．
【分析】（1）根据AC∥BD，可得出∠DAE=∠BDA，再根据∠BDA=∠C，得出∠DAE=∠C，进而判定AD∥BC；
（2）设CE与BD相交于点G，∠BGA=∠BDA+DAE，由BD⊥BC，得出∠BGA+∠C=90°，∠BDA+∠DAE+∠C=90°，因为∠BDA=∠C，即可得出结论；
（3）设∠DAE=α，则∠DFE=8α，根据DF∥BC，即可得出∠C=∠AFD=180°-8α，再根据2∠C+∠DAE=90°，得出2（180°-8α）+α=90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得出∠BAD的度数。
22．如图，已知 ，点P在OA边上， ，点M，N在边OB上， ．
（1）作出点P到OB的垂线段PC，垂足为C；
（2）若 ，求ON的长．
【答案】（1）解：如图所示
（2）解： ， ，
，
， ，
，
，
．
【解析】【分析】（1）作出点P到OB的垂线段PC，垂足为C；
（2）由 ， ，得出CM、CN的值，由 ， ，得出 ，由此得出OC的值，代入即可得出ON的值。
23．在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售10斤A级别和20斤B级别茶叶的利润为4000元，销售20斤A级别和10斤B级别茶叶的利润为3500元
（1）分别求出每斤A级别茶叶和每斤B级别茶叶的销售利润；
（2）若该经销商一次购进两种级别的茶叶共200斤用于出口.设购买A级别茶叶a斤（70≤a≤120），销售完A、B两种级别茶叶后获利w元.
①求出w与a之间的函数关系式；
②该经销商购进A、B两种级别茶叶各多少斤时，才能获取最大的利润，最大利润是多少
【答案】（1）解：设一斤A级别的茶叶的销售利润为x元，一斤B级别茶叶的销售利润为y元
由题意得：
解得：
答：一斤A级别的茶叶的销售利润为100元，一斤B级别茶叶的销售利润为150元.
（2）解：①由题意得，w＝100a+150（200－a）＝－50a＋30000.
②∵－50＜0
∴w的值随a值的增大而减小
∵70≤a≤120，
∴当a＝70时，w取得最大值，此时w＝26500，200－70＝130.
所以，购买A级别茶叶70斤，购买B级别茶叶130斤时，才能获取最大的利润，最大利润是26500元.
【解析】【分析】（1）设每千克A级别茶叶和B级别茶叶的销售利润分别为x元和y元；（2）设购进A种级别的茶叶akg，购进B种级别的茶叶（200-a）kg.销售总利润为w元.构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题.
24．如图，直线l1：y＝kx＋4（k关0）与x轴，y轴分别相交于点A，B，与直线l2：y＝mx（m≠0）相交于点C（1，2）.
（1）求k，m的值；
（2）求点A和点B的坐标.
【答案】（1）解：将点C（1，2）的坐标分别代入y＝kx＋4和y＝mx中，
得2＝k＋4，2＝m，
解得k＝－2，m＝2
（2）解：在y＝－2x＋4中，令y＝0，得x＝2，
令x＝0，得y＝4，
点A（2，0），点B（0，4）.
【解析】【分析】(1)将点C (1，2)的坐标分别代入y=kx+4和y= mx中，即可得到k，m的值；(2)在y=-2x+4中，令y=0，得x=2；令x=0，得y=4，即可得到点A和点B的坐标.
25．节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水 与滴水时间 的关系用可以显示水量的容器做如图 的试验，并根据试验数据绘制出如图 的函数图象，结合图象解答下列问题.
（1）容器内原有水多少升.
（2）求 与 之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升.
【答案】（1）解：根据图象可知，t=0时，w=0.3，即容器内原有水0.3升.
（2）解：设w与t之间的函数关系式为w=kt+b，
将（0，0.3），（1.5，0.9）代入，
得： ，
解得： ，
故w与t之间的函数关系式为w=0.4t+0.3；
由解析式可知，每小时滴水量为0.4L，
一天的滴水量为：0.4×24=9.6L，
即在这种滴水状态下一天的滴水量是9.6升.
【解析】【分析】（1）由图象可知，当t=0时，w=0.3，即容器内原有水0.3升；（2）设w与t之间的函数关系式为w=kt+b，将（0，0.3），（1.5，0.9）代入，即可求出w与t之间的函数关系式；由解析式可知，每小时滴水量为0.4L，一天的滴水量为：0.4×24=9.6L.
26．在农业技术部门指导下，小明家今年种植的猕猴桃喜获丰收.去年猕猴桃的收入结余12000元，今年猕猴桃的收入比去年增加了20%，支出减少10%，结余今年预计比去年多11400元.请计算：
（1）今年结余 元；
（2）若设去年的收入为 元，支出为 元，则今年的收入为 元，支出为 元（以上两空用含 、 的代数式表示）
（3）列方程组计算小明家今年种植猕猴桃的收入和支出.
【答案】（1）23400
（2）1.2x；0.9y
（3）解：由题意可得，
解得
则 ，
，
答：小明家今年种植猕猴桃的收入和支出分别为50400元、27000元.
【解析】【解答】（1）由题意可得，
今年结余： （元），（2）由题意可得，
今年的收入为： （元），
支出为： （元），
【分析】（1）根据去年猕猴桃的收入结余12000元，结余今年预计比去年多11400元，可以计算出今年的结余；（2）根据今年猕猴桃的收入比去年增加了20%，支出减少10%，可以表示出今年的收入和支出；（3）根据题意可以得到相应的方程组，从而可以求得小明家今年种植猕猴桃的收入和支出.
27．已知直线y=x+b分别交x轴于点A、交y轴于点B(0，2)．
（1）求该直线的函数表达式；
（2）求线段AB的长．
【答案】（1）解：∵直线y=x+b分别交x轴于点A、交y轴于点B(0，2) ∴2=0+b
解得b=2 ∴该直线的函数表达式为：y=x+2
（2）解：由（1）可得点A的坐标为(-2，0)
∵∠AOB-=90· ∴由勾股定理可得AB的长为
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，就可求出b的值，即可得到一次函数解析式。
（2）点A在x轴上，由y=0求出x的值，就可得到点A的坐标，利用点A、B的坐标，可求出OA、OB的长，再在Rt△AOB中，根据勾股定理可求出AB的长。
28．某校为学生装一台直饮水器，课间学生到直饮水器打水．他们先同时打开全部的水龙头放水，后来又关闭了部分水龙头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图，请结合图象回答下列问题：
（1）求当x>5时，y与x之间的函数关系式；
（2）假定每人水杯接水0.7升，要使40名学生接水完毕，课间10分钟是否够用 请计算回答．
【答案】（1）解：设x＞5时，y与x之间的函数关系式为y = kx+b，
由题意得
解得 ，
所以x＞5时，y与x之间的函数关系式为y=﹣1.5x+16.5
（2）解：够用．理由如下：
接水总量为0.7×40=28（升），
饮水机内余水量为30﹣28=2（升），
当y =2时，有2 =﹣1.5x+16.5，
解得：x=9
所以要使40名学生接水完毕，课间10分钟够用．
【解析】【分析】（1）依题可设 y与x之间的函数关系式为y = kx+b， 将（5，9），（7，6）代入解析式得一个二元一次方程组，解之即可得答案.
（2）先求出接水总量，从而可得饮水机内余水量为2，将2代入（1）中求得解析式中的y，从容可得求得x值，与10比较大小即可得出答案.
29．某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这样包装盒有两种方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系．
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：
（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？
（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
（3）请分别求出y1、y2与x的函数关系式．
（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
【答案】（1）解：500÷100=5（元/盒）．
答：方案一中每个包装盒的价格是5元
（2）解：当x=0时，y=2000，
∵（3000﹣2000）÷4000= （元/盒），
∴方案二中租赁机器的费用是2000元，生产一个包装盒的费用是 元
（3）解：根据题意得：
y1=5x，y2= x+2000
（4）令y1＜y2，即5x＜ x+2000，
解得：x＜ ，
∵x为正整数，
∴0＜x≤421；
令y1＞y2，即5x＞ x+2000，
解得：x＞ ，
∵x为正整数，
∴x≥422．
综上所述：当0＜x≤421时选择方案一省钱；当x≥422时选择方案二省钱
【解析】【分析】（1）根据单价=总价÷数量即可求出方案一中每个包装盒的价格；（2）由x=0时y=2000即可得出租赁机器的费用，再根据单价=总价÷数量即可求出方案二中生产一个包装盒的费用；（3）根据总价=单价×数量（总价=单价×数量+租赁机器费用）即可得出y1、y2与x的函数关系式；（4）分别令y1＜y2和y1＞y2，求出不等式的解集结合x为正整数即可得出结论．
30．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌ ，故EF、BE、DF之间的数量关系
为 ．
（2）类比引申
如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF=45°，连结EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系为 ，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠BAD+∠EAC=45°，若BD=3，EC=6，求DE的长．
【答案】（1）△AFE；EF=DF+BE
（2）EF=DF﹣BE
（3）解：联想拓展：
如图3，把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，
由旋转得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACG=∠B=45°，
∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°，
∵EC=6，CG=BD=3，
由勾股定理得：EG= = =3 ，
∵∠BAD=∠CAG，∠BAC=90°，
∴∠DAG=90°，
∵∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠CAG+∠EAC=45°=∠EAG，
∴∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠EAG=45°，
∵AE=AE，
∴△AED≌△AEG，
∴DE=EG=3 ．
【解析】【解答】解：（1.）思路梳理：
如图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，即AB=AD，
由旋转得：∠ADG=∠A=90°，BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴∠FDG=∠ADF+∠ADG=90°+90°=180°，
即点F、D、G共线，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=90°﹣45°=45°，
∴∠FAD+∠DAG=∠FAG=45°，
∴∠EAF=∠FAG=45°，
在△AFE和△AFG中，
∵ ，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=DF+DG=DF+AE；
故答案为：△AFE，EF=DF+AE；
（2.）类比引申：
如图2，EF=DF﹣BE，理由是：
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，则G在DC上，
由旋转得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠BAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=90°﹣45°=45°，
∴∠EAF=∠FAG=45°，
在△EAF和△GAF中，
∵ ，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=DF﹣DG=DF﹣BE；
【分析】（1.）先根据旋转得：∠ADG=∠A=90°，计算∠FDG=180°，即点F、D、G共线，再根据SAS证明△AFE≌△AFG，得EF=FG，可得结论EF=DF+DG=DF+AE；（2）如图2，同理作辅助线：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，证明△EAF≌△GAF，得EF=FG，所以EF=DF﹣DG=DF﹣BE；（3）如图3，同理作辅助线：把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，证明△DAE≌△GAE，得DE=EG，先由勾股定理求EG的长，从而得结论．
31．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长.
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°
（2）解：∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及线段平行的性质即可求出∠F的度数。
（2）根据△EDC为等边三角形，即可得到答案。
32．在中，，，过点C作直线，于点M，于点N．
（1）若在外（如图1），求证：；
（2）若与线段相交（如图2），且，，则 ．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）1.5
【解析】【解答】解：（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：1.5．
【分析】（1）先利用“AAS”证明，可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证明，可得，，再利用线段的和差及等量代换可得。
33．（1）分式化简：
（2）如图，．
求证：．
【答案】（1）解：
.
（2）证明：在与中，
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据分式的加法进行计算即可求解；
（2） 根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等即可证明.
34．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．
（1）求证：CD＝AC + ED．
（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）证明：是等腰直角三角板，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
又
，
，
，即勾股定理得证．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
35．如图，点 ， ， 分别在等边 的各边上，且 于点 ， 于点 ， 于点 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明： 是等边三角形，
，
， ， ，
．
，
，
是等边三角形
（2）解：根据题意可得：
∵△PMN是等边三角形，
∴PM=MN=NP，
在△PBM、△MCN和△NAP中，
，
∴ （AAS），
， ；
，
，
．
是正三角形，
，而 ，
．
，
，
，
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出CM的长．
36．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
【答案】（1）解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，
152+202=252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∵AC×BC=AB×CD，
∴CD=AC×BC÷AB=12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
（2）解：在Rt△BDC中，BD= =16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程=CD+BD=12+16=28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，再结合三角形的面积求出CD的长即可；
（2）先利用勾股定理求出BD的长，再利用线段的和差求解即可。
37．（1）解不等式；
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】（1）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
即该不等式的解集为.
（2）解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：.
把不等式组的解集在数轴上表示为：
.
【解析】【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤进行求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，然后根据解集的表示方法表示在数轴上即可.
38．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
（1）求m和b的值；
（2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当的面积为12时，求t的值；
【答案】（1）解：∵点C（ 2，m）在直线y＝ x＋2上，
∴m＝ （ 2）＋2＝2＋2＝4，
∴点C（ 2，4），
∵函数y＝x＋b的图象过点C（ 2，4），
∴4＝×（ 2）＋b，解得b＝，
即m的值是4，b的值是；
（2）（2）∵函数y＝ x＋2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点A（2，0），点B（0，2），
∵函数y＝x＋的图象与x轴交于点D，
∴点D的坐标为（ 14，0），
∴AD＝16，
由题意可得，DE＝2t，
当点E在线段AD上时，AE＝16 2t，
由（1）知点C的坐标为（ 2，4），
∵△ACE的面积为12，
∴，
解得，t＝5，
当点E在线段DA的延长线上时，AE=2t-16，
∵△ACE的面积为12，
∴，
解得，t＝11，
即当△ACE的面积为12时，t的值是5或11.
【解析】【分析】（1）将点C（ 2，m）代入y＝ x＋2，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再将点C的坐标代入y＝x＋b，可以得到b的值；
（2）分别令求y＝ x＋2中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，得点A、点B的坐标，令y＝x＋中的y=0算出对应的x的值可得点D的坐标，然后分当点E在线段AD上时与当点E在线段DA的延长线上时两种情况，用含t的代数式表示出AE的长度，然后根据△ACE的面积为12，建立方程即可得到t的值.
39．“颗粒归仓，饭碗更牢”.夏收是农业四季里的关键一环，冬小麦是夏收的主体粮食，每年的五、六月份是我国冬小麦的收割时间.红星农业合作社租用小型收割机和中型收割机参与冬小麦收割.已知每台中型收割机每小时比每台小型收割机多收割2亩小麦.收割完10亩小麦，每台中型收割机所用时间为每台小型收割机所用时间的.
（1）求每台小型、中型收割机每小时分别收割多少亩小麦；
（2）合作社已租用3台小型收割机和2台中型收割机.由于天气变化，为加快收割进度，合作社决定再租用4台两种型号的收割机.每台小型、中型收割机工作一小时的费用分别为400元、800元，若要使每天收割的小麦不少于480亩，求应再租用几台小型收割机使得每天的费用最少（两种型号收割机每天的工作时长均为6小时）？
【答案】（1）解：设每台小型收割机每小时收割x亩，则每台中型收割机每小时收割亩，
根据题意列方程得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴
答：每台小型收割机每小时收割8亩，则每台中型收割机每小时收割10亩；
（2）解：设再租用m台小型收割机，则再租用台中型收割机，
根据题意得，，
解得，
设每天的总费用为w，则，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴小型收割机越多，费用越少，
∴应再租用2台小型收割机使得每天的费用最少.
【解析】【分析】（1）设每台小型收割机每小时收割x亩，则每台中型收割机每小时收割亩，根据“ 收割完10亩小麦，每台中型收割机所用时间为每台小型收割机所用时间的”列出方程并解之即可；
（2）设再租用m台小型收割机，则再租用台中型收割机，根据“ 每天收割的小麦不少于480亩 ” 列出不等式，可求出y的范围，再列出每天的总费用关于m的函数解析式，然后利用一次函数的性质求解即可.
40．已知是的正比例函数，且当时，.
（1）求与之间的函数表达式；
（2）当时，的值是多少？
【答案】（1）解：设 ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
∴ 与 之间的函数表达式为 .
（2）解：当 时， ，
解得 .
【解析】【分析】（1）设y与x的函数解析式为y=kx（k≠0），将已知x，y的值代入函数解析式，可得到K的值，即可求出y与x的函数解析式.
（2）将y=5代入函数解析式，可求出关于x的方程的解即可.
41．实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去.
数学研究：如图，折线、分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图象.
（1）求线段AB对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？
【答案】（1）解：设线段AB对应的函数表达式为，
由图象得，当时，，当时，，代入得：，
解得：，
∴线段AB对应的函数表达式为（0≤x≤2）；
（2）解：设线段DE对应的函数表达式为，
由题意得，，
将代入，得，
∴线段DE对应的函数表达式为，
∵点E是线段AB和线段DE的交点，故E满足：
，解得：，
∴；
（3）或
【解析】【解答】解：（3）设线段AD对应的函数表达式为，
将A（0，4）、代入，得：，
解得：，
∴设AD对应的函数表达式为，
由题意，分两种情况：
当y=2y3时，由－2x+4=2(－8x+4)得：；
当y=2y2时，由－2x+4=2(16x－8)得：，
故当或时，它离乙的路程与它离甲的路程相等.
【分析】（1）结合点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的函数解析式；
（2）观察函数图象可知k=16，设直线DE的函数解析式为y=16x+b，将点D的坐标代入，可求出b的值，即可得到直线DE的函数解析式，将两函数解析式联立方程组，解方程组，可得到点E的坐标；
（3）利用点A，D的坐标，可求出直线AD的函数解析式，再分情况讨论：当y=2y3时；当y=2y2时；分别建立关于x的方程，解方程求出x的值.
42．如图①，在ΔABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，E为BC上一点，F为CA上一点，且FD⊥ED，垂足为D.
（1）若AF＝3.BE＝2，求FE的长；
（2）小明看到这个题目，提出这样的思路：如图②，延长ED到M，使得DM＝DE，连接AM，FM.首先证明∠FAM＝90°，再求出FM的长，最后得出FE的长，请你按照这个思路完成解答.
若点E在边CB的延长线上，点F在边AC的延长线上，请直接写出AF、BE、FE的等量关系.
【答案】（1）解：根据小明的作图，如下：
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
.
（2）
【解析】【解答】解：（2）延长ED，使DM=DE，连接AM，MF，
∵点D为AB的中点，
AD=BD，
在△ADM和△BDE中
∴△ADM≌△BDE（SAS）
∴AM=BE，∠DBE=∠MAD，
∵∠ABC+∠DBE=180°，
∴∠ABC+∠MAD=180°，
∴MA∥BC，
∴∠C=∠MAF=90°，
∵DF⊥DE，点D是EM的中点，
∴DF垂直平分ME，
∴FE=FM，
在Rt△MAF中
MA2+AF2=MF2
∴BE2+AF2=EF2.
【分析】（1）根据小明的作图，先画出图形，利用SAS证明△ADM≌△BDE，利用全等三角形的性质可证得∠B=∠DAM，同时可求出AM的长；再证明∠FAM=90°，利用勾股定理求出FM的长，然后利用垂直平分线的性质，可求出FE的长；
（2）根据题意画出图形，延长ED，使DM=DE，连接AM，MF，利用SAS证明△ADM≌△BDE，利用全等三角形的性质可证得AM=BE，∠DBE=∠MAD；再证明∠ABC+∠MAD=180°，可得到MA∥BC，利用平行线的性质可证得∠MAF=90°；再利用垂直平分线的性质可推出EF=FM；然后利用勾股定理可得到MA2+AF2=MF2，代入可证得结论.
43．某国家5A级景区开展一年一度的旅游主题活动，活动将持续两周.景区内某餐厅今年活动期间推出“精品套餐”，在午餐和晚餐时间只出售该套餐，且定价相同.活动开始后，该套餐的销售情况如下：第一天，午餐、晚餐时间均按定价出售，当天销售总收入为30000元；第二天，午餐时间按定价共售出100份；晚餐时间按定价打九五折出售（即按定价的95%出售），当天销售总收入为37650元，且全天销售量比第一天多30%（销售量指售出的套餐的份数）.
（1）若第一天的全天销售量为m，请用含m的代数式表示第二天晚餐时间该套餐的销售量；
（2）该套餐的定价为多少元？
（3）第三天，餐厅在午餐时间按定价打九二折出售该套餐，晚餐按定价出售，全天销售量比第一天多32%；第四天，午餐和晚餐时间均按定价打九折出售，全天销售量比第一天多1倍.根据该餐厅往年活动期间的销售数据，午餐时间套餐的销售量和晚餐时间套餐的销售量有如下规律：
①若套餐价格不变，则二者分别保持基本稳定；
②若套餐按定价打折，折扣相同，则二者的增长率也会大致相同.
参考前四天该套餐按定价所打折扣与销售量增长率之间的关系，若第五天午餐与晚餐时间均按定价打八八折出售该套餐，你认为全天销售量会是多少？请说明理由.
【答案】（1）解：第一天的全天销售量为m，第二天晚餐套餐的销售量为：
份；
（2）解：套餐定价为： ，
则： ，
解得：
经检验： 符合题意，
套餐定价为： 元，
答：该套餐定价为120元.
（3）解：第一天午餐卖100份，晚餐买250﹣100＝150份，
第二天午餐卖100份，全天卖250×1.3＝325份，晚上卖325﹣100＝225份，
打折后的增长率为： ，
第三天晚餐卖150份，午餐卖： ，
打折后的增长率为： ，
第四天销售量为：250×2＝500，
增长率为：1×100%＝100%，
由此可知打x折后的销售量的增长率y是一次函数，
设这个函数为：
则：①0.5＝0.95k+b，
②0.8＝0.92k+b，
③1＝0.9k+b，
解得：k＝﹣10，b＝10
∴y＝﹣10x+10，
当x＝0.88时，y＝1.2，
第5天全天的销售量为：250×（1+120%）＝550份，
答：第5天的销售量为550份.
【解析】【分析】（1）依据第二天全天销售量比第一天多30%可得第二天的销售总量为（1+30％）m，再减去第二天中午销售的数量即可表示出第二天晚餐的销售量；
（2）通过第二天午餐销售套餐的收入+第二天晚餐销售套餐的收入=37650列分式方程求解；
（3）找出前几天每天午餐及晚餐销售的数量找出增长率，通过观察即可发现“ 打x折后的销售量的增长率y是一次函数 ”，从而建立函数模型，求出第五天的增长率即可.
44．厦深铁路开通后，直线l1与l2分别表示从深圳北开往潮阳站的动车和从潮阳站开往深圳的高铁，两车同时出发，设动车离深圳北的距离为y1（千米），高铁离深圳的距离为距离y2（千米），行驶时间为t（小时），与t的函数关系如图所示：
（1）高铁的速度为 km/h；
（2）动车的速度为 km/h；
（3）动车出发多少小时与高铁相遇？
（4）两车出发经过多长时间相距50千米？
【答案】（1）200
（2）150
（3）解：设动车对应的函数解析式为：y1＝kx，则2k＝300，得k＝150，∴动车对应的函数解析式为：y1＝150x，高铁对应的函数解析式为：y2＝ax+b， ，得 ，即高铁对应的函数解析式为：y2＝﹣200x+300，则 ，得 ，即动车出发 小时与高铁相遇；
（4）解：由题意可得：|150x﹣（﹣200x+300）|＝50，解得：x1＝ ，x2＝1，即两车出发 小时或1小时时相距50千米.
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：高铁的速度为：300÷1.5＝200km/h.
故答案为：200；
（2）由题意可得：动车的速度为：300÷2＝150km/h.
故答案为：150；
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得高铁的速度；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得动车的速度；
（3）根据函数图象中的数据利用待定系数法可以分别求得高铁和动车对应的函数解析式，从而可以解答本题；
（4）根据（3）中的函数解析式，令它们的差的绝对值等于50即可解答本题.
45．如图，直线 与 轴， 轴分别交于 、 两点，且 .
（1）求 的值；
（2）若点 是第一象限内的直线 上一个动点，当点 运动到什么位置时， 的面积是1；
（3）在（2）成立的情况下，在 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形 若存在，请直接写出满足条件的所有 点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵OB=1，
∴B（1，0），
∵点B在直线y=kx 2上，
∴k 2=0，
∴k=2
（2）解：由（1）知，k=2，
∴直线BC解析式为y=2x 2，
∵点A（x，y）是第一象限内的直线y=2x 2上的一个动点，
∴y=2x 2（x＞1），
∴S=S△AOB= ×OB×|yA|= ×1×|2x-2|=x-1，
∵△AOB的面积是1；
∴x=2，
∴A（2，2），
∴当点A在（2，2）时， 的面积是1
（3）解：设点P（m，0），
∵A（2，2），
∴OA= ，
∴OP=|m|，AP= ，
①当OA=OP时，∴ =|m|，
∴m=± ，
∴P1（ ，0），P2（ ，0），
②当OA=AP时，
∴ = ，
∴m=0或m=4，
当m=0时，点P与点O重合，不能组成三角形，舍去，
∴P3（4，0），
③当OP=AP时，
∴|m|= ，
∴m=2，
∴P4（2，0），
即：满足条件的所有P点的坐标为P1（ ，0），P2（ ，0），P3（4，0），P4（2，0）.
【解析】【分析】（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；
（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式建立方程即可求出点A的纵坐标，将点A的纵坐标代入直线解析式算出对应的自变量的值，从而即可得出点A的坐标；
（3）设出点P（m，0），表示出AP，OP，计算出OA，分 ①当OA=OP时 ， ②当OA=AP时， ③当OP=AP时三种情况讨论计算即可得出点P坐标.
46．如图， 为 内部一点， 、 分别为点 关于直线 、 对称的点．
（1）若 ，求 的度数；
（2）试猜想当 的值最大时， 与 需要满足什么数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，连接OP、OR、PR，分别交AB、BC与点E、F，
P、R分别为点 关于直线 、 对称的点，
，
，
，
（2）解：如图1，连接PB、BR、PR，易知 ，
如图2，当P、B、R三点共线时，PR有最大值=PB+BR，
P、B、R三点共线，
P、O、R构成三角形，
、 分别为点 关于直线 、 对称的点，
OB=BP，OB=BR， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
当 的值最大时， 与 需要满足
【解析】【分析】（1）根据对称求出OE⊥AB，BC⊥OR，再计算求解即可；
（2）先作图，再根据 P、B、R三点共线求最大值。
47．如图
（1）问题背景：如图①，在四边形 中， ．E，F分别是 上的点，且 ，请探究图中线段 之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长 到点G，使 ．连接 ，先证明 ，得 ；再由条件可得 ，证明 ，进而可得线段 之间的数量关系是 ．
（2）探索延伸：如图②，在四边形 中， ．E，F分别是 ， 上的点，且 ．问（1）中的线段 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以60海里/小时的速度前进.2小时后，甲 乙两舰艇分别到达E，F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）EF=BE+DF
（2）解： 仍然成立．
证明：如图1，延长 到G，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
（3）解：如图2，
连接 ，延长 相交于点G．
∵∠AOB=20°+90°+（90°-80°）=120°，∠EOF=60°，
∴ ，
又∵ ，
∴符合（2）中探索延伸中的条件，
∴结论 成立，
即 海里．
答：此时两舰艇之间的距离是220海里．
【解析】【解答】解：（1）在
和
中，
，
∴ ，
∴ ．
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在
和
中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
故答案为：
；
【分析】（1）先证明
，再证明
，进行作答即可；
（2）先求出
，再证明
和
，最后根据全等的性质进行证明即可；
（3）先求出
，再根据题意作答即可。
48．解答下列各题
（1）如图1，已知OA＝OB，数轴上的点A所表示的数为m，且|m+n|＝2
①求点A所表示的数m为；
②求代数式n2+m﹣9的值．
（2）旅客乘车按规定可以随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需购买行李票，设行李票y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，其图象如图2所示．
①当旅客需要购买行李票时，求出y与x之间的函数关系式；
②如果张老师携带了42千克行李，她是否要购买行李票？如果购买需买多少行李票？
【答案】（1）解：①由图1可知，OA＝OB，
∵OB＝ ＝ ，
∴OA＝ ，
∴点A表示的数m为﹣ ，
故答案为：﹣ ；
②∵|m+n|＝2，m＝﹣ ，
∴m+n＝±2，m＝﹣ ，
当m+n＝2时，n＝2+ ，则n2+m﹣9＝（2+ ）2+（﹣ ）﹣9＝9+4 +（﹣ ）﹣9＝3 ；
当m+n＝﹣2时，n＝﹣2+ ，则n2+m﹣9＝（﹣2+ ）2+（﹣ ）﹣9＝9﹣4 +（﹣ ）﹣9＝﹣5 ；
由上可得，n2+m﹣9的值是3 或﹣5
（2）解：①当旅客需要购买行李票时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
代入（60，5），（90，10）得： ，解得： ，
∴当旅客需要购买行李票时，y与x之间的函数关系式是y＝ x﹣5；
②当y＝0时，0＝ x﹣5，得x＝30，
当x＝42时，y＝ ×42﹣5＝2，
故她要购买行李票，需买2元的行李票．
【解析】【分析】（1）①利用勾股定理求出OB，可得OA=OB，再表示出点A的坐标即可；②分情况讨论，先求出n的值，再代入计算即可；（2）①根据图像找两个点坐标，利用待定系数法求解即可；②将y=0，x=42分别代入解析式求解即可。
49．如图1，在 和 中， ， ， .
（1）若 三点在同一直线上，连接 交 于点 ，求证： .
（2）在第（1）问的条件下，求证： ；
（3）将 绕点 顺时针旋转得到图2，那么第（2）问中的结论是否依然成立 若成立，请证明你的结论：若不成立，请说明理由.
【答案】（1）解：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴ΔBAD≌ΔCAE．
（2）解：∵ΔBAD≌ΔCAE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠AFB=90°．
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠ACE+∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°，
∴BD⊥CE．
（3）解：成立．理由如下：
延长BD交CE于点M，交AC于点F．
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴ΔBAD≌ΔCAE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠AFB=90°．
∵∠AFB=∠CFM，
∴∠CMF=90°，
∴BD⊥CE．
【解析】【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用”SAS“判断出 ΔBAD≌ΔCAE；（2）由 ΔBAD≌ΔCAE，得到∠ABD=∠ACE．，再判断出∠ACE+∠CFD=90° ，即可证出结论；（3）先同（1）的方法判断出 ΔBAD≌ΔCAE， 再同（2）的方法判断出 BD⊥CE .
50．如图，在 中， ， ，BD是斜边上高动点P从点A出发沿AB边由A向终点B以 的速度匀速移动，动点Q从点B出发沿射线BC以 的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止 连接AQ，交射线BD于点 设点P运动时间为t秒.
（1）在运动过程中， 的面积始终是 的面积的2倍，为什么？
（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时， 和 相等.
【答案】（1）解：过点E作 于M， 于N，
， ，BD是斜边上高，
平分 ，
， ，
，
的面积始终是 的面积的2倍，
（2）解： 平分 ，
，
在 与 中
，
≌ ，
，
解得： ，
时， 和 相等.
【解析】【分析】（1） 为等腰直角三角形斜边上的高，根据三线合一得BD为角平分线，所以E到AB和E到BC距离相等；又 的底BQ为 的底AP的2倍，得证.（2） 和 相等，加上BE为公共边， ，即有三角形全等，利用对应边相等列方程即求出t的值.
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