【综合题强化训练·50道必刷题】浙教版九年级上册期末数学卷（原卷版 解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
【综合题强化训练·50道必刷题】浙教版九年级上册期末数学卷
1．2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1、A2，正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片.
（1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是 　 　；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率.
2．如图，点E为的边延长线上一点，与交于点F，与交于点G.
（1）求证：；
（2）若，，求的长度.
3．如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接.
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）.
4．将4张分别写着数字1，2，3，4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率.（请选用“画树状图”或“列表”的一种方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片数字为“1”.
5．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为，计划中的建筑材料总长，设两间饲养室的宽度为，总占地面积为.
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）求饲养室的宽度为多少时，饲养室最大面积多少？
（3）若要使两间饲养室合计占地总面积不低于，求饲养室的宽度的范围.
6．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；
7．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；
（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．
8．为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷词查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；
B：基本了解；C：了解很少；D：不了解。并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有　 　；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）七年一班从“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
9．如图，在矩形 中， 是 边上的动点，连结 ，过点 作 交 于点 .
（1）若 ，则 的长为　 　；
（2）在点 运动的过程中， 的最大值为　 　.
10．如图，反比例函数的图象与正比例函数y=2x相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，AB⊥BC．
（1）求反比例函数解析式及点B坐标；
（2）求△ABC的面积．
11．两个大小不同且都含有30°角的直角三角板按如图所示放置，将△ABC与△EDC的顶点C重合，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CED＝30°．
（1）如图1，当点E在AC上，点D在BC上时，．求；
（2）如图2，将△EDC绕着点C旋转一定角度时，求；
（3）如图2，当点A，E，D在同一条直线上时，连接BD，若CD＝1，BC＝3，求BD．
12．中，，以点A为中心，分别将线段，逆时针旋转得到线段，，连接，延长交于点F．
（1）如图1，若，的度数为　 　；
（2）如图2，当吋，
①依题意补全图2；
②猜想与的数量关系，并加以证明．
13．苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”．小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：
移植棵数（n） 成活数（m） 成活率（） 移植棵数（n） 成活数（m） 成活率（）
50 47 0.940 1500 1335 0.890
270 235 0.870 3500 3203 0.915
400 369 0.923 7000 6335
750 662 0.883 14000 12628 0.902
根据以上信息，回答下列问题：
（1）当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是　 　，那么成活率x是　 　
（2）随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是　 　
（3）若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活　 　；
（4）若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论符合题意吗？说明理由．
14．如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．
（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．
15．二次函数的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B在二次函数的图象上．
（1）求点B的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）二次函数的对称轴是直线　 　；
（3）已知点(，)，(，)，(，)在二次函数的图象上．若，比较，，的大小，并说明理由．
16．在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上两点．
（1）将写成的形式；
（2）若，比较，的大小，并说明理由；
（3）若，直接写出m的取值范围．
17．如图， 是某公园的一个圆形桌面的主视图， 是该桌面在一路灯下的影子， 是一个圆形凳面的主视图.（桌面、凳面均与地面平行）
（1）请标出路灯 的位置，并画出 在该路灯下的影子 ；（保留画图痕迹，光线用虚线表示）
（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为 ，并测得影子 ，求路灯 与地面的距离.
18．已知 是关于 的二次函数， ， 满足下表
x … -1 0 1 3 …
y … 0 0.75 1 0 …
观察上表（不用求解析式），直接写出该函数如下性质：
（1）图象函数名称　 　，开口方向　 　；
（2）对称轴表达式　 　；
（3）顶点坐标　 　；
（4） 随 的变化情况　 　，　 　.
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为线段BC上一动点（不与点B，
C重合），作射线AD、AB，将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线 ， ，过点B作BC的垂线，分别交射线 ， 于点E，F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：AB＝AF；
（3）用等式表示线段AC，BD与BE之间的数量关系，并证明．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证： ；
（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．
21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 （ ）过点（4，0）．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
22．在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含）票价2元，每增加5公里以内（含）加价1元”，如下图．
小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：
①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．
②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为　 　元，他使用学生卡实际支付　 　元；
（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为　 　．
23．如图，△ABC 中，∠B＝10°，∠ACB＝20°，AB＝4cm，三角形 ABC 按逆时针方向旋转一定角度后与三角形 ADE 重合，且点 C 恰好成为 AD 的中点.
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求出∠BAE 的度数和 AE 的长.
24．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上.已知AB=8cm，CD=2cm
（1）求⊙O的面积；
（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长.
25．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．
（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；
（2）若指针所指的两个数字都是方程x2﹣5x+6=0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x2﹣5x+6=0的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．
26．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
27．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
28．如图，进行绿地的长、宽各增加xm．
（1）写出扩充后的绿地的面积y（ ）与x（m）之间的函数关系式；
（2）若扩充后的绿地面积y是原矩形面积的2倍，求x的值．
29．如图，BD为⊙O的直径，弦AB、CD相交于点P，且AB=CD。
（1）求证：∠ABD=∠CDB。
（2）连结BC，若AB平分∠CBD，求 的度数。
30．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠ABD=45°，BC=6，AC=8．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
31．如图①，在 与 中， ， .
（1） 与 的数量关系是： 　 　 .
（2）把图①中的 绕点 旋转一定的角度，得到如图②所示的图形.
①求证： .
②若延长 交 于点 ，则 与 的数量关系是什么？并说明理由.
（3）若 ， ，把图①中的 绕点 顺时针旋转 ，直接写出 长度的取值范围.
32．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元.市场调査发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天销售量 （箱）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式.
（2）求该批发商平均每天的销售利润 （元）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式.
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
33．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 的顶点 ，过点 的双曲线 与矩形 的边 交于点E．
（1）求双曲线 的解析式以及点E的坐标；．
（2）若点P是抛物线 的顶点；
①当双曲线 过点P时，求顶点P的坐标；
②直接写出当抛物线 过点B时，该抛物线与矩形 公共点的个数以及此时t的值．
34．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．
35．现有一面12米长的墙，某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个矩形养鸡场ABCD（篱笆只围AB、BC、CD三边），其示意图如图所示．
（1）若矩形养鸡场的面积为92平方米，求所用的墙长AD．（结果精确到0.1米）（参考数据： ＝1.41， ＝1.73， ＝2.24）
（2）求此矩形养鸡场的最大面积．
36．一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度 (单位： )与水平距离 (单位： )近似满足函数关系 ，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为 ．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为 时，求此时铅球的水平距离．
37．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．
（1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于2的概率为　 　；
（2）小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5，那么小龙去；否则小东去．你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
38．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
39．如图，直线AB与坐标轴分别交于点A，点B，且OA，OB的长分别为方程x2－6x+8=0的两个根（OA＜OB），点C在y轴上，且OA︰AC=2︰5，直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D。
（1）求出点A、点B的坐标。
（2）请求出直线CD的解析式。
40．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x(秒)，△PBQ的面只为y(cm2).
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.
（2）求△PBQ的面积的最大值.
41．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数y＝x2＋bx的图象上
（1）当m＝-3时
①求这个二次函数的顶点坐标；
②若点（-1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且y2＞y1，则a的取值范围是 ▲ ；
（2）当mn＜0时，求b的取值范围
42．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．
（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
43．已知， 在 中， ， 点 E 是射线 上的动点， 点 O 是边 上的动点，且 ， 射线 交射线 于点 D．
（1）如图 1， 如果 ， 求 的值；
（2）联结， 如果 是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
（3）当点E在边上时， 联结， 求线段的长．
44．如图1.已知⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、B两点的横坐标分别为﹣1和7，弦AB的弦心距MN为3，
（1）求⊙M的半径；
（2）求弦CD的长；
（3）如图2，P在弦CD上，且CP＝2，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ＝∠CQD时，求CQ的长；
（4）如图3.若P点是弦CD上一动点，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ与∠CQD互余时，求△PEM面积的最大值.
45．如图，矩形 的两条边 ， 的长是方程 的两根，其中 ，沿直线 将矩形折叠，使点 与 轴上的点 重合，
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）求直线 的解析式；
（3）若点 在 轴上，平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
46．已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90．
（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．
i）求证：△CAE∽△CBF；
ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；
（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且 时，若BE＝1，AE=2，CE=3，求k的值；
（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
47．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程 的两个根，且OA>OB.
（1）若点E为x轴上的点，且△AOE的面积为 .
求：①点E的坐标；②证明：△AOE∽△DAO；
（2）若点M在平面直角坐标系中，则在直线AB上是否存在点F，使以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由.
48．如图所示，某公园在一块扇形0EF草坪上的圆心0处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置．喷头向外喷水．连喷头在内，柱高 米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．喷出的水流在与0点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2米．当喷头A旋转120°时，这块草坪可以全被水覆盖·
（1）建立适当的平面直角坐标系，使A的坐标为(0， )，水流的最高点B的坐标为(4，2)，求出此平面直角坐标系中抛物线水流对应的函数解析式；
（2）求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用含 的式子表示）
（3）在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图②的设计方案是使H，G分别在OF，OE上，MN在EF上，设MN=2X米，当X取何值时，矩形GHMN花坛的面积最大
49．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+c交x轴于点A，点A的坐标为（4，0）.
（1）用含a的代数式表示C.
（2）当a＝ 时，求x为何值时y取得最小值，并求出y的最小值.
（3）当a＝ 时，求0≤x≤6时y的取值范围.
（4）已知点B的坐标为（0，3），当抛物线的顶点落在△AOB外接圆内部时，直接写出a的取值范围.
50．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形ABCD是圆美四边形，求美角∠A的度数．
（2）在(1)的条件下，若⊙O的半径为5．
①求BD的长．　 　
②如图2，在四边形ABCD中，若CA平分∠BCD，则BC+CD的最大值是　 　．
（3）在(1)的条件下，如图3，若AC是⊙O的直径，请用等式表示线段AB，BC，CD之间的数量关系，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【综合题强化训练·50道必刷题】浙教版九年级上册期末数学卷
1．2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1、A2，正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片.
（1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是 　 　；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率.
【答案】（1）
（2）解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个，
∴P（小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片）＝.
【解析】【解答】解：（1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，找出总情况数以及小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的情况数，然后根据概率公式进行计算.
2．如图，点E为的边延长线上一点，与交于点F，与交于点G.
（1）求证：；
（2）若，，求的长度.
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
；
（2）解：∵，
∴设，则，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，，
，
解得：.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥DC，证明△GDA∽△GCE，△GCE∽△ABE，据此可得结论；
（2）设CE=a，则BC=2CE=2a，BE=BC+CE=3a，由平行四边形的性质可得AD=BC=2a，AD∥BC，证明△ADF∽△EBF，然后根据相似三角形的性质进行求解.
3．如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接.
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）.
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：连接，如图，
由（1）得，
∵，
∴，
∴的长.
【解析】【分析】（1）由题意可得四边形ABED为平行四边形，则∠B=∠D，由圆周角定理可得∠AFC=∠B，∠ACF=∠D，则∠AFC=∠ACF，据此证明；
（2）连接AO、CO，由（1）得∩AFC=∠ACF，结合内角和定理可得∠AFC的度数，由圆周角定理可得∠AOC=2∠AFC，然后利用弧长公式进行计算.
4．将4张分别写着数字1，2，3，4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率.（请选用“画树状图”或“列表”的一种方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片数字为“1”.
【答案】（1）解：树状图如下，
共有16种可能的结果，取出2张卡片数字相同的结果有4种
取出的2张卡片数字相同的概率为；
（2）解：由（1）树状图可知，取出的2张卡片中，至少有1张卡片数字为“1”的结果有7种，
取出的2张卡片中，至少有1张卡片数字为“1”的概率为.
【解析】【分析】（1）画出树状图，找出总情况数以及取出2张卡片数字相同的情况数，然后根据概率公式进行计算；
（2）由（1）树状图可知：取出的2张卡片中，至少有1张卡片数字为“1”的结果有7种，然后根据概率公式进行计算.
5．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为，计划中的建筑材料总长，设两间饲养室的宽度为，总占地面积为.
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）求饲养室的宽度为多少时，饲养室最大面积多少？
（3）若要使两间饲养室合计占地总面积不低于，求饲养室的宽度的范围.
【答案】（1）解：设两间饲养室的宽度为，则长为
∵
∴
由矩形的面积可得：
∴
（2）解：∵，
∴函数图象开口向下
∴当时，饲养室的宽度为时，饲养室最大面积
（3）解：令可得：，解得：或
∴要使两间饲养室合计占地总面积不低于，x的取值范围为
【解析】【分析】（1）设两间饲养室的宽度为xm，则长为(45-3x+1.5×2)=(48-3x)m，根据长、宽为正数可得x的范围，由矩形的面积公式可得y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的关系式结合二次函数的性质进行解答；
（3）令y=189，求出x的值，进而可得x的范围.
6．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；
【答案】（1）解：将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得： ，
∴ ， ；
（2）解：设直线AB的解析式为： ，
将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得： ，
∴一次函数解析式为： ，
由（1）得二次函数解析式为： ，
对称轴为： ，
直线 与 的交点为M，
∴当 时， ，
∴交点M的坐标为（2，-3）．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再计算求解即可；
（2）利用待定系数法先求出 一次函数解析式为： ， 再求出 当 时， ， 最后求点的坐标即可。
7．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；
（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．
【答案】（1）解：由旋转的性质得：，．
∴，即．
∵为等边三角形，∴．
∴．∴为等边三角形，．
（2）解：．
由旋转的性质得，．
∵，∴．
即．
（3）解：
【解析】【解答】(3)由旋转的性质得，AD=OB=2，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD=OC=3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
AO=
=
=
【分析】 (1)、由旋转的性质得角相等，边相等，证得 为等边三角形 ，即可求得.
(2)、 根据旋转的性质和角之间的和差关系求得两线段垂直.
(3)、 根据勾股定理求得AO.
8．为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷词查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；
B：基本了解；C：了解很少；D：不了解。并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有　 　；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）七年一班从“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）40
（2）解：扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：360°× =72°，
“B”等级的人数为：40-6-16-8=10（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种3可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为
【解析】【解答】（1）接受问卷调查的学生共有：16÷40%=40(人)，故答案为：40；
【分析】(1) 接受问卷调查的学生数=C的人数÷C的百分比；
(2)扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数=360°×D的百分比；
(3) 根据题意，画出树状图，表示出所有等可能出现的情况数，再找出恰好抽到1名男生和1名女生的情况数，最后求概率即可.
9．如图，在矩形 中， 是 边上的动点，连结 ，过点 作 交 于点 .
（1）若 ，则 的长为　 　；
（2）在点 运动的过程中， 的最大值为　 　.
【答案】（1）1
（2）
【解析】【解答】解：（1） ，
.
，
，
.
，
.
在 和 中，
；
（2） ，
，
.
设 ，则有 ，
，
当x=2时，y有最大值，为 .
故答案为：（1）1；（2） .
【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BAE=∠CEF，证明△ABE≌△ECF，据此求解；
（2）易证△ABE∽△ECF，设BE=x，CF=y，由相似三角形的性质可得y，然后利用二次函数的性质可得最大值.
10．如图，反比例函数的图象与正比例函数y=2x相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，AB⊥BC．
（1）求反比例函数解析式及点B坐标；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵点A(1，a)在y＝2x上，
∴a＝2，
∴A(1，2)，
把A(1，2)代入得k＝2
∴反比例函数的解析式为，
∵A、B两点关于原点成中心对称，
∴B(-1，-2)；
（2）解：如图所示，作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，
∵AB⊥BC．
∴∠ABC＝90°，∠BHC＝90°，
∴∠C＝∠ABH，
∵BH∥x轴，
∴∠AOD＝∠ABH，
∴∠AOD＝∠C，
∴，
∵A(1，2)，B(-1，-2)，
∴AH＝4，BH＝2，OD=1，AD=2，
∴，S△AOD＝=1，
∵∠AOD＝∠C，∠ADO＝∠ABC＝90°，
∴△ADO～△ABC，
∴有，即，
解得S△ABC＝5．
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出k的值，再根据关于原点对称的点坐标的特征可得点B的坐标；
（2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，先求出△ADO～△ABC，再利用相似三角形的性质可得，即，再求出S△ABC＝5即可。
11．两个大小不同且都含有30°角的直角三角板按如图所示放置，将△ABC与△EDC的顶点C重合，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CED＝30°．
（1）如图1，当点E在AC上，点D在BC上时，．求；
（2）如图2，将△EDC绕着点C旋转一定角度时，求；
（3）如图2，当点A，E，D在同一条直线上时，连接BD，若CD＝1，BC＝3，求BD．
【答案】（1）解：当点E在上，点D在上时，
，
，
，
，
；
（2）解：，
．
，
，，
，
，
；
（3）解：由（2）可知，，
．
点A，E，D在同条一直线上，，
，
．
∵CD＝1，BC＝3，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CED＝30°，
∴DE=2，AB=6，
设，可知，
在中，，
解得，（舍．
．
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）先求出 DE=2，AB=6， 再利用勾股定理计算求解即可。
12．中，，以点A为中心，分别将线段，逆时针旋转得到线段，，连接，延长交于点F．
（1）如图1，若，的度数为　 　；
（2）如图2，当吋，
①依题意补全图2；
②猜想与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）120°
（2）解：①依题意补全图形如图2所示，
②如图2，连接AF，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAD=∠CAB，
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED=∠C=90°，
∴∠AEF=90°，
∴Rt△AEF≌Rt△ACF(HL)，
∴∠EAF=∠CAF，
∴∠CAF=∠CAE=30°，
在Rt△ACF中，CF=AF，且AC2+CF2=AF2，
∴
【解析】【解答】解：（1）如图1，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由旋转知，∠CAE=60°=∠CAB，
∴点E在边AB上，
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°，
故答案为120°；
【分析】（1）由旋转知，∠CAE=60°=∠CAB，得出点E在边AB上，利用SAS证出△ADE≌△ABC，推出∠AED=∠ACB=90°，由此得出结论；
（2）①根据题意补全图形即可；②利用SAS证出△ADE≌△ABC，再利用HL证出Rt△AEF≌Rt△ACF，得出∠EAF=∠CAF，利用勾股定理即可得出答案。
13．苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”．小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：
移植棵数（n） 成活数（m） 成活率（） 移植棵数（n） 成活数（m） 成活率（）
50 47 0.940 1500 1335 0.890
270 235 0.870 3500 3203 0.915
400 369 0.923 7000 6335
750 662 0.883 14000 12628 0.902
根据以上信息，回答下列问题：
（1）当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是　 　，那么成活率x是　 　
（2）随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是　 　
（3）若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活　 　；
（4）若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论符合题意吗？说明理由．
【答案】（1）6335；0.905
（2）0.900
（3）9000棵
（4）解：若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论不符合题意，理由如下：
∵概率只是用来衡量在一定条件下，某事件发生的可能性大小，并不代表事件一定会发生，
∴若小王移植20000棵这种树苗，不一定能成活18000棵，只能说是可能成活18000棵．
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是6335，
∴成活率，
故答案为：6335；0.905；
（2）∵大量重复试验下，频率的稳定值即为概率值，
∴可以估计树苗成活的概率是0.900，
故答案为：0.900；
（3）由题意得：若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活课树苗，
故答案为：9000棵；
【分析】（1）利用成活率的公式计算即可；
（2）利用频率估计概率即可；
（3）根据题意计算即可；
（4）若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论不符合题意。
14．如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．
（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．
【答案】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，，
∴△OBE∽△ABO，
∴，
∵AB＝，E为AB的中点，
∴
∴，
∴（舍负）.
（2）解：线段OE和CD的数量关系是：，理由如下，
证明：如图，延长OE到点F，使得，连接AF，FB.
∵
∴四边形AFBO是平行四边形，
∴，，
∴，
∵∠AOB+∠COD＝，
∴，
∵OB＝OC，
∴，
在△AOF和△DOC中，
，
∴△AOF≌△DOC，
∴
∴.
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质即可得出OB的长；
（2）延长OE到点F，使得，连接AF，FB.先证出四边形AFBO是平行四边形，再利用全等三角形的性质得出△AOF≌△DOC，推出，即可得出结论。
15．二次函数的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B在二次函数的图象上．
（1）求点B的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）二次函数的对称轴是直线　 　；
（3）已知点(，)，(，)，(，)在二次函数的图象上．若，比较，，的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：∵令，
∴，
∴点A的坐标为（0，a），
∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为（4，a）.
（2）
（3）解：∵对称轴是直线，，
∴点（，），（m，）在对称轴的左侧，
点（，）在对称轴的右侧，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴.
【解析】【解答】解：（2） A的坐标为（0，a），点B的坐标为（4，a）
点都在在二次函数的图象上．即关于对称轴对称
对称轴为
【分析】（1）令，得出点A的坐标，再将点A向右平移4个单位长度，得到点B的坐标；
（2）根据A、B的坐标得出点都在在二次函数的图象上．即关于对称轴对称，即可得出结果；
（3）对称轴是直线，，得出点（，），（m，）在对称轴的左侧，
点（，）在对称轴的右侧，根据m的范围，得出，，的大小。
16．在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上两点．
（1）将写成的形式；
（2）若，比较，的大小，并说明理由；
（3）若，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：，
；
（2）解：当时，，
，，
∴，
，
∴；
（3）或
【解析】【解答】解：（3）由题意可得：
，
，
令
当时，，
解得：，，
结合函数图象可得：当时，
或，
∴当时，m的取值范围为：或．
【分析】（1）将抛物线解析式进行转换即可得出；
（2）当时，，点A、B的坐标，得出二次函数解析式，再比较大小即可；
（3）令当时，，解得出m的值，结合函数图象可得：当时，当时，即可得出m的取值范围。
17．如图， 是某公园的一个圆形桌面的主视图， 是该桌面在一路灯下的影子， 是一个圆形凳面的主视图.（桌面、凳面均与地面平行）
（1）请标出路灯 的位置，并画出 在该路灯下的影子 ；（保留画图痕迹，光线用虚线表示）
（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为 ，并测得影子 ，求路灯 与地面的距离.
【答案】（1）解：如图，路灯 和线段 即为所画.
（2）解：如图，过点 作 ，交 于点 ，
∵ ，
∴ ， ， .
∴ ∽ ，
∴ .
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ .
答：路灯 与地面的距离为 .
【解析】【分析】过点O作OF⊥MN，交AB于点E，易证∠OAB=∠OMN，∠OBA=∠ONM，由此可推出△OAB∽△OMN，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，然后代入计算可求出OF的长.
18．已知 是关于 的二次函数， ， 满足下表
x … -1 0 1 3 …
y … 0 0.75 1 0 …
观察上表（不用求解析式），直接写出该函数如下性质：
（1）图象函数名称　 　，开口方向　 　；
（2）对称轴表达式　 　；
（3）顶点坐标　 　；
（4） 随 的变化情况　 　，　 　.
【答案】（1）抛物线；向下
（2）
（3）（1，1）
（4）当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小
【解析】【解答】解：（1）∵ 是关于 的二次函数，∴图象名称是抛物线，
观察x，y的值可知抛物线开口方向向下；
故答案为：抛物线，向下；
（2）由表可知，图象与x轴交于点 ， ，故对称轴 ；
故答案为： ；
（3）因为对称轴为 ，所以顶点坐标为（1，1）；
故答案为：（1，1）；
（4）因为对称轴为 且开口向下，
所以当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小.
故答案为：当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小.
【分析】(1)二次函数就是抛物线，观察x,y的值得到开口向下；
(2)由表格观察到图象与x轴交于点 ， ,由对称轴公式得到；
(3)对称轴就是顶点横坐标的值，观察表格顶点为（1，1）；
(4)开口向下，在对称轴左边时， 随 的增大而增大；在对称轴右边时， 随 的增大而减小.
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为线段BC上一动点（不与点B，
C重合），作射线AD、AB，将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线 ， ，过点B作BC的垂线，分别交射线 ， 于点E，F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：AB＝AF；
（3）用等式表示线段AC，BD与BE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：作图如下：
（2）解：证明：如图
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠1= 45°，
∵BF⊥BC，
∴∠CBF= 90°，
∴∠2= 45°，
∵射线AB绕点A顺时针旋转90°得到射线 ，
∴∠BAF= 90°，
∴∠3= 45°=∠2，
∴AB=AF．
（3）解：BE+BD=2AC．
证明：∵射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线 ， ，
∴∠DAE=∠BAF= 90°，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠3，AB=AF，
∴△DAB≌△EAF ，
∴BD=EF，BF=BE+BD，
在Rt△ABC中，AB= AC，在Rt△ABF中，BF= AB，
∴BF=2AC，
∴BE+BD =2AC．
【解析】【分析】（1）根据旋转的特性补全图形即可；
（2）根据旋转得到∠DAE=∠BAF=90°，∠AFB=∠ABF=45°，即可求出答案；
（3）借助（2）的结论判断出△AEF≌△ADB，得出EFBD，再利用勾股定理求出BF=AB，AC=AB，即可得出结论。
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证： ；
（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．
【答案】（1）解：∵直径AB⊥弦CD，
∴弧BC=弧BD，
∴∠A=∠BCD；
（2）解：连接OC．
．
∵直径AB⊥弦CD，CD=8，
∴CE=ED=4．
∵直径AB=10，
∴CO=OB=5．
在Rt△COE中，
∵OC=5，CE=4，
∴OE= =3，
∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2．
【解析】【分析】（1）根据等弧对等角证明即可；（2）连接OC，根据垂径定理得到CE=DE=4，再利用勾股定理求出OE，然后计算OB-OE即可。
21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 （ ）过点（4，0）．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx过点（4，0），
∴ ，
∴
（2）解：∵点A（0，a）绕原点O顺时针旋转90°得到点B，
∴点B的坐标为（a，0），
∵点B向右平移2个单位长度得到点C，
∴点C的坐标为（a+2，0）.
（3）解：（i）如图1，当a>0时，
抛物线y=ax2-4ax开口向上，与x轴交于两点（0，0），（4，0），
若线段AC与抛物线有公共点（如图），只需满足：
，
解得： ，
（ii）如图2，当a<0时，
抛物线y=ax2-4ax开口向下，与x轴交于两点（0，0），（4，0）.
若线段AC与抛物线有公共点（如图），只需满足：
，
解得： ，
综上所述，a的取值范围为 或 .
【解析】【分析】（1）将点（4，0）代入即可求出答案；
（2）y轴上的点绕远点O顺时针旋转90°到x轴，向右平移则横坐标加2即可求出B的坐标；
（3）根据图象列出不等式求出a的范围即可。
22．在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含）票价2元，每增加5公里以内（含）加价1元”，如下图．
小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：
①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．
②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为　 　元，他使用学生卡实际支付　 　元；
（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为　 　．
【答案】（1）3；0.75
（2）
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
学生甲乘坐公交车的里程数为14-3=11＜15，
∴票价为3元，使用学生卡打2.5折，即3×0.25=0.75（元），
故答案为：3，0.75；
（2）实际支付了1元，则票价为： （元），
∴里程数在16和20公里之间，
∴24-8=16，24-4=20，
∴学生乙可能在云岗北区和北京十中之间的六个站台上车，
∴他在佃起村上车的概率为 ；
故答案为： ．
【分析】（1）先根据上下车地点确定乘坐里程数，结合题意可得原票价及折后票价；（2）根据支付费用及学生卡折扣求出原票价，再结合下车地点确定其上车的可能地点，再根据概率公式求解即可。
23．如图，△ABC 中，∠B＝10°，∠ACB＝20°，AB＝4cm，三角形 ABC 按逆时针方向旋转一定角度后与三角形 ADE 重合，且点 C 恰好成为 AD 的中点.
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求出∠BAE 的度数和 AE 的长.
【答案】（1）解：∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，
∴旋转中心是点A；
根据旋转的性质可知：∠CAE=∠BAD=180°-∠B-∠ACB=150°，
∴旋转角度是150°
（2）解：由（1）可知：∠BAE=360°-150°×2=60°，
由旋转可知：△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，又C为AD中点，
∴AC=AE= AB= ×4=2cm
【解析】【分析】（1）由旋转的定义和性质可求解；
（2）由（1）的结论可求得∠BAE=360°- 2× ∠CAE的值；由旋转的性质可得△ABC≌△ADE，于是AB=AD，AC=AE，则由线段中点的定义得AC=AE=AB可求解.
24．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上.已知AB=8cm，CD=2cm
（1）求⊙O的面积；
（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长.
【答案】（1）解：连接OA，如图1所示
∵C为AB的中点，AB=8cm，
∴AC=4cm
又∵CD=2cm
设⊙O的半径为r，则（r-2）2+42=r2
解得：r=5
∴S=πr2=π×25=25π
（2）解：OC=OD-CD=5-2=3
EC=EO+OC=5+3=8
∴EA= = =4
∴EF= = =2
∴OF= = =
【解析】【分析】（1） 连接OA，如图1所示 ，根据垂径定理得出 AC=4cm ，在Rt△AOC中，根据勾股定理建立方程，求解得出该圆的半径，进而即可算出圆的面积；
（2）在Rt△ADE中，根据勾股定理算出AE的长，根据垂径定理得出EF的长，进而在Rt△OEF中，根据勾股定理即可算出OF的长.
25．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．
（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；
（2）若指针所指的两个数字都是方程x2﹣5x+6=0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x2﹣5x+6=0的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．
【解析】【分析】（1）利用列表法，列出所有等可能的结果数。
（2）利用因式分解法求出方程的解，再观察表中的数据，就可得出满足方程x2-5x+6=0的解的情况数，利用概率公式分别求出甲和乙胜的概率，即可得出结论。
26．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：设y=a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1，
∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3
（2）解：∵x2+2x﹣3=0，
解得x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），
∴△ABC的面积= ．
【解析】【分析】（1）先设所求函数解析式是y=a（x+1）2﹣4，再把（0，﹣3）代入，即可求a，进而可得函数解析式；（2）令函数等于0，解关于x一元二次方程，即可求A、B两点的坐标；（3）△ABC的面积等于AB×OC的一半．
27．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【答案】（1）解：根据勾股定理得：BA=
分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时， ，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴ ，解得，t=1，
②当△BPQ∽△BCA时， ，
∴ ，解得，t= ；
∴t=1或 时，△BPQ∽△BCA
（2）解：过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴ ，
∴ ，解得t= ．
【解析】【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．
28．如图，进行绿地的长、宽各增加xm．
（1）写出扩充后的绿地的面积y（ ）与x（m）之间的函数关系式；
（2）若扩充后的绿地面积y是原矩形面积的2倍，求x的值．
【答案】（1）解：由图可得，
扩充后的绿地的面积y（ ）与x（m）之间的函数关系式是：y=（30xm+m）（20xm+m）= ，
即扩充后的绿地的面积y（ ）与x（m）之间的函数关系式是：y= ；
（2）解：∵扩充后的绿地面积y是原矩形面积的2倍，
∴ =2×30xm×20xm，
解得 ， （舍去），
即扩充后的绿地面积y是原矩形面积的2倍，x的值是 ．
【解析】【分析】（1）根据图形和矩形面积公式，可直接写出函数关系式，然后加以化简即可；
（2）根据要求，将（1）中写出的绿地面积函数解析式代入，建立方程，并求解，检验，即可得出答案。
29．如图，BD为⊙O的直径，弦AB、CD相交于点P，且AB=CD。
（1）求证：∠ABD=∠CDB。
（2）连结BC，若AB平分∠CBD，求 的度数。
【答案】（1）证明：∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
弧AB-弧AC=弧CD-弧AC
弧BC=弧AD，
∴∠ABC=∠CDB
（2）解：∵AB平分∠CBD
∠ABD=∠CDB=∠CBA=30°
∴ =120°
【解析】【分析】（1）利用在一个圆中，相等的弦所对的弧相等，就可推出弧BC=弧AD，再利用等弧所对的圆周角相等，可证得结论。
（2）利用角平分线的定义可证得∠ABD=∠CDB=∠CBA=30°，从而可求出弧AB的度数。
30．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠ABD=45°，BC=6，AC=8．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：如图，连结OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°
∵BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∴OB=OD=5．
∵∠ABD=45°，
∴∠BOD=90°，
∴ ．
∴BD的长为 ．
（2）解：∵ ，
，
∴ ．
∴图中阴影部分的面积为
【解析】【分析】（1）连接OD，利用直径所对的圆周角是直角，可证△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；再证明△OBD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出BD的长。
（2）利用S阴影部分=S扇形BOD-S△BOD，再利用三角形和扇形的面积公式进行计算。
31．如图①，在 与 中， ， .
（1） 与 的数量关系是： 　 　 .
（2）把图①中的 绕点 旋转一定的角度，得到如图②所示的图形.
①求证： .
②若延长 交 于点 ，则 与 的数量关系是什么？并说明理由.
（3）若 ， ，把图①中的 绕点 顺时针旋转 ，直接写出 长度的取值范围.
【答案】（1）=
（2）证明：由旋转的性质，得 .
∴ ，即
.
∵ ， ，
∴ .∴ .
② .理由：
∵ ，∴ .
∵ ，
∴ ，
∴
（3）解：
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，AD=AE，
∴AD-AB=AE-AC
∴BD=CE.
故答案为：=.
（3）当点B在线段AD的延长线上时，BD的最小值为AD-AB=8-5=3
当点B在DA的延长线上时，BD的最大值为AD+AB=8+5=13
∴3≤BD≤13.
【分析】（1）根据线段的和差定义即可解决问题；
（2）①利用旋转的性质，可证得∠DAE=∠BAC，由此可推出∠DAB=∠EAC，再利用全等三角形的判定，可证得△DAB≌△EAC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；②利用旋转的性质易证△DAB≌△EAC利用全等三角形的对应角相等，可证得∠ADB=∠AEC，由∠AOD=∠EOF即可解决问题。
（3）当点B在线段AD的延长线上时，可求出BD的最小值；当点B在DA的延长线上时，求出BD的最大值，然后可得到BD的取值范围。
32．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元.市场调査发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天销售量 （箱）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式.
（2）求该批发商平均每天的销售利润 （元）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式.
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意，得 ，化简，得 .
（2）解：由题意，得 ， .
（3）解： .
∵ ，
∴抛物线开口向下.
当 时， 有最大值.
又当 时， 随 的增大而增大，
∴当 元时， 的最大值为1125元.
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元
【解析】【分析】（1）根据题意找到平均每天销售量 （箱）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式；（2）根据题意找到平均每天销售利润W（元）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式；（3）根据二次函数解析式求最
33．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 的顶点 ，过点 的双曲线 与矩形 的边 交于点E．
（1）求双曲线 的解析式以及点E的坐标；．
（2）若点P是抛物线 的顶点；
①当双曲线 过点P时，求顶点P的坐标；
②直接写出当抛物线 过点B时，该抛物线与矩形 公共点的个数以及此时t的值．
【答案】（1）解：把点 代入 ，得 ，
∴
把 代入 ，得 ，
∴ ；
（2）解：①∵抛物线
∴顶点P的横坐标 ，
∵顶点P在双曲线 上，
∴ ，
∴顶点 ，②三个，
【解析】【解答】解：(2) ②当抛物线 过点B时，
，解得 ，
抛物线解析式为 ，
故函数的顶点坐标为 ，对称轴为 ，与x轴的交点坐标分别为
所以它与矩形 在线段BD上相交于 和 ，在线段AB上相交于 ，即它与矩形 有三个公共点，此时 ．
【分析】（1）将C点坐标代入 求得k的值即可求得反比例函数解析式，将 代入所求解析式求得x的值即可求得E点坐标；（2）①将抛物线化为顶点式，可求得P点的横坐标，再根据双曲线解析式即可求得P点坐标；②根据B点为函数与y轴的交点可求得t的值和函数解析式，再根据函数的对称轴，与x轴的交点坐标即可求得抛物线与矩形 公共点的个数．
34．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形
∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°
∵AD∥BC，AH∥DG，
∴四边形AHGD是平行四边形
∴AH＝DG，AD＝HG＝CD，
∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG，
∴△DCG≌△HGF（SAS），
∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD
∴AH＝HF，
∵∠HGD+∠DGF＝90°，
∴∠HFG+∠DGF＝90°
∴DG⊥HF，且AH∥DG，
∴AH⊥HF，且AH＝HF
∴△AHF为等腰直角三角形．
（2）解：∵AB＝3，EC＝5，
∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5．
∵AD∥EF，
∴ ，且DE＝2．
∴EM＝ ．
【解析】【分析】（1）通过证明四边形AHGD是平行四边形，可得AH=DG，AD=HG=CD，由“SAS”可证△DCG≌△HGF，可得DG=HF，∠HFG=∠HGD，可证AH⊥HF，AH=HF，即可得结论；（2）由题意可得DE=2，由平行线分线段成比例可得 ，即可求EM的长．
35．现有一面12米长的墙，某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个矩形养鸡场ABCD（篱笆只围AB、BC、CD三边），其示意图如图所示．
（1）若矩形养鸡场的面积为92平方米，求所用的墙长AD．（结果精确到0.1米）（参考数据： ＝1.41， ＝1.73， ＝2.24）
（2）求此矩形养鸡场的最大面积．
【答案】（1）解：设AD＝x米，则AB＝ （28﹣x）＝（14﹣ x）米，
根据题意，得：x（14﹣ x）＝92，
解得：x1＝14+2 ≈17.46＞12，不合题意，舍去．
x2＝14﹣2 ＝14﹣2×1.73≈10.5，
答：所用的墙长AD约为10.5米
（2）解：设矩形养鸡场ABCD的面积为S平方米，则：
S＝x（14﹣ x）＝﹣ （x﹣14）2+98，
∵墙长12米，
∴0＜x≤12．
∴当x＝12时，S取最大值为：﹣ （12﹣14）2+98＝96，
答：此矩形养鸡场的最大面积为96平方米
【解析】【分析】（1）直接根据题意表示出矩形的长与宽，再表示出矩形的面积即可得出答案；（2）利用矩形的长与宽表示出其面积，再根据二次函数的性质即可得出答案．
36．一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度 (单位： )与水平距离 (单位： )近似满足函数关系 ，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为 ．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为 时，求此时铅球的水平距离．
【答案】（1）解：根据题意，将（10，0）代入y＝﹣ x2+ x+c，
得：﹣ ×102+ ×10+c＝0，
解得c＝ ，
答：铅球出手时离地面的高度 m
（2）解：）将y＝ 代入﹣ x2+ x+ ＝ ，
整理，得：x2﹣8x﹣9＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍），
∴此时铅球的水平距离为9m．
【解析】【分析】（1）根据题意将（10，0）代入函数解析式求得c的值即可；（2）将y= 代入函数解析式中，求得正确的x即为答案.
37．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．
（1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于2的概率为　 　；
（2）小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5，那么小龙去；否则小东去．你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
【答案】（1）
（2）解：游戏公平．列举所有等可能的结果12个：
∴所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5的概率为P= ，
∴游戏公平
【解析】【解答】解：（1）∵口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，
∴从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于2的概率为：
故答案为： ；
【分析】（1）4个小球中有2个小球的上的数字大于2，即可求出所摸球上的数字大于2的概率。
（2）根据题意画出树状图或用列表法求出所有可能的结果数，再求出数字之和小于5的可能数，利用概率公式即可求出结果，再判断游戏是否公平。
38．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得
y=x（32÷2﹣x）=﹣x2+16x．
答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x
（2）解：由（1）知，y=﹣x2+16x．当y=60时，﹣x2+16x=60，即（x﹣6）（x﹣10）=0．
解得 x1=6，x2=10，
即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米
（3）解：不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：由（1）知，y=﹣x2+16x．当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0因为△=（﹣16）2﹣4×1×70=﹣24＜0，所以 该方程无解．
即：不能围成面积为70平方米的养鸡场
【解析】【分析】（1）根据题意可知矩形的周长为32米，则矩形的长+宽=16，因此可用含x的代数式表示出另一边长，然后利用矩形的面积公式可求出y关于x的函数关系式。
（2）由（1）可知y=﹣x2+16x，再求出当y=60时，建立方程，解方程即可。
（3）将y=70代入函数解析式建立方程，若方程无实数解，则不能围成，若方程有实数解，则可以围成，即可得出结论。
39．如图，直线AB与坐标轴分别交于点A，点B，且OA，OB的长分别为方程x2－6x+8=0的两个根（OA＜OB），点C在y轴上，且OA︰AC=2︰5，直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D。
（1）求出点A、点B的坐标。
（2）请求出直线CD的解析式。
【答案】（1）解：∵x2－6x+8=0
∴x1=4，x2=2
∵0A、0B为方程的两个根，且0A＜0B
∴0A=2，0B=4
∴ A(0，2)，B(－4，0)
（2）解：∵ 0A：AC=2：5
∴ AC=5
∴OC=OA+AC=2+5=7
∴ C(0，7)
∵∠BAO=∠CAP，∠CPB=∠BOA=90O
∴∠PBD=∠OCD
∵∠ BOA=∠COD=90O
∴△BOA∽△COD
∴ =
∴ OD= = =
∴D( ，0)
设直线 CD的解析式为y=KX+b，
把x=0，y=7；x= ，y=0分别代入得：
解得
∴yCD=－2x+7
【解析】【分析】（1）用因式分解法解这个一元二次方程，再根据已知条件0A、0B为方程的两个根，且0A＜0B可得点A、点B的坐标；（2）根据已知条件可证△BOA∽△COD，从而得到成比例的线段，可求D点的坐标，用待定系数法可求直线 CD的解析式。
40．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x(秒)，△PBQ的面只为y(cm2).
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.
（2）求△PBQ的面积的最大值.
【答案】（1）解：∵ = PB BQ，PB=AB﹣AP=18﹣2x，BQ=x，
∴y= x（18﹣2x），
即y= +9x（0＜x≤4）
（2）解：由（1）知，y= +9x（0＜x≤4），∴y= ，∵当0＜x≤ 时，y随x的增大而增大，
而0＜x≤4，
∴当x=4时， =20，
即△PBQ的最大面积是20
【解析】【分析】（1）抓住已知条件中的两点的运动方向：P在边AB上沿AB方向，Q在边BC上沿BC方向。先用含x的代数式表示出PB、BQ的长，根据三角形的面积公式，可求出函数解析式及自变量的取值范围。
（2）根据（1）中的函数解析式，求出其顶点坐标，由二次函数的性质得出当0＜x≤ 时，y随x的增大而增大，再根据0＜x≤4，可得出△PBQ的面积的最大值。
41．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数y＝x2＋bx的图象上
（1）当m＝-3时
①求这个二次函数的顶点坐标；
②若点（-1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且y2＞y1，则a的取值范围是 ▲ ；
（2）当mn＜0时，求b的取值范围
【答案】（1）解：当m＝-3时
①把点（1，-3）代入y＝x2＋bx，得b＝-4，
二次函数表达式为y＝x2 -4x＝（x-2）2 -4
所以顶点坐标为（2，-4）
②或
（2）解：将点（1，m），（3，n）代入y＝x2＋bx，可得m＝1＋b ，n＝9＋3b
当mn＜0时，有两种情况：
①若 把m＝1＋b ，n＝9＋3b代入可得 此时不等式组无解
②若 把m＝1＋b ，n＝9＋3b代入可得解得-3＜b＜-1
所以-3＜b＜-1
【解析】【解答】解：（1）②根据题意得抛物线y＝x2 -4x开口向上，对称轴为直线x=2，
∵y2＞y1，
∴i)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴左侧时，有；
ii)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴两侧时，根据对称性可知；
所以a的取值范围是：a＜-1或a＞5
故答案为：a＜-1或a＞5
【分析】（1）①把点（1，-3）代入y＝x2＋bx中求出b值，即得y＝x2-4x，再化为顶点式即可求解；
②分两种情况：i)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴左侧；ii)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴两侧时，据此分别求解即可；
（2） 将点（1，m），（3，n）代入y＝x2＋bx，可得m＝1＋b ，n＝9＋3b ，当mn＜0时，有两种情况：①若②若 ，据此分别建立不等式组并求解即可.
42．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．
（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：x2﹣15x﹣16＝0，
因式分解得，
解得，
点A在x轴的正半轴上，OA=16，
∴点A（16，0），
∵直线BC的解析式为y＝kx＋12，
与y轴交点C为（0，12），
∴tan∠OAC=，∠OCA+∠OAC=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠BCO+∠OCA=90°，
∴∠BCO=∠OAC，
∴tan∠BCO= tan∠OAC=，
∴OB=，
∴点B（-9，0）；
（2）解：过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，
在Rt△AOC中，AC=，
在Rt△BOC中BC=，
∵tan∠CAD＝，
∴，
∵sin∠BCO=，
∴DE= CDsin∠BCO=，
∴CE=，OE=OC-EC=12-4=8，
∴点D（-3，8），
∵双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，
∴；
（3）点P的坐标（16，12）或（）或或()
【解析】【解答】解：过点A作AP1与过点C与x轴平行的直线交于P1，
则∠CP1A=∠P1CO=∠COA=90°，
∴四边形COAP1为矩形，
∴点P1（16，12），
当点P1（16，12）时，CP1∥OA，
∠P1CA=∠CAB，∠ACB=∠CP1A，
∴△P1CA∽△CAB，
作P2A⊥AC交CP1延长线于P2，
∵∠CAP2=∠BCA=90°，∠P2CA=∠CAB，
∴△CAP2∽△ACB，
∴cos∠CAO=，
∴cos∠P2CA= cos∠CAO=，
∴，
∴点P2的横坐标绝对值=，纵坐标的绝对值=OC=12，
∴点P2（），
作∠P3CA=∠OCA，在射线CP3截取CP3=CO=12，连结AP3，
在△CP3A和△COA中，
，
∴△CP3A≌△COA（SAS），
∴AP3=OA=16，
∴，
∴
∴△P3CA∽△CAB，
设P3（x，y）
，
整理得，
解得：，
∴点P3（），
延长CP3与延长线交P4，过P4作PH⊥x轴于H，
∵∠P4CA=∠CAB，∠P4AC=∠BAC=90°，
∴△CAP4∽△ACB，
∵∠BAC+∠HAP4=∠CAP3+∠P3AP4=90°，∠CAP3=∠BAC，
∴∠HAP4=∠P3AP4，
∠P4P3A=180°-∠CP3A=180°-90°=90°=∠P4HA，
在△P4P3A和△P4HA中，
，
△P4P3A≌△P4HA（ASA），
∴AP3=AH=16，P3P4=P4H，
∵cos∠P3CA=，
∴，
∴，OH=OA+AH=OA+AP3=16+16=32，
∴点，
综合直线CB下方，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．点P的坐标（16，12）或（）或或()．
【分析】（1）先解方程求得A点坐标，根据相似求得AB的长，进而求得B点坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，先求得CD，再利用勾股定理得出CE的长，进而求的结果；
（3）分四种情况：△P1CA∽△CAB，△CAP2∽△ACB，△P3CA∽△CAB，△CAP4∽△ACB，分类讨论即可。
43．已知， 在 中， ， 点 E 是射线 上的动点， 点 O 是边 上的动点，且 ， 射线 交射线 于点 D．
（1）如图 1， 如果 ， 求 的值；
（2）联结， 如果 是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
（3）当点E在边上时， 联结， 求线段的长．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠B＝∠OEC，
∴△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
∴CE＝3.2，
∴AE＝1.8；
∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，
∴△OBD∽△AED，
∴，
∴．
（2）解：
∵ 是以为腰的等腰三角形，
∴AE＝OE，
∵OC＝OE，
∴设AE＝OE＝OC=x，
由（1）得，△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
解得，，经检验，是原方程的解；
则的长是为．
（3）解：
由（1）得，∠B＝∠OEC，
∵∠OEC+∠OEA＝180°，
∴∠B+∠OEA＝180°，
∴A、B、O、E四点共圆，
∴∠DBE＝∠AOD，
∵，
∴，
∴AO∥DC，
∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，
∴，，
∴，
设OC=x，OB=8-x，
∵△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
解得，，
∴
∴，
解得，，（舍去），
则的长是为．
【解析】【分析】（1）先证明 △ABC∽△OEC，可得，据此求出CE=3.2，即得AE＝1.8，再证明
△OBD∽△AED，可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得AE＝OE，由OE＝OC可设AE＝OE＝OC=x，由（1）知，据此建立关于x的方程，解之即可；
（3）证明△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，利用相似三角形的性质可求出， 设OC=x，OB=8-x，由（1）知可得CE=1.6x，即得，利用建立关于x方程，求解即可.
44．如图1.已知⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、B两点的横坐标分别为﹣1和7，弦AB的弦心距MN为3，
（1）求⊙M的半径；
（2）求弦CD的长；
（3）如图2，P在弦CD上，且CP＝2，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ＝∠CQD时，求CQ的长；
（4）如图3.若P点是弦CD上一动点，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ与∠CQD互余时，求△PEM面积的最大值.
【答案】（1）解：连接MB，如图1所示：
∵A、B两点的横坐标分别为﹣1和7， ∴AB＝8，
∵MN⊥AB， ∴BN＝4，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM＝ ＝ ＝5，
即⊙M的半径为5
（2）解：作MN⊥AB于N，MG⊥CD于G，如图2所示：
则AN＝4，MN＝3，MG＝ON＝AN﹣AO＝3，
∴MN＝MG，
∴CD＝AB＝8.
（3）解：∵∠CPQ＝∠CQD，∠PCQ＝∠QCD，
∴△CPQ∽△CQD，
，
∴CQ2＝CP×CD＝2×8＝16，
∴CQ＝4
（4）解：∵CF是⊙M的直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠DCF＝90°，
∵∠CQD＝∠F， ∴∠CQD+∠DCF＝90°，
∵∠CPQ+∠CQD＝90°， ∴∠DCF＝∠CPQ，
∴CE＝PE，
作EK⊥CP于K，PT⊥CM于T，如图3所示：
则CK＝PK， ＝ ，
设EK＝3x，则CK＝4x，CE＝PE＝5x，PC＝8x，
同（2）得：△CPT∽△CFD，
∴ ＝ ＝ ，
∴PT＝ x，CT＝ x，
∴△PEM的面积S＝ EM×PT＝ （5﹣5x）× x＝﹣12x2+12x＝﹣12（x﹣ ）2+3，
∵﹣12＜0， ∴S有最大值，
当x＝ 时，S的最大值为3，
即△PEM面积的最大值为3
【解析】【分析】（1）先根据A、B两点坐标求出AB的长度，结合MN的长度，利用勾股定理求出MB长度即可；
（2） 作MN⊥AB于N，MG⊥CD于G， 由垂径定理求出AN的长，结合A的坐标，可求ON的长度，然后根据平行线间的距离相等可得MG=ON，最后根据同圆中弦心距相等则弦相等，得出CD=AB，从而求出CD的长；
（3）先利用两个角分别相等的两个三角形相似证出△CPQ∽△CQD， 利用相似三角形的性质列比例式求出CQ即可；
（4）先证出∠DCF=∠CPQ，得出CE=PE，作EK⊥CP于K， PT⊥CM于T， 则CK=PK，，设 设EK＝3x， 把CK、CE、PE和PC全部用含x的代数式表示，利用三角形相似的性质列比例式，把PY和CT也用x表示出来，然后用三角形面积公式得出△PEM的面积是关于x的二次函数，最后配方求最值即可.
45．如图，矩形 的两条边 ， 的长是方程 的两根，其中 ，沿直线 将矩形折叠，使点 与 轴上的点 重合，
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）求直线 的解析式；
（3）若点 在 轴上，平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
可得： 或 ，
∵ ， 的长是方程 的两根，且
∴ ， ，
∴ ，
（2）解：由折叠的性质可得：
，
在 中，
所以 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得：
，
所以 ，计算得出 ，
所以
设直线 的解析式为 ，
计算得出
直线 的解析式为
（3）解：①当点P在x轴上方时，
若AP为对角线，则有DP⊥DA，如图，连接AP、DQ交于点F，则F为AP、DQ的中点，
∴∠BDP+∠CDA=∠CDA+∠CAD=90°，
∴∠BDP=∠CAD，且∠PBD=∠DCA，
∴△BPD∽△CDA，
∴，即，解得BP=，
∴OP=10-=，
∴P（0，），且A（-8，0），
∴F（-4，）
设Q（x，y），且D（-3，10），
∴，，解得x=-5，y=-，
∴Q（-5，-）；
②若AD为对角线时，设AD的中点为M，则有PM=AD，
∵A（-8，0），D(-3，10），
∴AD的中点M（-，5），
∴，解得y=6或y=4，
设Q（x，y），当P（0，6）时，则有，，解得x=-11，y=4，
当P（0，4）时，则同理可求得x=-11，y=6，
∴Q（-11，4）或（-11，6）.
③当 在 轴下方时，则有 ，如图，连接 、 交于点 ，
则 为 、 的中点，
同理可得： ，
则：
即 ，计算得出
所以 且
所以
设 ，且
所以 ， ，
，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（-5，-）或（-11，4）或（-11，6）或（5，6）
【解析】【分析】（1）根据因式分解法求解一元二次方程，代入坐标即可；（2）在 中应用勾股定理求得OE的长，然后在 中根据勾股定理列方程求解D点坐标，然后根据待定系数法代入A、D点坐标求解函数解析式即可；（3）当P在x轴上方时，则PD⊥AD，利用△BPD∽△CDA可求得PB的长，则可求得P点坐标，设DQ、AP交于点F，利用A、P坐标则可求得F点坐标，从而可求得Q点坐标；当点P在x轴下方时，则AP⊥AD，利用可求得OP长，可求得P点坐标，同理可求得Q点坐标.
46．已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90．
（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．
i）求证：△CAE∽△CBF；
ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；
（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且 时，若BE＝1，AE=2，CE=3，求k的值；
（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
【答案】（1）解：i）∵∠ACE+∠ECB=45°，∠ BCF+∠ECB=45°，∴∠ACE=∠BCF，又∵ ，∴△CAE∽△CBF；
ii）∵ ，∴BF= ，∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE=∠CBF，又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，即∠EBF=90°，∴ ，解得 ；
（2）解：连接BF，
同理可得：∠EBF=90°，∵ ，∴ ， ，∴ ，∴ ， ，∴ ，∴ ，解得
（3）解：连接BF，同理可得：∠EBF=90°，过C作CH⊥AB延长线于H，可得：
， ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）①由正方形的性质可知∠ACB=∠ECF=
45°， 于是∠ACE=∠BCF，根据有两边的比相等且其夹角也相等的两个三角形相似即可求解；
②由①中的相似三角形可得 ∠CAE=∠CBF， 结合已知条件 ∠CAE+∠CBE=90 可得 ∠EBF=90°， 由勾股定理即可求解；
（2） 连接BF， 用勾股定理可将AC用含BC的代数式表示，则BC：AB：AC的值可求解，同理CF：EF：EC的值可求解，于是由求得的比值可得
，则可得BF与AE的关系式，同理可将CE2用含BE和BF的代数式表示，再将已知条件代入计算即可求解；
（3） 连接BF，过C作CH⊥AB延长线于H，同（1）的方法可得：∠EBF=90°，同（2）的方法可求得AB2：BC2：AC2的值，以及EF2：FC2：EC2的值，结合题意可求得p2和m2及n2之间的关系。
47．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程 的两个根，且OA>OB.
（1）若点E为x轴上的点，且△AOE的面积为 .
求：①点E的坐标；②证明：△AOE∽△DAO；
（2）若点M在平面直角坐标系中，则在直线AB上是否存在点F，使以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：
(x 3)(x 4)=0，
∴x 3=0，x 4=0，
解得
∵OA>OB，
∴OA=4，OB=3，
∵
∴
∴
∵点E在x轴上
∴E点的坐标为 或
②在△AOE与△DAO中， AD=6，
∴
又∵
∴△AOE∽△DAO
（2）解：根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F( 3，0)，
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F(3，8).
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为 ，直线L过 且k值为 (平面内互相垂直的两条直线k值乘积为 1)，
L解析式为 联立直线L与直线AB求交点，
∴F ；
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出 勾股定理得出，A 做A关于N的对称点即为F， 过F做y轴垂线，垂足为G，
∴F
综上所述，满足条件的点有四个：
【解析】【分析】（1）①用十字相乘法解一元二次方程可求得OA和OB的值，根据S
△AOE=
可求得OE的值，由点E在x轴上，即可求得点E的坐标；
②由已知条件和①的结论计算可得
，已知∠AOE=∠OAD=90度，根据“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”可得 △AOE∽△DAO ；
（2）通过计算可得OB=OC，由等腰三角形的三线合一可得 AO平分∠BAC。结合题意可分以下几种情况分析求解：
①
AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC ，则 所以点F与B重合，点F的坐标可求解；
②
AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM ，易求得点F的坐标；
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，用待定系数法可求得直线AC的解析式，根据互相垂直的两条直线的k值互为负倒数可求得直线L的K值，而直线L又经过点（ ，2），则直线L的解析式可求解，再将直线L和直线AB的解析式联立解方程组即可求得点F的坐标；
④
AF是对角线时，过C作AB垂线，垂足为N，根据面积法可求出CN的长，再用勾股定理可求得AN的长， 作点A关于N的对称点即为F，过F作y轴垂线，垂足为G， 由题意易求得FG的值，根据点F所在的位置即可求得点F的坐标。综上即可求得符合题意的点F的坐标。
48．如图所示，某公园在一块扇形0EF草坪上的圆心0处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置．喷头向外喷水．连喷头在内，柱高 米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．喷出的水流在与0点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2米．当喷头A旋转120°时，这块草坪可以全被水覆盖·
（1）建立适当的平面直角坐标系，使A的坐标为(0， )，水流的最高点B的坐标为(4，2)，求出此平面直角坐标系中抛物线水流对应的函数解析式；
（2）求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用含 的式子表示）
（3）在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图②的设计方案是使H，G分别在OF，OE上，MN在EF上，设MN=2X米，当X取何值时，矩形GHMN花坛的面积最大
【答案】（1）解： 根据题意得出：图象顶点坐标为：（4，2），
故设解析式为：y＝a（x﹣4）2+2，
将（O， ），代入上式得：
＝a（0﹣4）2+2，
解得：a＝﹣ ，
∴抛物线水流对应的函数关系式为：y＝﹣ （x﹣4）2+2；
（2）解： 当y＝0时，
0＝﹣ （x﹣4）2+2，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴扇形半径为10米，
∴S＝ ＝ （平方米）；
（3）解： 过点O作OA⊥EF于点A，交GH于点B，
∵∠EOF＝120°，EO＝FO＝10，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，
∴AO＝ FO＝5，
设MN＝2x，
∴AM＝BH＝x，
∴BO＝ x，
∴MH＝5﹣ x，
由题意得出：
S＝2x（5﹣ x）＝﹣ x2﹣10x，
当x＝﹣ ＝ 时，
S的值最大为：S＝ （平方米）．
【解析】【分析】（1）根据题意，该题告诉了抛物线的顶点坐标，故设出抛物线的顶点式，然后将A带你的坐标代入即可求出二次项的系数a的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）将y=0代入（1）所求的抛物线的解析式，即可算出对应的自变量的值，从而得出该圆的半径，然后利用扇形的面积公式即可算出答案；
（3）过点O作OA⊥EF于点A，交GH于点B，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AO＝ FO＝5，然后表示出BO，MH的长，进而根据矩形的面积计算方法建立出函数关系式，根据函数性质即可解决问题。
49．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+c交x轴于点A，点A的坐标为（4，0）.
（1）用含a的代数式表示C.
（2）当a＝ 时，求x为何值时y取得最小值，并求出y的最小值.
（3）当a＝ 时，求0≤x≤6时y的取值范围.
（4）已知点B的坐标为（0，3），当抛物线的顶点落在△AOB外接圆内部时，直接写出a的取值范围.
【答案】（1）解：将A（4，0）代入y＝ax2﹣5ax+c，得：16a﹣20a+c＝0，解得：c＝4a
（2）解：当a＝ 时，c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x+2＝ （x﹣ ）2﹣ .
∵a＝ ＞0，
∴当x＝ 时，y取得最小值，最小值为﹣
（3）解：当a＝﹣ 时，c＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x﹣2＝﹣ （x﹣ ）2+ .
∵a＝﹣ ＜0，
∴当x＝ 时，y取得最大值，最大值为 ；当x＝0时，y＝﹣2；
当x＝6时，y＝﹣ ×62+ ×6﹣2＝﹣5.
∴当0≤x≤6时，y的取值范围是﹣5≤y≤
（4）解：∵抛物线的解析式为y＝ax2﹣5ax+4a＝a（x﹣ ）2﹣ a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，顶点坐标为（ ，﹣ a）.
设线段AB的中点为O，以AB为直径作圆，设抛物线对称轴与⊙O交于点C，D，过点O
作OH⊥CD于点H，如图所示.
∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标（0，3），
∴AB＝5，点O的坐标为（2， ），点H的坐标为（ ， ）.在Rt△COH中，
OC＝ AB＝ ，OH＝ ，
∴CH＝ ，
∴点C的坐标为（ ， ）.
同理：点D的坐标为（ ，﹣ ），
∴ ，
解得：﹣ - ＜a＜﹣ + 且a≠0.
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式中，即可用含a的代数式表示出c；
（2） a＝ 时可得出c的值，将a，c的值代入抛物线解析式中，配方后即可解决最值问题；
（3）当a＝-时可得出c的值，将a，c的值代入抛物线解析式中，配方后可得出二次函数的最大值，再分别代入x＝0和x＝6求出y值，进而可得出当0≤x≤6时y的取值范围；
（4）利用配方法找出抛物线的对称轴及顶点坐标，设线段AB的中点为O，以AB为直径作圆，设抛物线对称轴与⊙O交于点C，D，过点O作OH⊥CD于点H，在Rt△COH中，利用勾股定理可求出CH的长，进而可得出点C的坐标，同理可得出点D的坐标，再结合顶点的纵坐标及二次项系数非零，即可求出a的取值范围。
50．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形ABCD是圆美四边形，求美角∠A的度数．
（2）在(1)的条件下，若⊙O的半径为5．
①求BD的长．　 　
②如图2，在四边形ABCD中，若CA平分∠BCD，则BC+CD的最大值是　 　．
（3）在(1)的条件下，如图3，若AC是⊙O的直径，请用等式表示线段AB，BC，CD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是圆美四边形，
∴ ，∠A+∠C=180°
∴∠A=60°.
（2）解：连结OB，OD，作OE⊥BD于点E，∴∠BOD=2∠A=120°，∵OB=OD，∴∠BOE= ∠BOD=60°，∴∠OBE=30°，∴OE= OB= ∴ BE = OE = ，∴ BD =2BE = ；10
（3）解：延长BC，AD交于点E
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠DCE=60°，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠B=∠ADC=90°=∠CDE，
∴∠E=30°，
在Rt△CDE和Rt△ABE中
CE=2CD，BE= AB=BC+CE
∴BC+2CD= AB.
【解析】【解答】（2）②如图，
∵∠BAD=60°，
∴∠BCD=120°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD= ，
∴AB=AD，
∴△ABD是等边三角形.
∴当点AC是直径时，BC+CD的值最大.
∵AC是直径，
∴BC=CD，∠ABC=90°，
∴∠BAC= ，
∴BC= ，
∴BC+CD=2BC=10.
【分析】（1）由圆美四边形的定义，可知四边形ABCD是圆内接四边形，则对角互补；且美角是对角的一半，依此可求得美角∠A的度数；（2）①由（1）得∠A的度数，则可知弦BD所对的圆心角度数；连结OB，OD，作OE⊥BD于点E构造直角三角形，即可求得BE和BD；
②结合CA平分∠BCD，∠BCD=120°， ∠BAD=60°，可证△ABD是等边三角形，则要使BC+CD的值最大，AC要过圆心，即AC为直径，求出此时BC+CD的值即可；（3）由（1）得∠A的度数为60°，在直角三角形中60°角可以得到边之间的数量关系，则延长BC，AD交于点E构造直角三角形；易求得∠BAD=∠DCE=60°，则在Rt△CDE和Rt△ABE中，可得相应边的数量关系.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)