27.2.2 相似三角形的性质 课件(共23张PPT) 人教版数学九年级下册

(共23张PPT)
27.2.2 相似三角形的性质
理解相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比.
掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
能够运用相似三角形性质进行简单的计算与证明.
经历相似三角形性质的探索过程，体会从特殊到一般、类比等数学思想方法.
1
2
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重点：熟练运用相似三角形的性质解决简单的数学问题.
难点：在复杂的几何图形中，准确识别相似三角形，并巧妙运用其性质解决问题.
全等三角形有哪些性质？
①全等三角形对应角相等、对应边相等；
②全等三角形对应边的高、中线、角平分线分别相等；
（全等三角形的对应线段相等）
③全等三角形的周长相等；
④全等三角形面积相等；
如图，小王依据图纸上的△ABC,以1︰2的比例建造了模型房的房梁△ A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.
（1）△ ACD和△ A′ C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
（2）如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？
相似；三边对应成比例；相似比为1:2.
3cm
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
知识点一：相似三角形对应线段的比
∴△ABD ∽ △A' B' D'
∴
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A'D'
则∠ADB =∠A' D' B' = 90°
∵△ABC ∽ △A′B′C′
∴∠B =∠B'
A
B
A'
B'
D'
D
C'
C
两角对应相等的两个三角形相似
结论：相似三角形对应高的比等于相似比
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∴∠B=∠B' ，
∴△ABD ∽△A' B' D'
∴
两角对应相等的两个三角形相似
结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
解：如图，分别作出 △ABC 和△ A′B′C′的中线 AD 和 A'D'，
则
∵△ABC ∽△A′B′C′
∴∠B =∠B' ，
∴△ABD ∽△A' B' D'
∴
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
A'
B'
A
B
C
D'
D
F
F'
E
E'
符号语言
相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都相等，且都等于相似比.
∵△ABC∽△ A′B′C′ ，相似比是 k
且 AD、A′D′是对应边的高线，
应BF、B′F′是对应边的中线，
CE、C′E′是对角的角平分线，
∴
C'
要点归纳
1. 如果两个相似三角形的对应角平分线的比为 4 : 7，那么对应高的比是 ，对应边上的中线的比是______.
2. △ABC 与 △DEF 的相似比为2: 3，若 BC 边上的高12 cm，则 EF边上的高 ＝_______ .
4∶7
4∶7
18 cm
基础练习
相似三角形的周长有什么关系呢？
解：如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此
AB = kA'B'，BC = kB'C'，CA = kC'A'，
从而
A
B
C
A'
B'
C'
结论：相似三角形周长的比等于相似比
知识点二：相似三角形周长的比
3．如图，在 ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
A
基础练习
知识点三：相似三角形面积的比
相似三角形面积的比与相似比有什么关系？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
A'
B'
D'
D
C'
C
由前面的结论，得
结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方
作三角形的高
例3.如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE ，AC = 2DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB = 2DE，AC = 2DF，
又 ∵∠D =∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
∴
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4. 如果一个三角形边长扩大为原来的 3 倍，那么面积扩大为原来的______倍；
5. 如果一个三角形面积扩大为原来的 64 倍，那么边长扩大为原来的______倍.
9
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基础练习
相似三角形的性质
对应线段
周长
面积
等于相似比
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
1.如图，D是△ABC中AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，已知AD：DB＝2：3，则
=（　　）
A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．4：25
D
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）．
A．2∶1 B．1∶2 C．1∶ D. ∶2
B
查漏补缺
3.两个相似三角形的对应边上的高之比是3:5,，周长之和是136，那么这俩个三角形的周长分别是多少？
解：∵两个相似三角形的对应边上的高之比是3 ：5，
∴这两个三角形周长比为：3：5．
又∵周长之和是136
∴这两个三角形周长分别为：，.
查漏补缺
4．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，
，CD＝4，则AC长为多少？

解：∵S△ADC：S△CBD＝5：4，
∴S△CDB：S△ACB＝4：9，
∵∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴
∴
∴AC＝6
提升能力
5. 如图，AB∥CD，AO∶AD＝2∶5.若△AOB的周长为12，求△COD的周长．
解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，
∴.
∵，∴，
∴，
故△COD的周长为18.
提升能力