27.2.3 相似三角形应用举例 课件(共27张PPT) 人教版数学九年级下册

(共27张PPT)
27.2.3 相似三角形应用举例
熟练掌握利用相似三角形解决测量高度、距离等实际问题的方法，如通过构建相似三角形模型，利用对应边成比例来计算未知量.
学会识别实际场景中与相似三角形相关的几何关系，准确找出相似三角形的对应边与对应角.
通过对实际问题的分析、抽象和解决，培养学生将实际问题转化为数学问题的思维能力，提高学生建立数学模型的能力.
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【重点】掌握运用相似三角形的性质和判定定理，来解决不能直接测量物体的长度、高度及两物之间距离等实际问题.
【难点】学会根据不同的实际场景和已知条件，巧妙地构造相似三角形.
小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为16 m(如图)，然后在A处树立一根高3 cm的标杆，测得标杆的影长AC为4 cm，楼高为________m.
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小明是怎样测出楼高的？
小星和你去埃及风情公园研学.在只有小镜子、标杆、皮尺等基本测量工具的情况下，你知道怎样测量“金字塔”的高度和“尼罗河”的宽度吗？
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.试着用他的方法测量公园里的“金字塔”.
知识点一：利用相似三角形测量高度
例4 如图，木杆 EF 长 2m，它的影长 FD 为 3m，测得 OA 为 201m，求金字塔的高度 BO.
解：∵太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽ △DEF.
∴ ，
= 134 (m).
∴
因此金字塔的高度为 134m.
表达式：物1高 : 物2高 = 影1长 : 影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
要点归纳
思考：
还可以有其他测量方法吗？
A
F
E
B
O
┐
┐
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面镜
C
入射光线
反射光线
∠EAC=∠BAC
∠EAF=∠BAO
∠EFA=∠BOA
入射角=反射角
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
注：“在同一时刻物高与影长成正比例”和“利用镜子的反射测量高度”这两种方法都用到相似三角形的性质测量高度
表达式：物1高 : 物2高 = 物1镜距 : 物2镜距
要点归纳
1、在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（　　）
A．10m B．12m C．15m D．40m
C
2、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（　　）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m
D
基础练习
小星从“金字塔”跨过“尼罗河”到对岸，他想通过手里的工具测量“尼罗河”的宽度，你能帮帮他吗？
知识点二：利用相似三角形测量宽度
例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45m，ST = 90m，QR = 60m，
请根据这些数据，计算河宽 PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
PQ × 90 = (PQ + 45) × 60.
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90m.
P
R
Q
S
b
T
a
∴ ，
解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P，
∴△PQR∽△PST.
即 ，
45m
90m
60m
还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD = 80m，DC = 30m，EC = 24m，求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
30 m
24 m
80 m
解：∵ ∠ADB = ∠EDC，
∠ABC = ∠ECD = 90°，
∴ △ABD ∽ △ECD.
∴ ，即 ，
解得 AB = 64.
因此，两岸间的大致距离为 64m.
E
A
D
C
B
30 m
24 m
80 m
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
要点归纳
3.如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即PE=20米）的P点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在C、D两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即A、C、P三点共线，B、D、P三点共线）．已知电线杆AB之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离CD为30米，求这条河的宽度．
基础练习
解：延长PE与AB交于点F，如解图所示．
∵PE⊥CD，AB∥CD，∴PF⊥AB
依题意，CD=30米，AB=75米
设这条河的宽度为x.
∵AB∥CD，∴△PBA~△PDC
∴
即
解得x=30
F
小星在公园步行穿过一片树林，细心地小星发现自己站在不同位置看同一列的树，有时候能看到第二棵树的顶端，有时候不能，这是怎么回事？
知识点三：利用相似解决有遮挡物问题
例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，小星估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH ∽ △CEK.
∴ ，
即
解得 EH = 8.
4. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( )
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
5. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( )
A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m
A
A
基础练习
利用相似三角形测量宽度
表达式：物1高 : 物2高 = 物1镜距 : 物2镜距
利用相似解决有遮挡物问题
利用相似三角形测量高度
表达式：物1高 : 物2高 = 影1长 : 影2长
相似三角形
应用举例
1. 为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为多少m．
解：由题意，得CF⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥CF
∵AC＝4.5m，
∴△AED∽△AFC，∴
解得CF＝2.7
∴坝高CF为2.7m
查漏补缺
2.如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为多少m？
H
G
解：如图，作EH⊥CD于H，交AB于G，
则GH=BD=7m，EG=BF=3m，GB=HD=EF=1.6m，
∴AG＝2.5﹣1.6＝0.9（m）
∵AG∥CH，∴△EAG∽△EHC
∴，∴
解得CH=3
∴CD=3+1.6=4.6（m）
∴树高为4.6m
查漏补缺