27.3 课时2 平面直角坐标系中的位似变换 课件(共16张PPT) 人教版数学九年级下册

(共16张PPT)
27.3 位似
课时2 平面直角坐标系中的位似变换
理解位似变换的概念，能识别平面直角坐标系中的位似图形，并确定位似中心.
掌握在平面直角坐标系中，位似图形对应点坐标的变化规律，能够根据位似比和已知点坐标求出位似图形对应点的坐标，或根据对应点坐标求出位似比.
能够利用位似变换的性质在平面直角坐标系中进行简单的图形放大或缩小绘制.
学会运用位似变换解决实际问题，如在地图绘制、图案设计等方面的应用，提高数学应用能力和创新思维.
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重点：掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时，原图形上的点与其位似图形上对应点的坐标变化规律，即点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)，其中k为相似比.
难点：能够熟练运用位似变换的知识解决实际问题
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称).
那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
左减右加纵不变，上加下减横不变.
关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数.
平 移
轴对称
关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数.
中心对称
关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数.
如图，在平面直角坐标系中，有两点 A ( 6，3 )，B ( 6，0 )．以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化.
A
B
A′
B′
A′′
B′′
A′ ( 2,1 )，B' ( 2,0 )
A" ( -2,-1 )，B" ( -2,0 )
知识点　位似图形的坐标特征及应用
如图，△AOC 三个顶点坐标分别为 A ( 4，4 )，O ( 0，0 )，C ( 5，0 )，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △AOC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
A
O
C
C′
A′
A′′
C′′
A' ( 8,8 )，C' ( 10,0 )
A" ( -8,-8 )，C" ( -10,0 )
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 ( x,y ) 对应的位似图形上的点的坐标为 ( kx,ky )或 ( -kx,-ky ).
【注意】上面的坐标的变化规律是以原点为位似中心的位似变化中图形上对应点的坐标的变化规律.
当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；
当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍．
要点归纳
例1.如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A ( -2 , 4 )，B ( -2 , 0 )，O ( 0 , 0 ). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 .
A
B
O
分析：由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的各项定点坐标. 根据前面总结的规律，点 A 的对应点 A' 的坐标为( -2×, 4×)，即 ( -3 , 6 ). 类似地，可以确定其他顶点的坐标.
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′( -3 , 6 )，
B′( -3 , 0 )，O( 0 , 0 ). 顺次连接点 A′，B′，O，所得 △A′B′O 就是要画的一个图形.
A
B
O
A′
B′
A′′
B′′
三角形 OA′′B′′ 也是满足要求的三角形，你能说明原因吗？
1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-5),B(-3,-1),C(-5,-4).
(1)以点O为位似中心, 为相似比,在第一象限内,画出△ABC的位似图形△A1B1C1;
解：如右图,△A1B1C1即为所求.
基础练习
(2)点M是BC的中点,请直接写出点M在△A1B1C1中的对应点M1的坐标.
解：∵点M是BC的中点,∴点M的坐标为
根据位似的性质,横纵坐标都变为原来的且在第一象限,
∴M1
2.△ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，-1)，以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )，
则△A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 .
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基础练习
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，总结它们的坐标变化规律
①平移变换：对应点的横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度
②轴对称变换：以x轴为对称轴则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.
③旋转变换：一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数.
④位似变换：当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横、纵坐标之比的绝对值等于位似比.
1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),B(4,1),以原点O为位似中心,相似比为2,把△OAB放大,则点A的对应点A'的坐标是( )
A.(1,1) B.(4,4)或(8,2) C.(4,4) D.(4,4)或(-4,-4)
D
2.如图,△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形.已知点A(3,4),C(2,2),
D(3,1),则点D的对应点B的坐标是 (　　)
C
A.(4,2) B.(4,1) C.(5,2) D.(5,1)
查漏补缺
3.在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为1∶2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是___________________.
(－2，1)或(2，－1)
4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(1，0)，B(2，3)，C(－1，2).若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为____________.
(4，6)
查漏补缺
5.如图,直线 与x轴,y轴分别交于A,B两点,△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶2,求点B'的坐标.
解：∵直线与x轴,y轴分别交于A,B两点,
令x=0可得y=1；令y=0可得x=-3,
∴点A和点B的坐标分别为(-3,0),(0,1)，AO=3,OB=1.
∵△BOC与△B'O' C'是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶2,
∴O' B' =2，AO' =6，，
当点B'在第一象限时,点B'的坐标为(3,2);
当点B'在第三象限时,点B'的坐标为(-9,-2),
∴点B'的坐标为(-9,-2)或(3,2).
提升能力