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浙教版九年级上册期末模拟直击考点卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．把抛物线向下平移2个单位长度后，与y轴的交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若，且，则的值为（ ）
A．10 B．4 C． D．
3．如图，为等边三角形，是内一点，若将经过旋转到的位置，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放动画片
B．太阳每天从东方升起
C．某彩票中奖率是，买张一定会中奖
D．某运动员跳高的最好成绩是米
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论：
①abc＞0；
②a+2c＜﹣b；
③c﹣3a＝0；
④直线y＝m可能与y＝|ax2+bx+c|有4个交点；
⑤若点M（x1，y2），点N（x1，y2）是抛物线上的两点，若x1＜x2，则y1＜y2．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值，有最大值0
C．有最小值，有最大值3 D．有最小值，无最大值
7．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．我们把宽与长的比等于黄金比( )的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形 中， 的平分线交 边于点 ， 于点 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知边长为 的正方形 ， 是 的中点， 是 的中点， 与 相交于 ， 和 相交于 ．则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知当 时，二次函数 的值恒大于1，则k的取值范围是（ ）
A．k≥ B．－ ≤k≤－
C．－ ＜k＜0 D．－ ≤k＜0
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．抛物线的对称轴是直线 ．
12．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD＝ .
13．如图，小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为，下午3时又测得该树的影长为，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为 .
14．如图．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（3，0），对称轴是直线上x= 1．则当y<0时。自变量x的取值范围是
15．如图，该图形绕其中心旋转能与自身完全重合．则其旋转角最小为 度．
16．如图，点P是反比例函数上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点A、B，若，，则点P的坐标为 ．
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有 名；
（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 ▲ ，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
18．（9分）卡塔尔世界杯期间，主办方向中国某企业订购1万幅边长为4米的正方形作品，其设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲；中心区是正方形，用材料乙）.在厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
材料 甲 乙
价格（元/米2） 60 30
设矩形的较短边的长为x米，制作一幅作品的材料费用为y元.
（1）的长为 米（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用吗？通过运算，请写出你的理由.
19．（9分）已知二次函数的图像经过三点，，.
（1）求二次函数的表达式.
（2）二次函数的图象上若有两点，且，根据图象直接写出的取值范围.
（3）点是第一象限内二次函数的图象上的一动点，作轴交于点，作于点.当点运动时，求面积的最大值.
20．（9分）如图，已知，在中，，．将绕点A逆时针旋转一个角至位置，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：
（2）若四边形ABFE为菱形，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出CF的值．
21．（9分）已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a．
（1）当a＝1时，求该二次函数的最大值；
（2）若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数a的值；
（3）若该二次函数在﹣≤x≤有最大值﹣3，求实数a的值．
22．（9分）如图，在矩形中，，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．
（1）如图1，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；（用含的式子表示）
（3）若，连接交于点，连接，当时，直接写出的长．
23．（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N作AB的垂线，分别交两直角边AC，BC所在的直线于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）.
（1）写出图中与△ABC相似的三角形；
（2）如图，设DM的长为x，矩形DENM面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，矩形DENM面积最大？最大面积是多少？
（3）在运动过程中，若点M的运动速度为每秒1个单位长度，求点N的运动速度.求t为多少秒时，矩形DEMN为正方形？
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浙教版九年级上册期末模拟直击考点卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．把抛物线向下平移2个单位长度后，与y轴的交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线向下平移个单位得，
∴把代入得，，
∴与y轴的交点的坐标为：
故答案为：A
【分析】根据二次函数的几何变换即可写出平移后的函数解析式，进而即可求出交点坐标。
2．若，且，则的值为（ ）
A．10 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
，，，
，
，
，
故答案为：B
【分析】先根据比例得到，，，进而代入化简即可求解。
3．如图，为等边三角形，是内一点，若将经过旋转到的位置，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】根据题意
为等边三角形
经过旋转到位置，
AB绕点A逆时针旋转到AC位置，旋转角是
旋转角的度数为 60°
故选：D
【分析】由图分析旋转的三要素，可知旋转角度是等边三角形的内角，故选60°。
4．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放动画片
B．太阳每天从东方升起
C．某彩票中奖率是，买张一定会中奖
D．某运动员跳高的最好成绩是米
【答案】B
【解析】【解答】
A：打开电视机，正在播放动画片，是随机事件，不符合题意
B：太阳每天从东方升起，是必然事件，符合题意
C：某彩票中奖率是，买张一定会中奖，不是必然事件，不符合题意
D：某运动员跳高的最好成绩是米，是随机事件，不符合题意
故选：B
【分析】根据必然事件的定义在某一条件下必然重复发生的事件，进行判定即可。
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论：
①abc＞0；
②a+2c＜﹣b；
③c﹣3a＝0；
④直线y＝m可能与y＝|ax2+bx+c|有4个交点；
⑤若点M（x1，y2），点N（x1，y2）是抛物线上的两点，若x1＜x2，则y1＜y2．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：图像开口向上，则a>0，与y轴的交点在x轴下方，则c<0，
对称轴在y轴右侧，则， ∴b<0，∴abc>0，①正确；
对称轴为直线x＝2． 则，∴b=-4a
∴-b-a=4a-a=3a>0，又2c<0，∴2c<3a， ∴2c<-b-a， ∴a+2c<-b ②正确；
∵x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，∴a+4a+c=0，∴c=-5a，∴c-3a=-5a-3a=-8a<0，∴③错误；
当m>0时，y=m 与y＝|ax2+bx+c|有4个交点。④正确；
当M和N在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，此时若x1＜x2，则y1＞y2．∴⑤错误。
综上，共有3个结论是正确的。
故答案为：B
【分析】根据图像的开口方向判断a的正负，结合对称轴的位置判断b的正负，根据图像与y轴的交点位置判断c的正负，从而得出abc的值的范围，判断①的正误；根据对称轴得出b和a的关系，结合c的正负和解析式推导出a+2c与b之间的关系，判断②的正误；根据图像得出x=-1时，y=0，代入解析式推导出a与c之间的关系判断③的正误；结合图像得出y＝|ax2+bx+c|的图像及它与y=m的交点情况，判断④的正误；考查当M和N在对称轴左侧时的情形，从而判断⑤的正误。
6．已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值，有最大值0
C．有最小值，有最大值3 D．有最小值，无最大值
【答案】C
【解析】【解答】解：由图可得：抛物线有最小值为-1，最大值为3.
故答案为：C.
【分析】观察图象，抛物线的开口向上，则顶点为最低点，所以有最小值；再根据图象可知3为最大值.
7．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵正六边形的中心角为：360°÷6=60°，
∴正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60° 的整数倍，
即旋转角的大小可能为：60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°.
故答案为：B.
【分析】由题意先求出正六边形的中心角的度数，再根据中心角的整数倍进行判断即可求解.
8．我们把宽与长的比等于黄金比( )的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形 中， 的平分线交 边于点 ， 于点 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是矩形，
，
，即 ，
四边形ABFE是矩形，
是 的平分线，且 ，
，
四边形ABFE是正方形，
，
又 四边形ABCD是黄金矩形，且 ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
则 ， ，
即 ，选项A正确；
， ，
即 ，选项B正确；
， ，
即 ，选项C错误；
，则选项D正确；
故答案为：C.
【分析】利用矩形的性质可证得∠A=∠ABC=90°，AD=BC，同时可证得四边形ABFE是矩形；再利用角平分线的性质可得到AE=EF，利用有一组邻边相等的矩形是正方形，可推出四边形ABFE是正方形，利用正方形的四边相等可得到AE=EF=AB=BF；再根据四边形ABCD是黄金矩形可得到AB与BC的比值，设，可表示出BC，DE，CF，BE的长，然后进行计算，可对各选项逐一判断.
9．如图，已知边长为 的正方形 ， 是 的中点， 是 的中点， 与 相交于 ， 和 相交于 ．则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形
∴BC∥AD，AD=BC=AB=2
∵ 是 的中点，
∴
∴△BFH∽△DAH，
∴相似比为
∴△BFH与△DAH相似比为1：2，
∴△BFH与△DAH对应高的比1：2，
∴△BFH的BF边上的高为 ，△DAH的AD边上的高为 ，
∴△ADH的面积为 ，△FBH的面积为 ；
∵ 是 的中点，
∴
∴
在△ABF和△DAE中
∵
∴△ABF≌△DAE，（SAS）
∴∠BAF=∠ADE，AF=DE
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∴∠AIE=90°=∠DAB，
∵∠ADE=∠IDA
∴△AEI∽△EDA，
∴
∵AF=DE=
∴
∴
∴△AEI的面积=
∴四边形BEIH的面积=
故答案为：C．
【分析】根据BC//AD，可证明△BFH∽△DAH，计算出△ADH的面颊，再根据△AEI∽△EDA，求出△AEI的面积，最后相加即可。
10．已知当 时，二次函数 的值恒大于1，则k的取值范围是（ ）
A．k≥ B．－ ≤k≤－
C．－ ＜k＜0 D．－ ≤k＜0
【答案】A
【解析】【解答】解：二次函数 的图象是一条开口向上的抛物线，
（1）当抛物线的对称轴 时，
要使二次函数解析式的值 时恒大于1，
只要 ， ，
解得： ，
∴ ；
（2）当抛物线的对称轴 时，
要使二次函数解析式的值 时恒大于1，
∵抛物线 过定点(0，3)，
∴只要 即可；
（2）当抛物线的对称轴 在区间 时，
∵ ，即 ，
此时，要使二次函数解析式的值 时恒大于1，
只要 即可，
解得： ，
∴ ，
综上所述：k的取值范围是： ，
故答案为：A.
【分析】 分三种情况讨论：即①当抛物线的对称轴x=2k≤-1时，②当抛物线的对称轴x=2k≥0时，即k≥0时，③当抛物线的对称轴x=2k在区间-1＜x＜0时，进行分析得出k的取值范围即可．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．抛物线的对称轴是直线 ．
【答案】
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是直线．
故答案为：．
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴是直线x=h，据此求解即可．
12．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD＝ .
【答案】36°
【解析】【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BAE= (n﹣2)×180°= (5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，
∴ ，
∴∠CAD= ×108°=36°；
故答案为：36°.
【分析】由正五边形的性质得出∠BAE= (5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 ，由圆周角定理即可得出答案.
13．如图，小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为，下午3时又测得该树的影长为，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：根据题意作图，，，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：4.
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠B，结合∠ADB=∠CDA=90°，判断出△ADB∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出AD的长.
14．如图．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（3，0），对称轴是直线上x= 1．则当y<0时。自变量x的取值范围是
【答案】x<-1或x>3
【解析】【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（3，0），对称轴是直线上x= 1 ，
图象与x轴得另一个交点为（-1，0），
根据图象可得 当y<0时 ， 自变量x的取值范围是x<-1或x>3 ，
故答案为： x<-1或x>3 .
【分析】根据 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（3，0），对称轴是直线上x= 1 先求出函数与x轴的另一个交点，再根据图象即可求得结论.
15．如图，该图形绕其中心旋转能与自身完全重合．则其旋转角最小为 度．
【答案】72
【解析】【解答】解：该图形绕其中心旋转能与自身完全重合 ，
故答案为：72.
【分析】根据该图形绕其中心旋转能与自身完全重合 ，且可以看作5等分，进而即可求解.
16．如图，点P是反比例函数上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点A、B，若，，则点P的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如下图，延长交轴于点，延长交轴于点，连接，
设点，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】延长PA交x轴于点C，延长PB交y轴于点D，连接CD，设点P(a，b)，用含a、b的代数式表示出A和B两点坐标，证，可得AB∥CD；根据OP=2AB列方程求出k的值，再证得，根据相似三角形的性质求解即可。
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有 名；
（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 ▲ ，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
【答案】（1）60
（2）解：90°；补全条形统计图如下：
；
（3）解：列出表格如下：
小华 小光 小艳 小萍
小华 小华，小光 小华，小艳 小华，小萍
小光 小华，小光 小光，小艳 小光，小萍
小艳 小华，小艳 小光，小艳 小萍，小艳
小萍 小华，小萍 小光，小萍 小萍，小艳
共有12种情况，其中恰好小华和小艳的有2种，
∴P(恰好小华和小艳) ．
【解析】【解答】解：（1） ；
（2）B项目的总人数为 人，
∴“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 ，
【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去其他项目的人数，求出B项目的人数，再用360°乘以“B项目”所占的百分比即可得出“B项目”所对应的扇形圆心角的度数，最后补全统计图即可；
（3）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式可得出答案。
18．（9分）卡塔尔世界杯期间，主办方向中国某企业订购1万幅边长为4米的正方形作品，其设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲；中心区是正方形，用材料乙）.在厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
材料 甲 乙
价格（元/米2） 60 30
设矩形的较短边的长为x米，制作一幅作品的材料费用为y元.
（1）的长为 米（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用吗？通过运算，请写出你的理由.
【答案】（1）(4-2x)
（2）解：每个矩形阴影部分面积为，
中心区正方形的面积为，
，
由题可知，，解得，
（3）解：够用，理由如下，
，对称轴为，
中心区的边长不小于3，
，
，
当时，y随x增大而增大，
即时，，
1万幅作品消耗的费用为690万；
，
当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用.
【解析】【解答】（1），，四个阴影部分是四个全等的矩形，
，，
，
故答案为：(4-2x)；
【分析】（1）根据全等图形的性质得D'G=AH=x，A'G=HD=4-x，进而根据A'D'=A'G-D'G即可用含x的式子表示出A'D'；
（2）利用矩形面积计算公式及正方形面积计算公式分别表示出阴影部分面积及中心区正方形的面积，进而根据每平方米的单价乘以图形面积分别表示出需要甲乙两种材料的费用，求和即可得出y关于x的函数关系式；进而根据几何图形边长只能为正数列出关于x的不等式组，求解可得x的取值范围；
（3）由（2）所得函数解析式的性质并结合中心区的边长不小于3，解题即可.
19．（9分）已知二次函数的图像经过三点，，.
（1）求二次函数的表达式.
（2）二次函数的图象上若有两点，且，根据图象直接写出的取值范围.
（3）点是第一象限内二次函数的图象上的一动点，作轴交于点，作于点.当点运动时，求面积的最大值.
【答案】（1）解：由交点式设二次函数表达式为，
把带入二次函数得：，
解得：，
二次函数表达式为
（2）解：
（3）解：设直线的解析式为：，
将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则点，
则，
当时，，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当最大时，最大，即当时，，
此时：.
【解析】【解答】（2）解：由（1）得，二次函数解析式为：，
对称轴为，
关于对称的点为，
二次函数的图象上若有两点，且，
由图象可得的取值范围为；
【分析】（1）由交点式设二次函数表达式为y=a(x+1)(x-4)，将C（0，3）代入求出a的值，据此可得二次函数的解析式；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=，关于对称轴对称的点为，据此不难得到m的范围；
（3）利用待定系数法求出直线BC的解析式，设D（m，m2+m+3），则E（m，m+3），表示出DE，由二次函数的性质可得DE的最大值，证明△DFE∽△BOC，利用勾股定理求出BC的值，根据相似三角形的性质可得DF、EF，根据三角形的面积公式可得S△DEF，据此解答.
20．（9分）如图，已知，在中，，．将绕点A逆时针旋转一个角至位置，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：
（2）若四边形ABFE为菱形，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出CF的值．
【答案】（1）证明：由旋转得：AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=α，
∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵AB=AD，∠BAD=，∠BAC=30°，
∴∠ABD=（180°－∠BAD）÷2=（180°－）÷2=90°－，∠BAE=+30°，
∵四边形ABFE是菱形，
∴∠BAE+∠ABD=180°，即+30°+90°－=180°，
解得：=120°；
（3）
【解析】【解答】解：（3）连接AF，
∵四边形ABFE是菱形，∠BAE=+30°=150°，
∴∠BAF=∠BAE=75°，又∠BAC=30°，
∴∠FAC=75°－30°=45°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠FCA=∠ABD=90°－=30°，
过F作FG⊥AC于G，设FG=x，
在Rt△AGF中，∠FAG=45°，∠AGF=90°，
∴∠AFG=∠FAG=45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG=FG=x，
在在Rt△AGF中，∠FCG=30°，∠FGC=90°，
∴CF=2FG=2x，，
∵AC=AB=2，又AG+CG=AC，
∴，
，
∴CF=2x= ．
【分析】（1）由SAS证明即可；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ABD=（180°－∠BAD）÷2=（180°－a）÷2=90°－a，再由四边形内角和定理得出∠BAE+∠ABD=180°，求解即可；
（3）连接AF，根据四边形ABFE是菱形，△ABD≌△ACE，证出△AGF是等腰直角三角形，在Rt△AGF中，∠FCG=30°，∠FGC=90°，CF=2FG=2x，，再根据AC=AB=2，又AG+CG=AC，解答即可。
21．（9分）已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a．
（1）当a＝1时，求该二次函数的最大值；
（2）若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数a的值；
（3）若该二次函数在﹣≤x≤有最大值﹣3，求实数a的值．
【答案】（1）解：将代入解析式y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，
即，
当时，该二次函数的最大值为
（2）解：①令，
解得
即该抛物线为与坐标轴的交点为原点，只有1个交点，不符合题意
②则该抛物线与x轴有两个交点，且有一个必过原点
即，解得或（舍）
综上所述，
（3）解：y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a的对称轴为
①若，即，抛物线的开口向下，当时，
该二次函数在﹣≤x≤有最大值﹣3，
解得
，
舍去
②若，即
当﹣≤x≤时，y随x的增大而减小，当时，取得最大值为
解得
③若，即
当﹣≤x≤时，y随x的增大而增大，当时，取得最大值为
解得
综上所述或
【解析】【分析】（1）你用代入法即可得出答案；
（2）①令，，②则该抛物线与x轴有两个交点，且有一个必过原点，分别讨论得出a的值即可；
（3）根据二次函数的解析式的对称轴，分为两种情况：①若，②若，③若，分类讨论即可。
22．（9分）如图，在矩形中，，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．
（1）如图1，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；（用含的式子表示）
（3）若，连接交于点，连接，当时，直接写出的长．
【答案】（1）解：，证明如下：
，
四边形矩形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
；
（3）的长为或．
【解析】【解答】（3）解：如图，当点在上时，
四边形是矩形，，
，，，
，
，
在中，，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，
四边形是矩形，，
，，，
，
在中，，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上可知，的长为或．
【分析】（1）利用矩形的性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则AE=AF，即可求出答案.
（2）利用矩形的性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）分两种情况讨论：当点在上时；当点在的延长线上时，先利用勾股定理求出的长，再根据相似三角形的性质，得出和的长，然后由勾股定理即可求出的长.
（1）解：，证明如下：
，
四边形矩形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，当点在上时，
四边形是矩形，，
，，，
，
，
在中，，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，
四边形是矩形，，
，，，
，
在中，，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上可知，的长为或．
23．（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N作AB的垂线，分别交两直角边AC，BC所在的直线于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）.
（1）写出图中与△ABC相似的三角形；
（2）如图，设DM的长为x，矩形DENM面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，矩形DENM面积最大？最大面积是多少？
（3）在运动过程中，若点M的运动速度为每秒1个单位长度，求点N的运动速度.求t为多少秒时，矩形DEMN为正方形？
【答案】（1）图中与△ABC相似的三角形有△DEC，△EBN，△ADM；
（2）解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴ ，
∵△ADM∽△ABC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵△ADM∽△ABC，△DEC∽△ABC，
∴△ADM∽△DEC，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，矩形DENM面积最大，最大面积是3；
（3）解：当M、N相遇前，
∵四边形DENM是矩形，
∴NE=MD，
∵△AMD∽△ABC，
∴ ，
由题意得 ，
∴ ，
∴ ；
∵△BEN∽△BAC，
∴ ，即
∴ ，
∴点N的速度为每秒 个单位长度；
∵当N、M相遇时，有AM+BM=AB，
∴ ，
解得 ，即M、N相遇的时间为 ，
当N、M相遇后继续运动，N点到达A点时，
∴ ，
解得 ，即N点到底A点的时间为 ；
∵矩形DENM是正方形，
∴DM=MN=EN，
当N、M相遇前，即当 时， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当N、M相遇后，即当 时， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 不符合题意，
∴综上所述，点N的速度为每秒 个单位长度，当 时，矩形DEMN为正方形.
【解析】【解答】（1）解：∵四边形DENM是矩形，
∴DE∥AB，∠DMN=∠DMA=∠ENM=∠ENB=90°，
∴△CDE∽△CAB，
∵∠ACB=∠AMD=∠ENB=90°，∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△AMD∽△ACB，△ENB∽△ACB；
∴图中与△ABC相似的三角形有△DEC，△EBN，△ADM；
【分析】（1）易得DE∥AB，∠DMN=∠DMA=∠ENM=∠ENB=90°，∠ACB=∠AMD=∠ENB=90°，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）利用勾股定理求出AB，设DM=x，根据相似三角形的性质表示出AM，由勾股定理可得AD，进而表示出CD，易证△ADM∽△DEC，然后根据相似三角形的性质可得DE，接下来根据三角形的面积公式可得S矩形DENM，最后结合二次函数的性质进行解答；
（3）当M、N相遇前，根据矩形的性质可得NE=MD，由题意可得AM=t，根据相似三角形的性质可得MD、BN，然后根据AM+BM=AB求解即可；当N、M相遇后继续运动，N点到达A点时，根据正方形的性质可得DM=MN=EN；当N、M相遇前，表示出MD、BN、AM，然后根据MN=AB-AM-BN可求出t的值；同理可得当N、M相遇后，t的值，据此解答.
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