27.2.1 课时1 平行线分线段成比例 课件(共27张PPT) 人教版数学九年级下册

(共27张PPT)
27.2.1 解直角三角形
课时1 平行线分线段成比例
理解相似三角形的概念.
理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明.
掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
学会运用类比、转化等数学思想，将平行线分线段成比例问题转化为三角形相似问题，提高分析问题和解决问题的能力.
1
2
3
4
【重点】掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明.
【难点】能准确识别图形中的对应线段，并能运用定理进行简单的比例计算与线段长度求解
两个边数相同的多边形，如果他们的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形.
类比
对应角分别相等，并且边也成比例的两个三角形叫作相似三角形
如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？
A
B
C
A′
B′
C′
对应角分别相等，对应边成比例
即∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
则△ABC与△A′B′C′相似，且相似比为k.
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与△A′B′C′ 相似记作△ABC∽△A′B′C′”.
知识点一：相似三角形概念
A
B
C
A′
B′
C′
对应角分别相等，且边也成比例的两个三角形相似.
符号语言：
在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
∴△ABC与∽A′B′C′相似
要点归纳
【注意】
(1)当边的比值等于1时，相似三角形是全等三角形.即相似不一定全等，但全等一定相似.
(2)相似三角形的定义既是最基本的判定方法，也是最本质、最重要的性质.
(3)在书写两三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即△ABC∽△A'B'C'，则说明A的对应点是A'，B的对应点是B'，C的对应点是C'.
要点归纳
思考：△ A'B'C' ∽△ABC与△ABC ∽△ A'B'C'的相似比是否相同？
△ A'B'C' ∽△ABC与△ABC ∽△ A'B'C' 的相似比不同.
注意：相似比带有顺序性，如△ABC∽△ A'B'C' ，
则
反过来△ A'B'C'与△ABC的相似比为
A
B
C
A′
B′
C′
判定三角形全等，我们并不是验证六个条件，而是利用了几个简便的判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS），那么判定三角形相似我们又能不能用类似的简便的判定方法呢？我们先来探究下面的问题.
知识点二：平行线分线段成比例（基本事实）及推论
如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2，都相交的平行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度
（1） 相等吗？
（2）任意平移 l5， 还相等吗？
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
通过度量可以发现，若 l3∥ l4 ∥ l5，则 ，
，
任意平移直线 l5 ，
这些线段依然成比例.
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
注意“对应”两字．
（1） 简称“上比下”等于“上比下”
（2） 简称“上比全”等于“上比全”
（3） 简称“下比全”等于“下比全”
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
要点归纳
A
B
C
D
E
F
l4
l5
l3
l2
l1
A
B
C
D
E
l4
l5
l3
l2
l1
如图，当直线l1与l2相交时，基本事实还成立吗？
成立. 对应边仍然成比例，即
A
B
C
D
E
l4
l5
l3
l2
l1
成立. 对应边仍然成比例，即
A
B
C
D
E
F
l4
l5
l3
l2
l1
如图，当直线l1与l2相交时，基本事实还成立吗？
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况.
A
B
C
D
E
l4
l5
l3
l2
l1
A
B
C
D
E
l4
l5
l3
l2
l1
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
要点归纳
1.如图，在△ABC中， EF∥BC.
(1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点，AE = 2,BE=6，FC= 3，那么 AF 的长是多少？
A
B
C
E
F
解得 AF = 1.
∵EF∥BC，
解：
∴
基础练习
∴
思考：如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC 有什么关系？
猜测：△ADE∽△ABC
B
C
A
D
E
那么如何去证明它呢？
知识点三：判定三角形相似的引理
我们可以通过相似的定义证明它，即证明∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
由前面的结论可得，
而除 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，
要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需将DE平移到BC边上去，使BF=DE，再证明 就可以了.
B
C
A
D
E
证明：先证明两个三角形的角分别相等
在 △ADE与 △ABC中，∠A =∠A.
∵ DE∥BC，∴ ∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F.
C
B
D
E
F
∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴
∵ 四边形DBFE为平行四边形，
∴ DE=BF，
∴△ADE∽△ABC.
∴
再证明两个三角形的边成比例
A
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
∴
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
定理应用格式：
∵ DE∥BC
∴ △ADE∽△ABC
B
C
A
D
E
三角形相似的两种常见类型：
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
要点归纳
2.问题：如图，DE∥BC，且 DE 分别交 BA，CA 的延长线于点 D，E，△ABC 与△ADE 相似吗？如何证明呢？
基础练习
证明：先证明两个三角形的角分别相等.
如图，在△ADE 与△ABC 中，∠DAE=∠BAC.
∵DE//BC，∴∠D=∠B，∠AED=∠C.
再证明两个三角形的边成比例.
过点E作EF//AB，交CB的延长线于点F.
∵DE//BC，EF//AB，
C
D
B
A
E
F
2.问题：如图，DE∥BC，且 DE 分别交 BA，CA 的延长线于点 D，E，△ABC 与△ADE 相似吗？如何证明呢？
基础练习
C
D
B
A
E
F
∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF.
∴ △ADE和△ABC的角分别相等，边成比例，
∴ △ADE∽△ABC.
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例
相似三角形判定的引理：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
基本事实：
平行线分线段成比例
1.直线AB//CD//EF，若AC=4，CE=11，则 ， .
A
C
E
B
D
F
解：∵AB//CD//EF,
∴==,
∵AC=4，CE=11，∴AE=15
∴==.
查漏补缺
2.如图，AB//DE，若AB=9，BC=3，DC=1，则DE=____.
3
A
B
C
D
E
3. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.
C
D
A
B
E
F
O
3
查漏补缺
3.如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ）
A．3:2 B．3:1
C．1:1 D．1:2
D
查漏补缺
4.如图，在 □ABCD 中，EF∥CD， BE: BC = 2: 9，EF = 4，求 AB的长．
解：∵ EF∥CD，BE : BC= 2 : 9，
D
A
C
B
E
F
∴ △BEF ∽ △BCD，
解得 CD = 18.
又 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB=CD =18.
提升能力
∴=，
即=，