27.2.1 课时2 三边成比例、两边成比例且夹角相等判定 课件(共24张PPT) 人教版数学九年级下册

(共24张PPT)
27.2.1 解直角三角形
课时2 三边成比例、两边成比例且夹角相等判定
深入理解相似三角形的判定定理“三边成比例的两个三角形相似”，“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”能在不同的几何图形情境中，熟练运用该定理进行相关的计算与证明.
体会从特殊到一般、从直观感知到逻辑推理的数学思维方法，培养自主探究和归纳总结的能力.
在运用判定定理解决实际问题的过程中，进一步提高逻辑推理能力、几何直观能力以及数学语言表达能力，学会将复杂的几何图形分解为简单的三角形模型，运用所学定理进行分析和处理.
感受数学的严谨性和逻辑性，体会数学在解决实际问题中的广泛应用价值.
1
2
3
4
【重点】掌握相似三角形判定定理.
【难点】能在不同的几何图形情境中，熟练运用该定理进行相关的计算与证明
目前为止，我们已经学习的判定三角形相似的方法有哪些？
定义法：
对应边成比例，且对应角相等的两个三角形是相似三角形．
A
B
C
A′
B′
C′
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
所以，△ABC与△A′B′C′相似，且相似比为k.
平行线法：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
∵ DE∥BC
∴ △ADE∽△ABC
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
还有哪些方法可以判定两个三角形相似呢？
思考：类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
【探究一】任意画一个△ABC ，再画一个△A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC 的各边长的 k 倍
1.猜想这两个三角形相似吗？
2.你从中得出什么结论？
A
B
C
A′
C′
B′
判定1：三边成比例的两个三角形相似
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，
求证：△ABC∽△A'B'C'.
A
B
C
A'
B'
C'
分析：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，构造△A'DE．
D
E
证明：在A'B'上取A'D=AB，过点D作DE//B'C'，交A'C'于点E
∴DE=BC， A'E=AC .
∵DE//B'C'
又∵A'D=AB，
∴
∴△A'B'C'∽△A'DE
∴△A'DE ≌△ABC
∴△ABC∽△A'B'C'
A
B
C
A'
B'
C'
D
E
思路点拨
截取A'D=AB
并添加平行线
构造相似
三角形
对应边
相等
DE=BC
A'E=AC
△A'DE≌△ABC
SSS
△A'DE∽△A'B'C'
△ABC∽△A'B'C'
通过构造全等证相似
辅助线的价值：将△ABC平移到△A'DE的位置 .
A
B
C
A'
B'
C'
D
E
判定三角形相似的定理1：三边成比例的两个三角形相似．
A
B
C
A′
C′
B′
符号语言：
在△ABC 和△A'B'C'中，
∵ ，
∴△ABC∽△A'B'C'．
要点归纳
例1.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：
(1)AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=24cm.
方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
解：相似. 理由如下：
∵
∴
∴△ABC ∽ △A′B′C′（三边成比例的两个三角形相似）.
1.已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(2) AB=3， BC =9， AC＝6，
DE＝27，EF＝18， DF＝9；
(1) AB =2， BC =5， AC＝8，
DE＝3， EF＝6， DF＝9；
是
否
基础练习
思考：类似于判定三角形全等的SAS的方法，我们能不能通过两边和夹角判定两个三角形相似呢？
【探究二】利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，
使∠A =∠A′，
1.猜想这两个三角形相似吗？
2.你从中得出什么结论？
A'
B'
C'
A
B
C
判定2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A = ∠A′，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
分析: 通过作辅助线，构建与△ABC全等，并且与△A′B′C′相似的三角形即可
B
A
C
B'
A'
C'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
∵ A′D=AB，
∴
判定三角形相似的定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
在△ABC 和△A'B'C'中，
要点归纳
思考：对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 ∠B = ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
不会，如左图，因为不能证明构造的三角形是唯一的.
A
B
C
A′
B′
C″
C′
例2. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
(2)∠A = 120° ，AB = 7 cm ，AC = 14 cm，
∠A′ = 120° ，A′B′ = 3 cm ，A′C′= 6 cm，
解：相似. 理由如下：
∵
∴ 又∵∠A=∠A′
∴△ABC ∽ △A′B′C′.（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
2.如图，△ABC与△ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAC=∠BAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ AD =AE，AB = AC，
∴
∵∠DAC = ∠BAE，
∴∠DAC +∠CAE = ∠BAE +∠CAE，
即 ∠DAE =∠BAC，
∴△ABC ∽△ADE.（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
A
B
C
D
E
基础练习
三角形相似的判定1和2
判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
判定定理1：
三边成比例的两个三角形相似
2. 若一个三角形的三边长分别为2cm，4cm，6cm，另一个三角形的三边长分别为12cm，4cm，________时，这两个三角形相似．
8cm
1. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 ( )
①
②
③
④
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
C
查漏补缺
3. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：
(1)∠A=40o,AB=8cm,AC=15cm；
∠A′=40o,A′B′=16cm,A′C′=30cm.
解析：∵
∴，
∵∠A= ∠A′ ，
∴ △ABC∽ △A′B′C′ .
(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm；
A′B′=16cm,B′C′ = 12.8cm,A′C′=25.6cm.
解析：∵
∴，
∴ △ABC∽ △A′B′C′ .
查漏补缺
4.如图，在△ABC 中，CD是边AB上的高，且，
求证：△ABC是直角三角形.
B
A
C
D
证明： ∵CD 是AB边上的高，
∴∠ADC =∠CDB =90°，
则∠A +∠ACD = 90°.
∴△ADC ∽△CDB,∴ ∠BCD =∠A，
∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠ACD+∠A = 90°.
∴△ABC是直角三角形.
∵ ,
提升能力
5. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，
求证：∠A=∠DEF．
∴△ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴
∴
A
B
C
E
F
D
∴∠A=∠DEF.
提升能力