河南省百师联盟2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

河南省百师联盟 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 1：( 1) + 2 + 1 = 0， 2： + ( + 2) + 4 = 0，设甲： 1// 2；乙： = 2，则甲是乙的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.直线3 4 + 10 = 0与以点 ( 1, 2)为圆心的圆相交于 ， 两点，且| | = 8，则圆 的方程为( )
A. ( + 1)2 + ( + 2)2 = 25 B. ( 1)2 + ( 2)2 = 25
C. ( + 1)2 + ( + 2)2 = 5 D. ( 1)2 + ( 2)2 = 5
3.甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的5个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人
听同一个讲座的情况种数为( )
A. 125 B. 100 C. 80 D. 60
4.下列说法中，正确的是( )
A. 点 (3,2,1)关于平面 对称的点的坐标是( 3,2, 1)
B. 若直线 的方向向量为 = (1, 1,2)，平面 的法向量为 = (4, 4,8)，则 ⊥
1
C. 已知 为空间中任意一点， ， ， ， 四点共面，且 ， ， ， 中任意三点不共线，若 = + ，
2
则 = 1
D. 若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角为30°，则直线 与平面 所成的角为30°
5.已知平面 ， 的法向量分别为 = (2,1, 3)， = (1, 3,2)，则平面 ， 的夹角的大小为( )
5 2
A. B. C. D.
6 3 3 6
6.已知抛物线 2 = 6 ，直线 过抛物线的焦点且与抛物线交于 ， 两点，若弦 的长为8，则直线 的方程
为( )
1 3 1 3 3 3
A. = 或 = + B. = √ 3( )或 = √ 3( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
C. = √ 3 或 = √ 3 + D. = 2 或 = 2 +
2 2 2 2
7.如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡
片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为8”的不
同的放法有( )
A. 16种 B. 32种 C. 64种 D. 96种
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8.空间直角坐标系 中，过点 ( 0, 0, 0)且一个法向量为 = ( , , )的平面 的方程为 ( 0) +
( 0) + ( 0) = 0.已知平面 的方程为 + + 4 3 = 0，直线 是平面 ： + 2 3 = 0与平面 ：
2 + + 1 = 0的交线，则直线 与平面 所成角的大小为( )
2
A. B. C. D.
6 4 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则( )
A. 可以组成60个三位数
B. 在组成的三位数中，各位数字之和为8的个数为12
C. 在组成的三位数中，比400大的个数为12
D. 在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为20
2
10.双曲线 ： 22 = 1的焦点为 1( 2,0)， 2(2,0)，过 1的直线 1与双曲线的左支相交于 ， 两点，过 2
的直线 2与双曲线的右支相交于 ， 两点，若四边形 为平行四边形，则( )
A. = √ 3
B. | 1| | 1| = 2√ 3
√ 3
C. 平行四边形 各边所在直线斜率均不为±
3
8√ 3
D. ≤ 3
11.如图，在正方体 1 1 1 1中， 为棱 1的中点， 为正方形 1 1
内一动点(含边界)，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥 1 1 的体积为定值
B. 若 1 //平面 1 ，则动点 的轨迹是一条线段
C. 存在 点，使得 1 ⊥平面 1
D. 若直线 1 与平面 1 1所成角的正切值为2，那么点 的轨迹是以 1为圆心，半棱长为半径的圆弧
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在平行六面体 1 1 1 1中， 1 = , = , = ，点 在 1 上，且 1 ： = 2：5，用 , ,
表示 ，则 = ______．
2 2
13.已知椭圆 ： + = 1( > 0，且 ≠ 6)，直线 + 4 = 0与椭圆 相交于 ， 两点.若点(1,3)是线
6
段 的中点，则椭圆 的半焦距 = ______．
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1 1 1
14.已知集合 = { 4, 3, , , , 3,5}，若 ， ， ∈ 且 ， ， 互不相等，则使得指数函数 = ，对数
2 3 5
函数 = log ，幂函数 =
中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对( , , )的个数是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留
念．
(1)要求小王与工作人员甲、乙都相邻，有多少种不同的站法？
(2)若这5名工作人员中，甲、乙、丙的身高互不相等，拍照时甲、乙、丙三人按从高到低的顺序从左到右
排列(不一定相邻)，有多少种不同的站法？
(3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？(写出必要的数学式，结
果用数字作答)
16.(本小题12分)
在空间直角坐标系中，点 (0,0,0)， (1,0, 2)， (0,1,1)， (3,2,1)．
(1)证明： ， ， 不共面；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
如图，在四棱柱 1 1 1 1中，四边形 是正方形，∠ 1 = ∠ 1 = 60°， 1 = 2 = 2，
点 为 1的中点．
(1)用向量 , , 1表示 ；
(2)求线段 的长及直线 与 1所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
1
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， // , = = = 1, 为棱
2
的中点．
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(1)证明： //平面 ；
(2)若 = √ 5, = 1，
( )求二面角 的余弦值；
5√ 6
( )在棱 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ？若存在，求出 的长；若不存在，说明理
18
由．
19.(本小题12分)
2 2
设 1， 2分别为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点， 是椭圆 的短轴的一个端点，△ 1 2的面
√ 3
积为√ 2，椭圆 的离心率为 ．
3
(1)求椭圆 的方程．
(2)如图， ， ， 是椭圆 上不重合的三点，原点 是△ 的重心．
( )当直线 垂直于 轴时，求点 到直线 的距离；
( )求点 到直线 的距离的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5 2 2
12.【答案】 + +
7 7 7
13.【答案】2√ 3
14.【答案】46
15.【答案】解：(1)由题意，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念，
∵小王与工作人员甲、乙都相邻，
∴把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，有 22 = 2种方法，
然后总体与其余3名工作人员全排列，共有 44 = 24种排法，
则小王与工作人员甲、乙都相邻共有2 × 24 = 48种；
(2)由题意，甲、乙、丙的身高互不相等，甲、乙、丙三人按从高到低的顺序从左到右排列(不一定相邻)，
①在6个位置
中任选3个，安排甲乙丙之外的3人，有 36 = 120种情况，
②将甲乙丙3人按从左至右的顺序安排在剩余的3个位置，有1种情况，
故有120种站法；
(3)由题意，6人站一排全排列有 66 = 720种排法，
因为甲站在最左端，其余人全排列有 55 = 120种站法，则乙站在最右端，其余人全排列有
5
5 = 120种站法，
甲站在最左端，乙站在最右左端，有 44 = 24种站法，
则工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有720 240 + 24 = 504种站法．
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16.【答案】(1)证明：因为 (0,0,0)， (1,0, 2)， (0,1,1)， (3,2,1)，
所以 = (1,0, 2)， = (0,1,1)， = (3,2,1)．
若 ， ， 共面，则存在 ， ∈ ，使得 = + ，
即(3,2,1) = (1,0, 2) + (0,1,1)，即(3,2,1) = ( , , 2)，
= 3
所以{ = 2 ，此方程组无解，所以 ， ， 不共面．
2 = 1
(2)解：由题意得 = (1,0, 2)， = ( 1,1,3)， = (2,2,3)．
= 0 + + 3 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，即{ ，
= 0 2 + 2 + 3 = 0
令 = 4，则 = 3， = 9，故平面 的一个法向量为 = (3, 9,4)．
设直线 与平面 所成的角为 ，
| | 5 √ 530
则 = |cos , | = = = ．
| || | √ 5×√ 106 106
17.【答案】解：(1)方法一、由题意知， = + +
=
1
+ +
2 1
1
= + + (
2 1
= +
1
+ ( 1 ) 2
1 1= + +
2 2 1
；
方法二、因为 为 1的中点，
所以
1
= ( + 1 ) 2
1
= [( + 1) + ( + )] 2
1
= +
1
+ 1． 2 2
(2)因为四边形 是正方形，∠ 1 = ∠ 1 = 60°， 1 = 2 = 2，
所以 = 0， 1 = 1 × 2 × 60° = 1， 1 = 1 × 2 × 60° = 1，
2
所以 = (
1 1
+ + )2
2 2 1
2 1 2 1
2
= + + + +
1
+ 1 1 1 4 4 2
1 1
= 1 + + 1 + 0 + 1 +
4 2
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15
= ，
4
√ 15 √ 15所以| | = ，即线段 的长为 ．
2 2
因为 = = + 1 1 1 ，
2
所以 = ( + 21 1 )
2 2 2
= + 1 + + 2 2 2 1 1
= 1 + 4 + 1 + 2 0 2
= 6，
所以| 1 | = √ 6．
又
1 1
1 = ( + + 1) ( + 1 ) 2 2
1 2 1 2 2
= +
1
+
1
+ +
2 2 1 2 2 1 1
1 1
= + 2 1 + 0 + + 1 = 3，
2 2

所以cos <
3 √ 10
, 11 >= = = ， | | | | √1 15× 5√ 6
2
√ 10
即直线 与 1所成角的余弦值为 ． 5
√ 15 √ 10
故线段 的长为 ，直线 与 所成角的余弦值为 ．
2 1 5
18.【答案】解：(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
∵ 为棱 的中点，
1 1
∴ // ， = ，∵ // ， = ，
2 2
∴ // ， = ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
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(2) ∵ = √ 5， = 1， = 2，
∴ 2 = 2 + 2，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 ， 平面 ，∴ ⊥ ， ⊥ ，由 ⊥ ，
∴以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图：
1
则 (0,0,1)， (0,0,0)， (1,0,0)， (0,2,0)， (0,1, )， (1,1,0)，
2
1
( )故 = (0,1, )， = (1,1,0)
2
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
1
则{ ⊥
= + = 0，则{ 2 ，
⊥ = + = 0
令 = 2，则 = 1， = 1，
∴ = (1, 1,2)，
平面 的一个法向量为 = ( , , )，
1 = (0,1, ), = (1,1, 1)
2
1
⊥ = = 0则{ ，则{ 2 ，
⊥ = + = 0
令 = 2，则 = 1， = 1，
故 = (1,1,2)，
4 2
∴ cos < , >= = = ，
| || | √ 6×√ 6 3
2
由于二面角 的平面角为锐角，故二面角 的余弦值为 ；
3
( )假设在线段 上是存在点 ，使得点 到平面 的距离是5√ 6，
18
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设 = ，0 ≤ ≤ 1，则 ( , 0,1 )， = ( , 0,1 )，
由(2)知平面 的一个法向量为 = (1, 1,2)，
= + 0 + 2(1 ) = 2 ，
| | 2 5√ 6
∴点 到平面 的距离是 = = ，
| | √ 6 18
1 1 √ 2
∴ = ，∴ = = ．
3 3 3
19.【答案】解：(1)设椭圆 的半焦距为 ， > 0，
√ 3
因为椭圆 的离心率为 ，
3
所以 = √ 3 ，
又 = √ 2 2 = √ 2 ，
因为△ 1 2的面积为√ 2，
解得 = √ 2，
所以 = 1, = √ 3, = √ 2，
2 2
则椭圆 的方程为 + = 1；
3 2
(2)( )设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
因为直线 垂直于 轴，
所以 ( 2, 2)，
因为原点 是△ 的重心，
1+ 2+ 2 1+ 2 所以 = 0, 2 = 0，
3 3
解得 1 = 2 2， 1 = 0，
因为点 在椭圆上，
2 2
所以 1 + 1 = 1，
3 2
解得 1 = ±√ 3，
3 3√ 3
则 到直线 的距离为| 1 2| = | 1| = ； 2 2
3√ 3
( )当直线 斜率不存在时，点 到直线 的距离为 ；
2
当直线 斜率存在时，
设直线 方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)，
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2 2
联立{ + = 13 2 ，消去 并整理得(2 + 3 2) 2 + 6 + 3 2 6 = 0，
= +
此时 = 24(3 2 + 2 2) > 0，
解得 2 < 3 2 + 2，
6 4
由韦达定理得 2 + 3 = 2 , 2 + 3 = 2 + + 3 + = 2，
2+3 2+3
因为原点 是△ 的重心，
1+ 2+ 3 1+ 2+ 所以 = 0, 3 = 0，
3 3
6 4
解得 1 = 2 , 1 = 2，
2+3 2+3
6 4
即 ( 2 , 2)，
2+3 2+3
2
12 2 8 2
所以 2 2 + 2 2 = 1，
(2+3 ) (2+3 )
2
2 2+3 整理得 = < 3 2 + 2，
4
6 2 4 9 2 +6
| 2+ 2+ | | 2 |
则点 到直线 的距离 = 2+3 2+3
3| |
= 2+3 =
√ 2 2 2 +1 √ +1 √ +1
2
2
3 √ 2+3 3 1 3= 3√ 2 = 2 = √ 3 2 < √ 3．
+1 2 +1 2 +1 2
3√ 3
故当 与 轴垂直时点 到直线 的距离最大为 ．
2
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