6.3三角形的中位线　同步练习题　(含答案) 北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册《6.3三角形的中位线》同步练习题
一．选择题
1．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．22 B．26 C．22或26 D．13
2．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，连接DE．若测得DE＝5，则AB的长为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．无法确定
3．如图，△ABC中，AB＝8，AD为∠BAC的外角平分线，且AD⊥CD于点D，E为BC的中点，若DE＝10，则AC的长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5
5．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，连EF，若EF＝2，CD＝3，且EF⊥CD，则BC的长为（　　）
A．12 B．5 C．7 D．6
6．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，点D为AB上一点，BC＝BD，BE⊥CD于点E，点F为AC的中点，连接EF，则EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点B作BG⊥AD于G，交AC于F，连接EG，则线段EG的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
9．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点P是BC边上任意一点，E，F，R分别是AP，RP，CD的中点，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，小红作出了边长为1的第1个等边△A1B1C1，算出了等边△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个等边△A2B2C2，算出了等边△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个等边△A3B3C3，算出了等边△A3B3C3的面积…，由此可得，第n个等边△AnBn n的面积是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题
11．已知：三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm，连接各边中点所成三角形的周长＝　 　．
12．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD＝6cm，BD＝8cm，BC＝16cm，则DE的长为　 　cm．
13．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若BC＝10，AC＝4，则DF的长为 　 　．
14．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝　 　．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CD与△ABC的两条角平分线AE，BF分别交于H，G两点，点P，Q分别为HE，GF的中点，连接PQ，若AC＝4，BC＝6，则PQ的长为　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D是AC边上的一点，且AD＝2，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE，连接BE并取BE的中点F，连接CF，则CF的长为　 　．
17．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE的度数是　 　．
三．解答题
18．如图：D、E是△ABC边AB，AC的中点，O是△ABC内一动点，F、G是OB，OC的中点．判断四边形DEGF的形状，并证明．
19．如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，且DE＝BC．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME＝∠CNE．
21．如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．
（1）若AB＝8，AC＝4，求DE的长；
（2）求证：AB﹣AC＝2DM．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；
（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，
根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，
当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；
当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，
故选：C．
2．解：∵D，E分别为AC，BC的中点，
∴AB＝2DE，
∵DE＝5，
∴AB＝10，
故选：C．
3．解：延长BA、CD交于点F，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴CD＝DF，AC＝AF，
∵CD＝DF，CE＝EB，
∴BF＝2DE＝20，
∴AF＝BF﹣AB＝20﹣8＝12，
∴AC＝AF＝12，
故选：A．
4．解：∵取DC中点G，连结FG、EG，如图所示：
∵点E，F分别是对角线AC，BD的中点，
∴FG∥BC，EG∥AD，
∵AD∥BC，
∴EG∥BC，FG∥EG，
∴E、F、G三点共线，
∴FG是△BCD的中位线，
∴FG＝BC＝2.5，
∵AD∥BC，
∴EG∥AD，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG＝AD＝1，
∴EF＝FG﹣EG＝1.5．
故选：B．
5．解：连接BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴BD＝2EF＝4，BD∥EF，
∵BD∥EF，EF⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝5，
故选：B．
6．解：∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE＝AC，
同理 EF＝BC，DF＝AB，
∴C△DEF＝DE+EF+DF＝（AC+BC+AB）＝×20＝10．
故选：B．
7．解：BD＝BC＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵BC＝BD，BE⊥CD，
∴CE＝ED，又CF＝FA，
∴EF＝AD＝2，
故选：B．
8．解：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝8，
∵BG⊥AD，AD平分∠BAC，
∴AB＝AF＝6，BG＝FG，
∴CF＝2，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝CE，
∴EG＝CF＝1，
故选：B．
9．解：连接AR，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝DC＝2，
∵R是CD的中点，
∴DR＝1，
由勾股定理得，AR＝＝，
∵E、F分别是PA、PR的中点，
∴EF是△APR的中位线，
∴EF＝AR＝×＝．
故选：B．
10．解：等边△A1B1C1的面积为：××12＝，
∵△A1B1C1三边的中点为A2，B2，C2，
∴A2B2是△A1B1C1的中位线，
∴A2B2∥A1B1，A2B2＝A1B1，
∴△A2B2C2的面积：△A1B1C1的面积＝1：4，
∴等边△A2B2C2的面积为：×＝，
同理可知，等边△A3B3C3的面积：等边△A2B2C2的面积＝1：4，
∴等边△A3B3C3的面积为：×＝，…，
依此类推第n个等边△AnBn n的面积是：＝×（）n﹣1，
故选：C．
二．填空题
11．解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，
则DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝（AC+BC+AB）＝×（8+10+12）cm＝15cm．
答：以各边中点为顶点的三角形的周长是15cm，
故答案为：15cm．
12．解：如图，延长AD交BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵AD⊥BD，
∴∠BDA＝∠BDF＝90°，AB＝＝＝10（cm），
在△BDF和△BDA中，，
∴△BDF≌△BDA（ASA），
∴DF＝AD，FB＝AB＝10cm，
∴CF＝BC﹣FB＝16﹣10＝6cm，
又∵点E为AC的中点，
∴DE是△ACF的中位线，
∴DE＝CF＝3cm．
故答案为：3．
13．解：∵D、E分别为AB、AC的中点，BC＝10，AC＝4，
∴DE＝BC＝5，DE∥BC，EC＝AC＝2，
∴∠EFC＝∠BCF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC＝2，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
14．解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
设∠EBC＝∠ECB＝x，
∴∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝2x，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝x，
∵FG是△ACE的中位线，
∴FG∥AC，
∴∠EFG＝∠ACE＝x，
∵D为BC的中点，F为CE的中点，
∴DF∥AB，
∴∠EFD＝∠AEF＝2x，
∵∠DFG＝∠GFE+∠EFD＝x+2x＝3x，
∴3x＝108°，
∴x＝36°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝2x+90°﹣x＝90°+x＝90°+36°＝126°，
故答案为：126°．
15．解：延长CP交AB于K，延长CQ交AB于L，
△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝＝2，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵CD⊥AB，
∴∠CGF＝∠BGD＝90°﹣∠ABF＝90°﹣∠CBF＝∠CFB，
∴CG＝CF．
又∵Q是GF的中点，
∴CQ⊥GF，
∴∠CQB＝∠LQB＝90°，
∴∠BCQ＝∠BLQ，
∴BL＝BC＝6，
∴CQ＝LQ，
同理得：CE＝CH，
∵P是EH的中点，
∴CP⊥EH，
∴AP⊥CK，同理得AK＝AC＝4，CP＝PK，
∵CP＝PK，CQ＝LQ，
∴PQ＝LK＝（BL+AK﹣AB）＝（6+4﹣2）＝5﹣；
故答案为：5﹣．
16．解：延长AE、BC交于点H，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠HAC＝45°，AE＝AD＝2，
∴CH＝AC＝BC，AH＝AC＝6，
∴EH＝AH﹣AE＝4，
∵BC＝CH，BF＝FE，
∴FC＝EH＝2，
故答案为：2．
17．解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，
∴EP＝AD，
同理，FP＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∵∠FPE＝100°，
∴∠PFE＝40°，
故答案为：40°．
三．解答题
18．解：四边形DEGF是平行四边形，
理由如下：∵D、E是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∵F、G是OB，OC的中点，
∴FG＝BC，FG∥BC，
∴DE＝FG，DE∥FG，
∴四边形DEGF是平行四边形．
19．证明：延长DE到Q，使DE＝EQ，连接CQ，
∵AE＝EC，∠AED＝∠CEQ，DE＝EQ，
∴△ADE≌△CQE，
∴AD＝CQ，∠A＝∠ACQ，
∴AB∥CQ，
∵AD＝BD，
∴BD＝CQ，
∴四边形DBCQ是平行四边形，
∴DQ＝BC，DQ∥BC，
∴DE∥BC，DE＝BC．
20．证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴FH∥BM，FH＝AB，EH∥CN，EH＝CD，
∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，
∵AB＝CD，
∴FH＝EH，
∴∠HFE＝∠HEF，
∴∠BME＝∠CNE．
21．解：（1）直角△ABE中，AE＝AB＝4，
在直角△ACD中，AD＝AC＝2，
则DE＝AE﹣AD＝4﹣2＝2；
（2）延长CD交AB于点F．
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AC＝AF，CD＝DF，
又∵M是BC的中点，
∴DM是△CBF的中位线，
∴DM＝BF＝（AB﹣AF）＝（AB﹣AC），
∴AB﹣AC＝2DM．
22．（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点
∴BD＝EC
∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点
∴FG∥BD，GF＝
FH∥EC，FH＝
∴FG＝FH；
（2）证明：由（1）FG∥BD
又∵∠A＝90°
∴FG⊥AC
∵FH∥EC
∴FG⊥FH；
（3）解：延长FG交AC于点K，
∵FG∥BD，∠A＝80°
∴∠FKC＝∠A＝80°
∵FH∥EC
∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°