2025北师大版深圳九年级中考数学适应性模拟试卷（含解析）

2025北师大版深圳九年级中考数学适应性模拟试卷
一．选择题（共8小题）
1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，－2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C．－2025 D．
2．佳佳练习几何体素描（如图），其中几何体的主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的为（　　）
A．圆锥 B．正方体 C．圆柱 D．球
第2题 第4题 第6题
3．已知m和n是方程x2－5x+6＝0的两个根，则代数式m n－m－n的值是（　　）
A．11 B．－1 C．－11 D．1
4．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，且OA：OD＝1：2，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　）
A．4 B． C．16 D．32
5．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（　　）
A．（x+3）2＝9 B．（x+3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝4
6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，AD∥BC，则下列说法错误的是（　　）
A．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
B．若BD平分∠ABC，则四边形ABCD是菱形
C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
D．若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
7．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图1），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图2）：物距为20cm，像距为30cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边△DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2；其中正确结论的序号为（　　）
A．①④ B．①②③ C．②③ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
9．如果，那么的值等于　 　．
10．如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性
相同，则该车从F口驶出的概率是 　．
11．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x－y）2+（2y－z）2+（2z－x）2的最大值是　 　．
12．如图，直线y＝－2x+5与双曲线y（k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C．S△BOC，若将直线y＝－2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y（k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为　 　．
第12题 第13题
13．如图，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为正三角形，BD与AC交于点M，BD与AE交于点O，AE与CD交于点N，连接MN、OC，以下结论正确的序号是　 　．
①MN∥BE； ②； ③； ④OA+OC＝OB．
三．解答题（共7小题）
14．解下列方程：
（1）4x2－8x－3＝0（配方法） （2）3x2－2＝4x（公式法）
（3）用适当方法解方程：4（2x+1）2－9（2x－1）2＝0 （4）（x+3）（x－1）＝12
15．安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表活动后骑电瓶车戴安全头盔情况统计表
类别 人数 A：每次戴 B：经常戴 C：偶尔戴 D：都不戴
A 68
B a
C 510
D 177
合计 1000
（1）“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中，B类别对应人数a不小心污损，计算a的值为　 　；
（2）为了更直观的反应A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是　 　，（选填“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”）；
（3）若该市约有20万人使用电瓶车，估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为 　万人；
（4）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
16．2023年9月21日下午，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮面向全国青少年进行太空授课．在这堂生动有趣、知识点满满的航天课中，带着好奇心的孩子们拓宽了眼界、增长了知识，增强了民族自豪感，同时在心中根植下一颗颗关于科学梦、航天梦的种子．为了调查学生对科技知识的了解程度，某实验中学组织各年级学生开展科技知识竞赛活动，学校随机抽取20名学生的答卷成绩（每题5分，满分100分），并将他们的成绩（单位：分）统计如下：85，80，95，100，90，95，85，65，75，85，80，80，90，95，75，80，60，80，95，85．
根据数据绘制了如下的表格和统计图（如图）：
成绩（x） 频率
90＜x≤100 0.25
80＜x≤90
70＜x≤80 0.35
60≤x≤70
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　，并补全表格；
（2）求这20个数据的中位数和众数；
（3）若已知九年级有2名男生和2名女生共4名学生得到满分，学校打算从这4名学生中任选2人给全年级学生普及相关知识，求恰好选中“1男1女”的概率．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是BC的中点，动点M从点B出发，沿着折线B→D→A（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，点E，F分别是射线AB，AC上的动点，AE的长度等于点M走的路程，S△AEF＝6，设点M的运动时间为t，点M到AB的距离MH为y1，AF的长度为y2．
（1）求y1，y2关于t的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）在直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）根据图形直接估计当y1≥y2时t的取值范围：　 　．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
18．2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？
19．
设计货船通过双曲线桥的方案
素材1 一座曲线桥如图1所示，当水面宽AB＝16米时，桥洞顶部离水面距离CD＝4米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．
素材2 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3米，EH＝9米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式ht．
问 题 解 决
任务1 确定桥洞的形状 ①建立平面直角坐标系如图3所示，显然，CD落在第一象限的角平分线上． 甲说：点C可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点C落在（4，4）时，点A的坐标为 　， 此时过点A的双曲线的函数表达式为 　， 而点C所在双曲线的函数表达式为y显然不符合题意．
任务2 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？
20．【探究发现】
（1）如图（a），正方形ABCD的边长为6，E为边AB的中点，F是边BC上的一点，将△BEF沿EF对折，点B的对应点为点G，当点G恰好落在DF上时，求BF的长．
【能力提升】
（2）如图（b），E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC上的点，AB＝6，BC＝8，F为BC的中点，将△BEF沿EF对折，点B的对应点为点G．连接DG，当BE＝2时，求四边形DGFC的面积．
【拓展应用】
（3）菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，E是边AB上一点，F是边BC上一点，将△BEF沿EF对折，点B的对应点为点G．当点G落在菱形的一条边或一条对角线上，且AG＝2时，直接写出BF的长度．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A． A D C C D A D
一．选择题（共8小题）
1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，－2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C．－2025 D．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【详解】解：－2025的相反数是2025．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．佳佳练习几何体素描（如图），其中几何体的主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的为（　　）
A．圆锥 B．正方体 C．圆柱 D．球
【分析】直接利用各几何体的形状得出其主视图，再利用轴对称图形和中心对称图形的定义分析得出答案．
【详解】解：A、圆锥的主视图为等腰三角形，是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、正方体的主视图为正方形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、圆柱的主视图为矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、球体的主视图为圆，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图以及轴对称图形和中心对称图形，得出各几何体的主视图是解题的关键．
3．已知m和n是方程x2－5x+6＝0的两个根，则代数式m n－m－n的值是（　　）
A．11 B．－1 C．－11 D．1
【分析】若m和n是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则，，由此求解．
【详解】解：由题意可知：m+n＝－（－5）＝5，m n＝6，
∴m n－m－n＝m n－（m+n）＝6－5＝1，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
4．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，且OA：OD＝1：2，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　）
A．4 B． C．16 D．32
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2，
∵△ABC的周长为8，
∴△DEF的周长为16，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
5．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（　　）
A．（x+3）2＝9 B．（x+3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝4
【分析】把常数项4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．
【详解】解：由x2+6x+4＝0可得：x2+6x＝－4，
则x2+6x+9＝－4+9，
即：（x+3）2＝5，
故选：C．
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，AD∥BC，则下列说法错误的是（　　）
A．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
B．若BD平分∠ABC，则四边形ABCD是菱形
C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
D．若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
【分析】先根据平行四边形的判定证明ABCD是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵OA＝OC，∠AOD＝∠BOC，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，故A选项不符合题意；
若BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
则四边形ABCD是菱形，故B选项不符合题意；
若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形，故C选项不符合题意；
若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．
7．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图1），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图2）：物距为20cm，像距为30cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】利用题意画出图形，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：如图，由题意知：点O到AB的距离为20cm，点O到CD的距离为30cm，CD＝6cm，
∵AB∥CB，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴，
∴AB＝4cm．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边△DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2；其中正确结论的序号为（　　）
A．①④ B．①②③ C．②③ D．①②③④
【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，即可得出结论①正确；
②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；
③通过等量代换即可得出结论③正确；
④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，从而得出结论④正确；
【详解】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，
∵△DFE为等边三角形，
∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，
∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，
∴∠ADF+∠AFD＝180°－∠DAF＝120°，
∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，
∴∠EFC+∠AFD＝180°－∠DFE＝120°，
∴∠ADF＝∠EFC，
∴∠BDE＝∠EFC，
故结论①正确；
②如图，连接OE，
在△DAF和△DOE中，
，
∴△DAF≌△DOE（SAS），
∴∠DOE＝∠DAF＝60°，
∵∠COD＝180°－∠AOD＝120°，
∴∠COE＝∠COD－∠DOE＝120°－60°＝60°，
∴∠COE＝∠DOE，
在△ODE和△OCE中，
，
∴△ODE≌△OCE（SAS），
∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，
故结论②正确；
③∵∠ODE＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，
故结论③正确；
④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，
∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，
∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，
∵OE′＝OD＝AD＝AB tan∠ABD＝6 tan30°＝2，
∴点E运动的路程是2，
故结论④正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键．
二．填空题（共5小题）
9．如果，那么的值等于　3　．
【分析】直接利用已知得出x，y之间的关系进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴3x－3y＝2x，
故x＝3y
∴3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
10．如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该车从F口驶出的概率是 　　．
【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及该车从F口驶出的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中该车从F口驶出的结果有1种，
∴该车从F口驶出的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
11．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x－y）2+（2y－z）2+（2z－x）2的最大值是 　28　．
【分析】原式利用完全平方公式化简，结合整理后将已知等式代入，利用（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz变形，根据非负数的性质求出最大值即可．
【详解】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，
∴（2x－y）2+（2y－z）2+（2z－x）2
＝4x2－4xy+y2+4y2－4yz+z2+4z2－4xz+x2
＝5（x2+y2+z2）－4（xy+yz+xz）
＝20－4（xy+yz+xz）
＝20－2（2xy+2yz+2xz）
＝20－2[（x+y+z）2－（x2+y2+z2）]
20－2[（x+y+z）2－4]
＝28－2（x+y+z）2≤28，
则原式的最大值为28．
故答案为：28．
【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．如图，直线y＝－2x+5与双曲线y（k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C．S△BOC，若将直线y＝－2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y（k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为　1　．
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及S△BOC即可得出BE的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式，然后令－2x+5－n，整理得2x2－（5－n）x+2＝0，由题意Δ＝0，即（5－n）2－4×2×2＝0，解方程即可求得n＝1．
【详解】解：过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
令直线y＝－2x+5中y＝0，则0＝－2x+5，解得：x，
即OC．
∵S△BOC，
∴OC BE BE，
解得：BE＝1．
∴点B的纵坐标为1，
当y＝1时，有1＝－2x+5，
解得：x＝2，
∴点B的坐标为（2，1），
∴k＝2×1＝2，
即双曲线解析式为y．
将直线y＝－2x+5向下平移n个单位得到的直线的解析式为y＝－2x+5－n，
令－2x+5－n，整理得2x2－（5－n）x+2＝0，
∵有且只有一个交点，
∴Δ＝0，即（5－n）2－4×2×2＝0，
解得n＝1或n＝9（舍去），
∴n的值为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式找出点B的坐标是解题的关键．
13．如图，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为正三角形，BD与AC交于点M，BD与AE交于点O，AE与CD交于点N，连接MN、OC，以下结论正确的序号是 　①③④　．
①MN∥BE； ②； ③； ④OA+OC＝OB．
【分析】由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得∠DBC＝∠EAC，由“ASA”可证△BCM≌△ACN，可得CM＝CN，可证△CMN是等边三角形，可得∠CMN＝60°，可证MN∥BE；故①正确；由面积法可证CG＝CH，由面积关系可得，故③正确；由“AAS”可证△BCH≌△ACG，可得AG＝BH，由直角三角形的性质可得OC＝2OG＝2OH，由线段的和差关系可证OB＝OA+OC，故④正确，由面积关系可得，故②错误，即可求解．
【详解】解：∵△ABC和△DCE均为等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，∠ACD＝180°－60°－60°＝60°，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC，
在△BCM和△ACN中，，
∴△BCM≌△ACN（ASA），
∴CM＝CN，
∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠CMN＝60°，
∴∠CMN＝∠ACB＝60°，
∴MN∥BE；故①正确；
∵∠DBC＝∠EAC，∠AMO＝∠BMC，
∴∠AOB＝∠ACB＝60°，
∴∠BOE＝120°，
如图，过点C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，
∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE＝S△BCD，AC＝BD，
∴AE CGBD CH，
∴CG＝CH，
∵，
∴，故③正确；
∵∠CBD＝∠CAE，∠BHC＝∠AGC＝90°，AC＝BC，
∴△BCH≌△ACG（AAS），
∴AG＝BH，
∵CG＝CH，CG⊥AE，CH⊥BD，
∴∠BOC＝∠EOC＝60°，
∴∠OCH＝∠OCG＝30°，
∴OC＝2OG＝2OH，
∴OH＝OG，
∴OB＝BH+OH＝AG+OH＝AO+OG+OH＝AO+2OG＝AO+OC，故④正确；
∵∠OCB＞60°，∠OCD＜60°，
∴∠BCO≠∠OCD，
∴点O到BC的距离≠点O到CD的距离，
∴，
∴，故②错误，
故答案为：①③④．
【点评】本题三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
14．解下列方程：
（1）用配方法解方程：4x2－8x－3＝0；（配方法）
（2）3x2－2＝4x；（公式法）
（3）用适当方法解方程：4（2x+1）2－9（2x－1）2＝0；
（4）（x+3）（x－1）＝12．
【分析】（1）先将二次项系数化为1，再两边都加上一项系数一半的平方，化成（x+m）2＝n，再开方即可；
（2）先求出b2－4ac，再用求根公式计算即可；
（3）根据平方差公式分解求出解；
（4）先展开，再整理，根据公式法求解即可．
【详解】解：（1）两边除以4，得，
两边加上1，得，
即，
开方得，
∴；
（2）整理得3x2－4x－2＝0，
∵a＝3，b＝－4，c＝－2，
∴b2－4ac＝（－4）2－4×3×（－2）＝40，
∴，
∴；
（3）整理得[2（2x+1）]2－[3（2x－1）]2＝0，
即（4x+2+6x－3）（4x+2－6x+3）＝0，
∴10x－1＝0或－2x+5＝0，
∴；
（4）（x+3）（x－1）＝12，
整理，得x2+2x－15＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝－15，
∴b2－4ac＝22－4×（－15）＝64，
∴，
∴x1＝3，x2＝－5．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法．
15．安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表活动后骑电瓶车戴安全头盔情况统计表
类别 人数 A：每次戴 B：经常戴 C：偶尔戴 D：都不戴
A 68
B a
C 510
D 177
合计 1000
（1）“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中，B类别对应人数a不小心污损，计算a的值为 　245　；
（2）为了更直观的反应A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是 　扇形统计图　，（选填“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”）；
（3）若该市约有20万人使用电瓶车，估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为 　1.78　万人；
（4）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
【分析】（1）用总人数分别减去其它三类人数可得a的值；
（2）根据“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”的特征解答即可；
（3）用20万人乘样本中“都不戴”安全头盔的占比可得答案；
（4）先求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果．
【详解】解：（1）a＝1000－68－510－177＝245，
故答案为：245；
（2）为了更直观的反应A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是扇形统计图；
故答案为：扇形统计图；
（3）活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为：
（万人）．
估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数约为1.78万人，
故答案为：1.78；
（4）小明分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比：，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比：．
8.9%＜17.7%．因此交警部门开展的宣传活动有效果．
【点评】本题考查了用样本估计总体，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
16．2023年9月21日下午，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮面向全国青少年进行太空授课．在这堂生动有趣、知识点满满的航天课中，带着好奇心的孩子们拓宽了眼界、增长了知识，增强了民族自豪感，同时在心中根植下一颗颗关于科学梦、航天梦的种子．为了调查学生对科技知识的了解程度，某实验中学组织各年级学生开展科技知识竞赛活动，学校随机抽取20名学生的答卷成绩（每题5分，满分100分），并将他们的成绩（单位：分）统计如下：85，80，95，100，90，95，85，65，75，85，80，80，90，95，75，80，60，80，95，85．
根据数据绘制了如下的表格和统计图（如图）：
成绩（x） 频率
90＜x≤100 0.25
80＜x≤90 　0.3　
70＜x≤80 0.35
60≤x≤70 　0.1　
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）m＝　6　，n＝　2　，并补全表格；
（2）求这20个数据的中位数和众数；
（3）若已知九年级有2名男生和2名女生共4名学生得到满分，学校打算从这4名学生中任选2人给全年级学生普及相关知识，求恰好选中“1男1女”的概率．
【分析】（1）整理统计数据即可得到m，n的值，再分别计算各组频率，完善表格即可；
（2）先将这20个数据按照从小到大的顺序排列，求解位于第10位和第11位成绩的平均数可得中位数，根据出现的次数最多的数是众数可得众数答案；
（3）先列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意得m＝6，n＝2，补全表格如下；
∴6÷20＝0.3，2÷20＝0.1，
成绩（x） 频率
90＜x≤100 0.25
80＜x≤90 0.3
70＜x≤80 0.35
60≤x≤70 0.1
故答案为：6；2；0.3；0.1；
（2）∵将这20个数据按照从小到大的顺序排列为60，65，75，75，80，80，80，80，80，85，85，85，85，90，90，95，95，95，95，100，
∴中位数为位于第10位和第11位成绩的平均数，
故这20个数据的中位数为．
∵这组数据中80出现了5次，出现的次数最多，
∴这20个数据的众数为80；
（3）分别记2名男生为A，B，2名女生为a，b，列表如下：
A B a b
A － （A，B） （A，a） （A，b）
B （B，A） － （B，a） （B，b）
a （a，A） （a，B） － （a，b）
b （b，A） （b，B） （b，a） －
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有8种，
∴P（恰好选中1男1女．
【点评】本题考查列表法与树状图法，频数（率）分布表，中位数，众数，概率公式，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是BC的中点，动点M从点B出发，沿着折线B→D→A（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，点E，F分别是射线AB，AC上的动点，AE的长度等于点M走的路程，S△AEF＝6，设点M的运动时间为t，点M到AB的距离MH为y1，AF的长度为y2．
（1）求y1，y2关于t的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）在直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）根据图形直接估计当y1≥y2时t的取值范围：　3.9≤t≤8.2　．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）分0≤t＜5，5≤t≤10，两种情况讨论求y1关于t的函数关系式，根据三角形面积公式求y2关于t的函数关系式即可；
（2）利用描点法化函数图象，结合图象写出函数y1的一条性质即可；
（3）看在哪些区间y1的函数的图象在y2函数图象的上方即可．
【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∵点D是BC的中点，
∴，
当0＜t≤5时，
∵MH⊥AB，∠BAC＝90°，
∴MH∥AC，
∴△BMH∽△BCA，
∴，即，
∴，
当5＜t≤10时，
过D作DG⊥AB于点G，
∵点D是BC的中点，
∴，
∴AB DGAB AC，即，
∴DG＝4，
∵DG⊥AB，MH⊥AB，
∴MH∥DG，
∴△AHM∽△AGD，
∴，即，
∴，
∴y1，
根据题意，得AE＝t，
∵S△AEF＝6，AF＝y2，∠EAF＝90°，
∴t y2＝6，
∴
（2）画图如下：
根据图象，知：当t＝5时，y1有最大值为4（答案不唯一）；
（3）根据图象知：当3.9≤t≤8.2时，y1≥y2．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决自变量的取值范围问题．
18．2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？
【分析】（1）设月平均增长率是x，利用3月份的销售量＝1月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（80－y－40）元，每天的销售量为（20+4y）件，利用每天销售该公仔获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出y的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数．
【详解】解：（1）设月平均增长率是x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%．
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（80－y－40）元，每天的销售量为（20+4y）件，
依题意得：（80－y－40）（20+4y）＝1400，
整理得：y2－35y+150＝0，
解得：y1＝5，y2＝30．
又∵要尽量减少库存，
∴y＝30．
答：售价应降低30元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．
设计货船通过双曲线桥的方案
素材1 一座曲线桥如图1所示，当水面宽AB＝16米时，桥洞顶部离水面距离CD＝4米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．
素材2 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3米，EH＝9米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式ht．
问 题 解 决
任务1 确定桥洞的形状 ①建立平面直角坐标系如图3所示，显然，CD落在第一象限的角平分线上． 甲说：点C可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点C落在（4，4）时，点A的坐标为 　， 此时过点A的双曲线的函数表达式为 　， 而点C所在双曲线的函数表达式为y显然不符合题意．
任务2 拟定方案 ②此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？
【分析】任务1：设曲线AB的解析式为y，把点C（4，4）代入，可得曲线AB的解析式为y，再由反比例函数图象的对称性可得：点D是AB的中点，OD⊥AB，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE于F，可得△CDE、△ADF是等腰直角三角形，进而可得D（6，6），A（10，2），点A（10，2）在双曲线y上与点C在双曲线y上矛盾；
任务2：设A（a，），B（b，），其中a＞b，则D（，），可得k＝ab，由CD＝4，AB＝16，
可得（a－b）2＝128，C（2，2），可得k＝18，再根据矩形的性质可得E（，），
即可判断此时货船不能通过；运用待定系数法可得直线EF的解析式为y＝x，进而可得直线EF与双曲线的交点E′（，6），即可求得答案．
【详解】解：任务1：设曲线AB的解析式为y，把点C（4，4）代入，得：4，
解得：k＝32，
∴曲线AB的解析式为y，
∵CD落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于CD对称，即A、B关于第一象限角平分线y＝x对称，
∴点D是AB的中点，OD⊥AB，
过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE于F，如图，
则△CDE、△ADF是等腰直角三角形，
∵CD＝4，
∴CE＝DE＝2，
∴D（6，6），
∵AB＝16，
∴AD＝8，AF＝DF＝4，
∴A（10，2），
∵10240，
∴点A（10，2）在双曲线y上，
∴点C所在双曲线的函数表达式为y显然不符合题意．
故答案为：（10，2），y，乙正确；
任务2：设A（a，），B（b，），其中a＞b，则D（，），如图，
∵点D在直线y＝x上，
∴，即k＝ab，
∵CD＝4，AB＝16，
∴（a－b）2＝128，C（2，2），
∵（2）2＝ab，
∴a+b＝10，
∴k＝ab18，
∴A（9，），B（，9），C（3，3），D（5，5），
∵四边形EFGH是矩形，
∴FG＝EH，GH＝EF，
∵EF＝3，EH＝9，
∴F（，），E（，），
∵18，
∴此时货船不能通过该桥洞；
设直线EF的解析式为y＝x+n，把F（，）代入，得n，
解得：n，
∴直线EF的解析式为y＝x，
联立得x，
解得：x1＝－6（舍去），x2，
∴E′（，6），
∴EE′，即h，
∵ht，
∴t＝5h，
故要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞．
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞．
【点评】本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题关键是关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
20．【探究发现】
（1）如图（a），正方形ABCD的边长为6，E为边AB的中点，F是边BC上的一点，将△BEF沿EF对折，点B的对应点为点G，当点G恰好落在DF上时，求BF的长．
【能力提升】
（2）如图（b），E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC上的点，AB＝6，BC＝8，F为BC的中点，将△BEF沿EF对折，点B的对应点为点G．连接DG，当BE＝2时，求四边形DGFC的面积．
【拓展应用】
（3）菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，E是边AB上一点，F是边BC上一点，将△BEF沿EF对折，点B的对应点为点G．当点G落在菱形的一条边或一条对角线上，且AG＝2时，直接写出BF的长度．
【分析】（1）先证明△DAE和△DGE全等，然后利用勾股定理求出BF的长；
（2）先证明△GEM∽△FGP，
四边形DGFC的面积＝S△CFG+S△CDG；
（3）分点G在AB，AD，AC上三种情况进行讨论．
【详解】解：（1）如图，连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
由折叠得：BE＝GE，BF＝GF，∠EGF＝∠B＝90°，
∴∠DGE＝90°，
∴∠A＝∠DGE＝90°，
在Rt△DAE和Rt△DGE中，
，
∴Rt△DAE≌Rt△DGE（HL），
∴AD＝GD＝6，
设BF＝x，则GF＝x，CF＝6－x，DF＝6+x，
在Rt△DCF中，CF2+CD2＝DF2，
∴（6－x）2+62＝（6+x）2，
解得：，
∴；
（2）如图，连接CG，过G作MN∥BC交AB于M，交CD于N，过F作FP⊥MN交于P，
∴∠FPM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BMP＝90°，
∴四边形BFPM是矩形，四边形BCNM是矩形，
∴PF＝BM，BF＝PM，MN＝BC＝8，∠EMG＝∠GPF＝90°，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF＝4，
由折叠得：∠EGF＝∠B＝90°，GE＝BE＝2，PM＝4，GF＝BF＝4，
设ME＝x，
∴PF＝2+x，
∴∠EGM+∠FGP＝90°，
∵∠EGM+∠GEM＝90°，
∴∠GEM＝∠FGP，
∴△GEM∽△FGP，
∴，
∴，
解得：PG＝2x，，
在Rt△GPF中，PG2+PF2＝GF2，
∴（2x）2+（2+x）2＝42，
解得：，
∴，，，
∴四边形DGFC的面积＝S△CFG+S△CDG
；
（3）①当G在边AB上时，
∴BG＝6－2＝4，
由折叠得：BF＝GF，
∵∠B＝60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴BF＝BG＝4；
②当G在边AD上时，如图，延长DA交FE的延长线于H，过E作MN⊥BC交DH于M，交BC于N，
∴∠AEM＝∠BEN＝30°，，
∴BE＝2BN，
设BF＝x，BN＝a，
∴BE＝2a，由折叠得：
∠BFE＝∠GFE，GF＝BF＝x，EG＝2a，
∴AE＝6－2a，
∴AM（6－2a）＝3－a，
∴GM＝2+3－a＝5－a，EM＝AE cos∠AEM，
在Rt△EMG中，EM2+GM2＝EG2，
∴， 解得：，
∴，，
∴EN＝BN tan∠B，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠H＝∠BFE，△AHE∽△BFE，
∴GH＝GF＝x，，
∴AH＝x－2，
∴， 解得：，
∴；
③当G在对角线AC上时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∴∠GAE＝∠FCG＝60°，CG＝6－2＝4，
∴∠AGE+∠AEG＝120°，
设BF＝x，
∴BC＝6－x，
由折叠得：BE＝GE，∠EGF＝∠B＝60°，
∴∠CGF+∠AGE＝120°，
∴∠AEG＝∠CGF，
∴△AEG∽△CGF，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
解得：，
经检验：是此方程的根；
∴；
综上所述：BF的长度为4或或．
【点评】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质，能根据题意构建三角形相似及全等是解题的关键．