1.8三角函数的简单应用 课时作业（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

1.8三角函数的简单应用
1.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;缺货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位:m）记录表.
时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
根据以上数据,若用函数近似地描述这个港口的水深值y与时间x（记时刻0:00为时间）的函数关系,则上午7:00时,水深的近似数值为( )
A.2.83 B.3.75 C.6.25 D.7.17
2.某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（的单位：千元，，，，x为月份，且）.已知3月出厂价最高，为9千元，7月出厂价最低，为5千元，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
3.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15米.假设在该海湾某一固定点，海水深度d（单位：m）与午夜后的时间t（单位：h）之间的关系为，则下午时刻该固定点的水位变化的速度为( )
A. B. C. D.
4.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）.已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为( )
A. B. C. D.
5.如图,直线与单位圆相切于点O,射线从出发绕着点O逆时针旋转,在此过程中,记,射线经过的单位圆O内阴影部分的面积为S,则对函数说法正确的是( )
A.当时,
B.,使得
C.对,都有
D.对,都有
6.时钟花原产于美洲热带，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内的气温T（单位：℃）与时间t（单位：h）近似满足关系式，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合经历的时间约为( )
A. B. C. D.
7.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为（，），如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个最小正周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为( )
A. B. C. D.
8.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式，其瞬时电流I（单位：安培）与时间t（单位：秒）满足函数关系式：（其中为供电的最大电流，单位：安培；表示角频率，单位：弧度/秒；为初始相位），该三相交流电的频率f（单位：赫兹）与周期T（单位：秒）满足关系式.某实验室使用5赫兹的三相交流电，经仪器测得在秒与秒的瞬时电流的比值为，且在秒时的瞬时电流恰好为1安培，若，则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为( )
A.2安培 B.安培 C.3安培 D.2.5安培
9.（多选）如图，一个半径为的筒车，按逆时针方向匀速旋转.已知盛水筒P离水面的最大距离为，旋转一周需要.以P刚浮出水面时开始计算时间，P到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为（，，，），下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.P离水面的距离不小于的时长为
10.（多选）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.已知某港口水深（单位：m）与时间t（单位：h）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则( )
A.
B.函数的图象关于点对称
C.当时，水深度达到
D.已知函数的定义域为，有2个零点，，则
11.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（，2，…，12）来表示.已知6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，则10月份的平均气温为______°.
12.如图,一圆形摩天轮的直径为100米,圆心O到水平地面的距离为60米,最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动,30分钟转一圈,以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系,则经过10分钟点Q距离地面___________.米
13.如图为2017年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数，，，的半个周期的图象，则该天8h的温度为______．
14.一只钟表的时针与分针长度分别为3和4，设0点为0时刻，则的面积S关于时间t（单位：时）的函数解析式为___________，一昼夜内（即时），S取得最大值的次数为___________.
15.在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化.下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系：
假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示.
(1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；
(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港.一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货.
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米.请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由表中数据知,,即,解得,所以,
当时,.
故选:B
2.答案：D
解析：由题意得，解得.又最小正周期为，
所以，.将代入，得，则，.因为，所以，
所以.故选D.
3.答案：A
解析：由，得，所以下午时刻该固定点的水位变化的速度为.故选A.
4.答案：D
解析：由噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，可得，，，所以噪声的声波曲线的解析式为，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为.
5.答案：D
解析：如下图(OD与OP重合),则阴影部分面积,
且,
所以,A错;
由图知在旋转过程中阴影面积不断变大,不存在使得,B错;
当,则,C错;
,D对.
故选：D.
6.答案：B
解析：设开始开放，开始闭合，则，又，解得.因为，所以.由，得，结合题意，得，所以，所以.故选B.
7.答案：D
解析：因为，，，所以最小正周期，又，所以，所以，由可得，所以，，即，，因为，所以在一个最小正周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为.故选D.
8.答案：A
解析：由题意，所以，即，所以，从而.因为在秒与秒的瞬时电流的比值为，所以，所以，所以，即.因为，所以，从而，因为在秒时的瞬时电流恰好为1安培，所以，即，解得.故选A.
9.答案：ABD
解析：旋转一周需要，，故B正确；如图，半径为，P离水面的最大距离为，，，故A正确；时，P刚浮出水面，，，故C错误；由得，即，设，则，离水面的距离不小于的时长为，故D正确.综上，选ABD.
10.答案：ACD
解析：对A，由图知，，
，，
的最小正周期，，
，，
解得：，
又，，，故A正确；
对B，令，解得，
当时，，则，
则函数的图象关于点对称，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，则，令，则，
令，则根据图象知两零点，关于直线，
则，即，则，
则，故D正确.
11.答案：或
解析：由函数，
因为6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，
可得且，解得，，
所以函数，
令，可得，即为.
故答案为：.
12.答案：35
解析：依题意,设Q距离水平地面的高度,
所以,,,,则,
所以,
则,
故答案为：35.
13.答案：
解析：根据函数的半个周期图象知，
，解得，；
又，
所以，所以；
又时，，即，
解得，；
又，
所以；
所以，
时，；
即该天8h的温度为．
故答案为：．
14.答案：（，且）；44
解析：旋转的角速度为，
旋转的角速度为，
或，，
，
而当，时，不能构成三角形，
所以（，且，）；
显然函数的周期为
且每个周期仅出现一次最大值，而，
所以S取得最大值的次数为44.
故答案为：（，且，）；44
15.答案：(1)；
(2)①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.
解析：（1）观察图形知，，解得，，，解得，显然函数的图象过点，即，
又，因此，
所以函数表达式为.
（2）①依题意，，整理得，
即有，即，
解得或，
所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.
②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货，
设自0点起卸货小时后，该船符合安全条例的最小水深为，
如图，函数与的图像交于点，
即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，
此时该船的吃水深度为4.5米，
令，即，，
解得，显然，
该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，
综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.