5.1.1 平均变化率 学案（含答案） -2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

5.1.1　平均变化率
[学习目标]　1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某区间上的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．
一、平均变化率的概念
问题　如图是某市近34天最高气温的统计图，用怎样的数学模型刻画气温变化的快慢程度？
知识梳理
1．一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
2．平均变化率是曲线陡峭程度的“______”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“______”．
注意点：(1)函数在区间[x1，x2]上有意义．
(2)在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0.
(3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(4)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
例1　(多选)某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内，下列理解正确的有(　　)
A．(t0＋Δt)－t0为自变量的改变量
B．t0为函数值的改变量
C．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)为函数值的改变量
D.为S(t)在区间[t0，Δt＋t0]上的平均变化率
反思感悟 　平均变化率概念的理解
(1)要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常数函数，则Δy＝0.
(2)求点x0附近的平均变化率可用表示．
(3)平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同．
跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是(　　)
A．平均变化率只能是正数
B．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数
C．利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的”
D．平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在相应区间上越“陡峭”，反之亦然
二、实际问题中的平均变化率
例2　下表为某水库存水量y(单位：万m3)与水深x(单位：m)的对照表：
水深x/m 0 5 10 15 20 25 30 35
存水量y/万m3 0 20 40 90 160 275 437.5 650
(1)当x从5 m增长到10 m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；
(2)当x从25 m增长到30 m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；
(3)比较(1)与(2)的数值的大小，并联系实际情况解释意义．
反思感悟　平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．
跟踪训练2　蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T＝＋15，其中T为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为______℃/min.
三、函数中的平均变化率
例3　计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为：
(1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01.
并思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
反思感悟　求函数平均变化率的步骤
(1)求自变量的改变量x2－x1.
(2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)．
(3)求平均变化率.
跟踪训练3　(1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率；
(2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．
1．知识清单：
(1)平均变化率的概念．
(2)实际问题中的平均变化率．
(3)函数的平均变化率．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错．
1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
2．一物体的运动方程是S＝2t＋3(位移单位：m，时间单位：s)，则该物体在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(　　)
A．0.4 m/s B．2 m/s C．0.3 m/s D．0.2 m/s
3．已知函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是(　　)
A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121
4.如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间[0,2]上的平均变化率为______.
5.1.1　平均变化率
问题　“陡峭”的程度反应了气温变化的快与慢；AB两点相差31天，气温相差了15.1°C，则有≈0.5；而BC两点相差2天，气温相差了14.8 °C，则有＝7.4，我们用比值刻画气温变化的快慢程度．
知识梳理
2．数量化　视觉化
例1　ACD　[由自变量的改变量、函数值的改变量、平均变化率的概念易得ACD正确．]
跟踪训练1　CD　[平均变化率可正、可负、可以为0，Δx不可为0，故A，B错误；平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但当Δx很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”，故C正确，D显然正确．]
例2　解　(1)根据表格可知当x从5 m增长到10 m时，存水量y关于x的平均变化率为＝4，
即当x从5 m增长到10 m时，水库存水量随水深每增加1 m，水量增加4万m3.
(2)根据表格可知当x从25 m增长到30 m时，
存水量y关于x的平均变化率为＝32.5，
即当x从25 m增长到30 m时，水库存水量随水深每增加1 m，水量增加32.5万m3.
(3)显然4<32.5，所以该水库的水深从5 m增长到10 m时，存水量的平均变化率小于水深从25 m增长到30 m时存水量的平均变化率，
说明该水库的存水量随着水深的增长会增加的越来越快．
跟踪训练2　－1.6
解析　＝＝－1.6(℃/min)，
故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6 ℃/min.
例3　解　因为f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx，
所以＝＝Δx＋2.
(1)当Δx＝2时，平均变化率为Δx＋2＝4，
即函数f(x)＝x2在区间[1,3]上的平均变化率为4.
(2)当Δx＝1时，平均变化率为Δx＋2＝3，
即函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为3.
(3)当Δx＝0.1时，平均变化率为Δx＋2＝2.1，即函数f(x)＝x2在区间[1,1.1]上的平均变化率为2.1.
(4)当Δx＝0.01时，平均变化率为Δx＋2＝2.01，即函数f(x)＝x2在区间[1,1.01]上的平均变化率为2.01.
观察上式可知，当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小并接近于2.
跟踪训练3　解　(1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为
＝＝12.3.
(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为
＝
＝＝3.
随堂演练
1．B　[平均变化率为＝－1.]
2．B　[＝＝＝2(m/s)．]
3．A　[Δx＝1.1－1＝0.1，Δy＝f(1.1)－f(1)＝1.12－1－(12－1)＝0.21，所以函数f(x)＝x2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为＝＝＝2.1.]
4.
解析　由折线图知，f(x)＝
所以该变量在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.